“化歸”是轉化和歸結,它是人們在解決數學(xué)問(wèn)題時(shí),常常將待解決的問(wèn)題A,通過(guò)某種轉化手段,歸結為另一個(gè)問(wèn)題B,而問(wèn)題B是相對較易解決或已有固定解決模式的問(wèn)題。且通過(guò)對問(wèn)題B的解決可得到原問(wèn)題A的解決。而數形結合就是通過(guò)實(shí)現數量關(guān)系與圖形性質(zhì)的相互轉化,使抽象思維和形象思維相互作用,將抽象的數量關(guān)系和直觀(guān)的圖形結合起來(lái)思考研究數學(xué)問(wèn)題。數形結合是一種極具數學(xué)特點(diǎn)的信息轉換,一方面用數量的抽象性質(zhì)來(lái)說(shuō)明形象的事實(shí);另一方面又用圖象的性質(zhì)說(shuō)明數量的抽象性質(zhì)。因此,數形結合是一類(lèi)極為重要的轉化,其著(zhù)眼點(diǎn)放在代數與幾何的溝通上。
一、從數到形,以形論數
初等代數研究的是數字和文字的代數運算(加法、減法、乘法、除法、乘方、開(kāi)方)的理論和方法,因此,具有高度的計算性。所以,無(wú)論是概念,還是法則、定律,都是很抽象的,有時(shí)運算會(huì )是很煩瑣。在思考和解決數學(xué)問(wèn)題時(shí),對于某些從表面上看來(lái)與圖形不相關(guān)的概念和問(wèn)題,有時(shí)可從某種特定的角度,畫(huà)一個(gè)圖形、圖象或者示意圖,對所討論的問(wèn)題給予幾何直觀(guān)地描述,往往會(huì )對問(wèn)題的求解提供許多有益的啟示。借助圖形常?？梢园褑?wèn)題中的數量關(guān)系揭示得直觀(guān)形象,“圖”可以幫助思考,把抽象的東西變得直觀(guān),從而使對概念的理解,使解題思路變得簡(jiǎn)單明了,巧妙快捷。
二、從形到數,以數論形
中學(xué)數學(xué)的幾何內容是圖文并茂的內容,它把邏輯思維和形象思維有機地結合起來(lái),幾何直觀(guān)對于人們學(xué)習抽象的數學(xué)起到了十分重要的作用。但是,在研究問(wèn)題時(shí),經(jīng)常需要通過(guò)分析圖形中的有關(guān)數量關(guān)系,探討圖形的結構和性質(zhì)。通過(guò)建立坐標系,化幾何問(wèn)題為代數問(wèn)題,這種方法有規范的步驟,較容易掌握,某些幾何問(wèn)題,利用解析幾何方法解決較為簡(jiǎn)捷。這種方法就是“從形到數,以數論形”的方法。
三、數形結合,互相轉化,互相補充
從數到形、以形論數和從形到數、以數論形是數形結合的兩個(gè)重要方面。在思考和解決問(wèn)題的過(guò)程中,上述兩個(gè)方面往往不能截然分開(kāi)。尤其是一些較為復雜的問(wèn)題,需要兩個(gè)方面的互相轉化,相互利用。問(wèn)題的某些數量特征往往能給人們有關(guān)構建圖形的提示;反過(guò)來(lái),利用圖形的結構特征又能夠幫助人們找到解決問(wèn)題的思路。
在思考和解決數學(xué)問(wèn)題時(shí),不僅要學(xué)會(huì )用“形”的結構和特征去理解“數”的特征,也要學(xué)會(huì )用“數”的特征去理解“形”的結構和特征。而不是只強調一個(gè)方面,而忽視另一個(gè)方面。
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作者單位:高安市石腦二中
