A Class of Anti Smarandache Geometric Progression Cycle Determinant
Duan Weiguo
（渭南師范學(xué)院數學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院，渭南 714000）
（College of Mathematics and Information Science，Weinan Normal University，Weinan 714000，China）
摘要：本文定義了一類(lèi)新的反Smarandache幾何級數周期行列式，并利用初等數論的方法和行列式的性質(zhì)，對這類(lèi)行列式進(jìn)行了研究，給出了它們的通項公式。
Abstract: In this paper, we defined a new classes anti Smarandache geometric progression cycle determinants, and using the methods of the nature elementary theory and determinant properties, studied these determinants, and gave general term formula.
關(guān)鍵詞:幾何級數周期行列式 通項公式
Key words: the geometric progression cycle determinants；the general term formula
中圖分類(lèi)號：G42 文獻標識碼：A文章編號：1006-4311（2011）32-0211-01
1引言及結論
在文獻[1]-[5]中Murthy等人定義了一類(lèi)Smarandache周期行列式序計算了其通項公式是，在本文中，我們將定義了一類(lèi)新的反Smarandache 幾何級數周期行列式，并利用行列式的基本性質(zhì)，研究并給出它的通項公式。
定義1 對于任何正整數n，設a，q為復數，有n×n行列式序列FSJH（n：a，q），稱(chēng)為關(guān)于數（a，q）的n次對稱(chēng)反Smarrandache幾何級數周期行列式，其定義如下：
FSJH（n：a，q）=aq■aq■… aqa a aq■… aq■ aq┆ ┆?塤 ┆ ┆ aq■aq■…aq■ aq■aq■aq■… aaq■
定義2 對于任何正整數n，設a，q為復數，有n×n行列式序列SFSJH（n：a，q），稱(chēng)為關(guān)于數（a，q）的n次雙對稱(chēng)反Smarrandache幾何級數周期行列式序列，其定義如下：
SFSJH（n：a，q）=aq■aq■… aqaaq■aq■… aq■ aq┆ ┆?塤 ┆┆ aq■ aq■…aq■ aq■ aaq■… aq■aq■
對于上述定義的兩個(gè)新的幾何級數周期行列式，我們在Murthy和A.A.K.Majumdar等人的研究基礎上，利用初等數論的研究方法結合行列式的相關(guān)性質(zhì)對其進(jìn)行了研究，得到了以下結論：
定理 對于任何正整數n，設a，q為復數，則有
FSJH（n：a，q）=an（qn-1）n-1（1）
SFSJH（n：a，q）=anqn （n-2）（q2-1）n（2）
2相關(guān)引理
設b1，b2，…bn是n個(gè)復數，有n×n行列式：
PSH（b1，b2，…bn）=b1b2… bn-1bnbnb1… bn-2bn-1┆ ┆?塤 ┆┆ b3■ b4… b1 b2b2 b3■… bnb1=■（b1+b2x+…+bnxn-1）
其的證明見(jiàn)文獻[3]。
3定理的證明
對于（1）式采用引理來(lái)證明。令行列式FSJH（n：a，q）中的aqn-1=b1，aqn-2=b2…a=bn，則FSJH（n：a，q）=PSH（aqn-1，aqn-2，…，a）=■（aqn-1+aqn-2x+…+axn-1）=an■（qn-1+qn-2x+…+xn-1）
如果xn=1，則（qn-1+qn-2x+…+xn-1）（q-x）=qn-1，由于
■（q-x）=qn■（1-x/q）=qn-1
則■（qn-1+qn-2x+…+xn-1）=■=（qn-1）n-1，所以FSJH（n：a，q）=an（qn-1）n-1
定理中（1）式得證。
對于（2）式采用直接法來(lái)證明。令
H=qn-1 qn-2… q 1qn-2 qn-1… q2q┆ ┆?塤 ┆┆ qq2…qn-1qn-21q… qn-2qn-1
則SFSJH（n：a，q）=anH，所以只需求行列式H即可。
把H的第2 行提出公因子q，第2行的-1倍加到第1行，然后按第1 行展開(kāi)，得
H=q（qn-1-qn-3）qn-2 qn-3… q 1qn-2 qn-1… q3q2┆ ┆?塤 ┆┆ q2q3…qn-1qn-2qq2… qn-2qn-1
=q（qn-1-qn-3）q2（qn-2-qn-4）qn-3 qn-4… q 1qn-2 qn-1… q4q3┆ ┆?塤 ┆┆ q3q4…qn-1qn-2q2q3…qn-2qn-1
=q（qn-1-qn-3）q2（qn-2-qn-4）…qn-2（q2-1） q 1 qn-2qn-1 =qn（n-2）（q2-1）n
所以SFSJH（n：a，q）=anH=anqn （n-2）（q2-1）n，定理中（2）式得證。
對于定義2可以進(jìn)行推廣到更一般的情況。設a1，a2，…，an是n個(gè)復數，有n×n行列式PSSH（a1，a2，…an）=a1 a2… an-1ana2 a1… an-2an-1┆┆?塤 ┆┆ an-1an-2… a1 a2an an-1■… ana1
其值的計算還是一個(gè)未解決的問(wèn)題，有待我們進(jìn)一步探索。
參考文獻：
[1]Amarnath Murthy.Smarandache Determinant Sequence[J].Smarandache Notions Journal, 2001,(12):275-278.
[2]A. A. K. Majumdar. On some Smarandache determinant sequences[J]. Scientia Magna.2008,4(2):80-95.
[3]Maohua L. Two classes of Smarandache determinants[J].Scientia Magna, 2006,2(1):20-25.
[4]楊長(cháng)恩.論兩類(lèi)Smarandache行列式的推廣[J].咸陽(yáng)師范學(xué)院學(xué)報,2010,25(4):1-3.
[5]楊長(cháng)恩.Fibonacci數列與對角型行列式[J].咸陽(yáng)師范學(xué)院學(xué)報,2007,22(4):3-5.
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基金項目：渭南師范學(xué)院項目（11YKZ030）；陜西省教育廳項目（09JK430）。
作者簡(jiǎn)介：段衛國（1981-），男，陜西臨潼人，渭南師范學(xué)院數學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院數學(xué)系講師，碩士，研究方向為數論。
