【摘 要】本文研究了一類(lèi)均具有n種副索賠的風(fēng)險模型。主索賠到達時(shí)刻滿(mǎn)足Erlang（2）分布，主索賠的發(fā)生一定引起n種副索賠中的一種，副索賠有可能與主索賠同時(shí)也發(fā)生，也有可能延遲發(fā)生。通過(guò)引入輔助模型，得到了生存概率滿(mǎn)足的一組微分積分方程，并在主副索賠滿(mǎn)足相同的指數分布條件下，得到了生存概率滿(mǎn)足的微分方程與副索賠個(gè)數無(wú)關(guān)的結論。
【關(guān)鍵詞】主索賠；副索賠；輔助模型；Erlang（2）分布；生存概率
1.引言
瑞典精算師Filip Lundberg（1903）開(kāi)創(chuàng )了破產(chǎn)理論研究的先河，并在其論文中提出了Poisson過(guò)程。其后，Harald Cramér（1930，1945）將Lundberg的研究成果進(jìn)行了嚴格數學(xué)化，建立了廣為人知的破產(chǎn)理論經(jīng)典模型即為L(cháng)-C模型。
經(jīng)典風(fēng)險模型假設風(fēng)險過(guò)程為平穩獨立增量過(guò)程，但是在實(shí)際中，各個(gè)索賠之間往往是有著(zhù)各種相依關(guān)系，從Waters和Papatriandafylou（1985）的研究開(kāi)始，越來(lái)越多的學(xué)者開(kāi)始研究此類(lèi)的風(fēng)險模型。謝杰華，鄒娓（2008）則研究了具有延遲索賠的連續風(fēng)險模型，運用拉普拉斯變換等方法最終得到了破產(chǎn)概率表達式。Zou和Xie（2010）則考慮了滿(mǎn)足Erlang（2）分布條件下的破產(chǎn)問(wèn)題。
迄今為止，大多數破產(chǎn)理論的研究都是不考慮副索賠或者是只引起一類(lèi)副索賠，但在現實(shí)中，主索賠不一定只引起一類(lèi)副索賠。趙明清，張偉（2011）研究了具有雙副索賠的相依風(fēng)險模型破產(chǎn)問(wèn)題。本文在文獻[5]和[6]的基礎上，研究了一類(lèi)可能引起n種副索賠的風(fēng)險模型。
2.模型的刻畫(huà)及一組微分積分方程
本章考慮了一類(lèi)具有個(gè)副索賠的風(fēng)險模型，主副索賠均為正的獨立同分布隨機變量，分別記為，滿(mǎn)足的分布函數分別記為，均值分別記為：。定義主索賠發(fā)生的時(shí)間間隔為滿(mǎn)足Erlang（2）分布，即，發(fā)生主索賠的次數記為。在時(shí)刻發(fā)生的主索賠以概率引起副索賠的發(fā)生，副索賠以概率在時(shí)刻時(shí)刻發(fā)生，以概率延遲到下一時(shí)刻發(fā)生，盈余過(guò)程以來(lái)表示，故有：
其中，表示初始盈余，表示保險公司單位時(shí)間內收到的保費率，表示第類(lèi)副索賠在之間的總索賠額。定義生存概率為，那么破產(chǎn)概率為，。另外為了保證保險公司的正常運作，需要滿(mǎn)足安全負荷條件：
保持其它條件不變，對模型（2.1）做細小的變化，建立個(gè)輔助模型。即在第一次發(fā)生主索賠的時(shí)刻，有另外一個(gè)副索賠發(fā)生，記該副索賠為和副索賠具有相同的分布函數。輔助模型可以表示為：
這n個(gè)輔助模型對應的生存概率分別記為。
定理2.1 對于任意的滿(mǎn)足如下一組微分積分方程：
證明：分析可在時(shí)可能發(fā)生的索賠，有以下情況發(fā)生：
（1）主索賠發(fā)生，同時(shí)引起了副索賠的發(fā)生，以概率在時(shí)刻發(fā)生；
（2）主索賠發(fā)生，同時(shí)引起了副索賠的發(fā)生，以概率延遲到下一時(shí)刻發(fā)生；
（3）主索賠發(fā)生，同時(shí)引起了副索賠的發(fā)生，以概率在時(shí)刻發(fā)生；
（4）主索賠發(fā)生，同時(shí)引起了副索賠的發(fā)生，以概率延遲到下一時(shí)刻發(fā)生；
……
（2n-1）主索賠發(fā)生，同時(shí)引起了副索賠的發(fā)生，以概率在時(shí)刻發(fā)生；
（2n）主索賠發(fā)生，同時(shí)引起了副索賠的發(fā)生，以概率延遲到下一時(shí)刻發(fā)生。
根據全概率公式有：
3.生存概率
定理3.1 在一類(lèi)具有個(gè)副索賠的風(fēng)險模型中，若主索賠的到達時(shí)刻服從Erlang（2）分布，時(shí)刻發(fā)生的主索賠以概率引起副索賠的發(fā)生，副索賠均以概率延遲到下一時(shí)刻發(fā)生，以概率在時(shí)刻時(shí)刻發(fā)生。在主副索賠滿(mǎn)足相同指數分布的條件之下，生存概率的所滿(mǎn)足的微分方程的表達式與副索賠個(gè)數無(wú)關(guān)。
證明：當索賠額服從相同的指數分布的時(shí)候，即：
即生存概率滿(mǎn)足的微分方程與副索賠個(gè)數無(wú)關(guān)，證畢！
4.結論
今為止，大多數的對于破產(chǎn)理論的研究都是沒(méi)有考慮副索賠或者是只考慮了一類(lèi)副索賠，然而在現實(shí)中則不一定只有一種副索賠。本文致力于此類(lèi)研究，創(chuàng )新點(diǎn)在于將副索賠的個(gè)數推廣到了n個(gè)，對當主索賠到達時(shí)刻滿(mǎn)足Erlang（2）分布的風(fēng)險模型進(jìn)行了破產(chǎn)研究。
當然本文還存在改進(jìn)和擴展的空間，例如當n種副索賠中的兩種，三種等和主索賠在同一時(shí)刻發(fā)生，或者是當主副索賠滿(mǎn)足不同分布的時(shí)候的破產(chǎn)概率的研究等。關(guān)于此類(lèi)的研究是具有現實(shí)意義的，其相關(guān)的理論和問(wèn)題的研究，也是今后破產(chǎn)理論研究所面臨的新的挑戰。
參考文獻：
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[2]Cramer H.，On the Mathematical Theory of Risk.Stoockholm：Skandia Jubilee Volume，1930.
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[4]Waters H.R.，Papatriandafylou A.，Ruin Probabilities Allowing for Delay in Claims Settlement.Insurance： Mathematics and Economics，1985，4：113-122.
[5]謝杰華，鄒娓.一類(lèi)具有時(shí)間相依索賠風(fēng)險模型的破產(chǎn)概率[J].中國科學(xué)院研究生院學(xué)報，2008，25（3）：313-319.
[6]Zou W.，Xie J.H.，On the Ruin Problem in an Erlang（2）Risk Model with Delayed Claims[C].CCIS 105，2010，54-61.
[7]趙明清，張偉.具有兩種副索賠的離散相依風(fēng)險模型破產(chǎn)問(wèn)題[J].經(jīng)濟數學(xué)，2011，2.
