有感觸，說(shuō)康托爾抓住了“關(guān)鍵”——“一一對應”.1，2，3，…與12，22，32…真的一一對應嗎？同樣多嗎？在數學(xué)里的一一對應，其意義有二，下面我以實(shí)數與數軸上的點(diǎn)一一對應為例來(lái)說(shuō)明.
意義其一，實(shí)數是個(gè)無(wú)窮集，實(shí)數在實(shí)際生活中有它的特定意義，或表示長(cháng)度，或表示面積、重量等.所以實(shí)數是數，有數的特定意義和性質(zhì).
意義其二，數軸本身是一條直線(xiàn)，數軸上的點(diǎn)，是另一個(gè)無(wú)窮集.所以數軸和數軸上的點(diǎn)是表示幾何意義和性質(zhì)的.
顯然，數學(xué)里描述的一一對應的兩個(gè)無(wú)窮集，其意義和性質(zhì)是完全不同的，是數與形的結合.
問(wèn)題就出在這里，再來(lái)看1，2，3…與12，22，32…它們都屬于同一屬性的自然數集合，這樣搞一一對應顯然是錯誤的.這里我再講一個(gè)與本文有關(guān)的故事：我1963年入邢臺市一中上高中，其間，我曾與數學(xué)老師宋成賓發(fā)生過(guò)一段爭論.宋在我的作業(yè)本上畫(huà)了兩條長(cháng)短不等的線(xiàn)段說(shuō)：“你說(shuō)這兩條線(xiàn)段，那條線(xiàn)段上的點(diǎn)多.”我立即回答：“長(cháng)線(xiàn)段上的點(diǎn)多.”宋說(shuō)：“我說(shuō)一樣多.你看，我在這兒找一光點(diǎn)，射這兩條線(xiàn)段，如圖，這不是一樣多嗎？” 我想了一下：“你那樣找光點(diǎn)，如果我用一束平行光線(xiàn)垂直照射，如圖，那么多余的部分應怎樣解釋呢？”宋老師無(wú)言答對，最后我落了個(gè)“鉆死牛角尖”.為什么你用一種方法找到了一種“一一對應”關(guān)系，而我用同樣的方法否定了你的“一一對應”關(guān)系.你找到的就應承認，而我找到的，有道理也不認可.最后用“只要找到就行”，硬把理奪去呢？現在看來(lái)，問(wèn)題的“關(guān)鍵”還在“標準”.因為比較的兩條線(xiàn)段，都是由點(diǎn)組成的，屬于同一屬性的幾何點(diǎn)集.我們不能把這部分無(wú)窮點(diǎn)集與那部分無(wú)窮點(diǎn)集搞“一一對應”.
那么能不能比較1，2，3…與12，22，32…； 與 的多少大小呢？答案是：肯定能.標準只有一個(gè)，數學(xué)里的一一對應.要比較1，2，3…與12，22，32…的多少，就把它們置于數軸之上，看它們在相同的數域里，誰(shuí)的數多.顯然，在數軸的正半軸上，不管把數域擴展多遠，在同樣大的數域里，表示自然數的點(diǎn)總比表示平方數的點(diǎn)多得多.所以我們毫不客氣地說(shuō)：“1，2，3…比12，22，32…多.”同樣我們把 和 也放在數軸上任何部位，都可以看出，線(xiàn)段a表示的數域要比線(xiàn)段b表示的數域小的多.數域小，與數對應的點(diǎn)就少；數域大，與數對應的點(diǎn)就多.所以，線(xiàn)段a上的點(diǎn)要比線(xiàn)段b上的點(diǎn)少.我們給這種比較法起個(gè)名字，叫做“數域比較法”.看來(lái)，“超限數論”的研究必須把數與形結合起來(lái)，否則，將不是一門(mén)完美的數學(xué).
對于“數域比較法”，我想其基本內容應當有四點(diǎn).其一，要比較兩條線(xiàn)段上含點(diǎn)的多少，要把它們放在數軸上，用實(shí)數域去比較.其二，要比較兩塊面積里含點(diǎn)多少，要把它們放在平面直角坐標系里，用實(shí)數對（或復數域）去比較.其三，要比較兩塊體積里含點(diǎn)的多少，要把它們放在空間直角坐標系中，用三個(gè)有序實(shí)數組（或三位向量域）來(lái)比較.其四，要比較一塊體積，一塊面積，一條直線(xiàn)之間誰(shuí)含點(diǎn)的多少，那將是一個(gè)更加復雜，更加困難的數學(xué)方法問(wèn)題.說(shuō)復雜困難 ，意思是說(shuō)應承認0能做除數.對這四個(gè)基本內容，我想應寫(xiě)一本書(shū)，來(lái)專(zhuān)門(mén)闡述它.為了加深讀者對數域比較法和0與∝參與數學(xué)運算的理解，請看我的第二篇論文《論“超限數論”的理論基礎》.
7.由00=∝∝=1（宇宙）推想到的：既然宇宙是一個(gè)從0→∝的對立統一體，那么宇宙間的物質(zhì)就應是從無(wú)限小的微粒到無(wú)限大的粒體構成.“無(wú)限小”和“無(wú)限大”怎樣理解，這應由天文學(xué)家、物理學(xué)家和化學(xué)家來(lái)推斷，來(lái)定義.而浩瀚的宇宙就應是這些大小不同、性質(zhì)不一的物質(zhì)粒體的物質(zhì)實(shí)體.且不說(shuō)這些大小不同的物質(zhì)粒體其本身性質(zhì)的區別和它們之間的聯(lián)系，但可懇切地說(shuō)，它們都有一個(gè)共同的屬性，那就是運動(dòng).也正是有了這些運動(dòng)的物質(zhì)，才出現了各種形式的能，才形成了這個(gè)活生生客觀(guān)存在的過(guò)去宇宙，現代宇宙和未來(lái)宇宙.宇宙間的一切現象和存在，都是物質(zhì)運動(dòng)的結果.光、電、聲、磁、場(chǎng)、星體、星云、“以太”等，無(wú)不是物質(zhì)運動(dòng)的結果.沒(méi)有物質(zhì)的運動(dòng)，就沒(méi)有我們居住的地球，也沒(méi)有現在這個(gè)生機勃勃的世界.更沒(méi)有我們現代的文明人類(lèi).如果說(shuō)生命是物質(zhì)的高級運動(dòng)，那么文明是物質(zhì)的超級運動(dòng).先有物質(zhì)，后有精神.精神是物質(zhì)的超級運動(dòng)，是后天形成的.我們驚呼：物質(zhì)萬(wàn)歲！唯物論萬(wàn)歲！沒(méi)有物質(zhì)和物質(zhì)的運動(dòng)就沒(méi)有一切！
8.結語(yǔ)：0能不能做除數，在數學(xué)教科書(shū)里總是把它說(shuō)成“0做除數無(wú)意義”而被處以“死刑”.科技發(fā)展到21世紀的今天，這個(gè)古老而又基本的數學(xué)問(wèn)題，是應到了該解決的時(shí)候了.我認為應把0從“0做除數無(wú)意義”中解放出來(lái).這對于人類(lèi)從理論上，從客觀(guān)上認識宇宙，具有很重要的意義.數是人類(lèi)對客觀(guān)世界的抽象，反過(guò)來(lái)，他也反映和揭示了客觀(guān)世界.我認為我想的寫(xiě)的是真理.“真理哪怕只見(jiàn)到一線(xiàn)我們也不能讓它的光輝變得暗淡.”可是自己的科技水平、數學(xué)水平有限，本文一般都是在自然數或正數范圍內闡述的，只是一個(gè)框架.因此，我誠心希望貴刊貴報能全文發(fā)表我的稿文，引起爭鳴.好讓廣大的教師、數學(xué)界、科技界一起來(lái)法難，來(lái)充實(shí)完善，來(lái)認可.以求得祖國數學(xué)事業(yè)的發(fā)展，人類(lèi)科技的進(jìn)步.
