創(chuàng )新活動(dòng)正日益成為經(jīng)濟發(fā)展的重要推動(dòng)力，增強自主創(chuàng )新能力，建立國家創(chuàng )新體系是適應國際經(jīng)濟競爭的需要。我們國家也提出了建設創(chuàng )新型國家的發(fā)展戰略，開(kāi)始注重創(chuàng )新型人才的培養。但創(chuàng )新型人才的成長(cháng)是一個(gè)綜合培養的過(guò)程，不可能一蹴而就，首先要從教育這個(gè)源頭抓起。
數學(xué)教育能培養學(xué)生思維的創(chuàng )造性、敏捷性、廣闊性等，這是數學(xué)學(xué)科的特點(diǎn)決定的。在當前素質(zhì)教育的背景下，數學(xué)教育的核心目標開(kāi)始轉變?yōu)榕囵B學(xué)生的創(chuàng )造性思維和創(chuàng )新精神。因此，在數學(xué)教學(xué)中進(jìn)行學(xué)生創(chuàng )新思維能力培養的探索具有重要的現實(shí)意義。
一、對創(chuàng )新的認識
中學(xué)生的數學(xué)創(chuàng )新能力并不等同于數學(xué)家對數學(xué)原理的發(fā)現和創(chuàng )造，我們所說(shuō)的創(chuàng )新實(shí)質(zhì)上是對數學(xué)的一種再創(chuàng )造，只要把所學(xué)的數學(xué)原理和思想靈活地創(chuàng )造性地應用于解決不同問(wèn)題的過(guò)程中就是一種創(chuàng )新活動(dòng)。正如教育家劉佛年指出：“只要有點(diǎn)新意思、新思想、新觀(guān)念、新設計、新意圖、新做法、新方法、就稱(chēng)得上創(chuàng )造”。由于科學(xué)創(chuàng )造的方法和思維方式都有著(zhù)廣泛的共性，學(xué)生創(chuàng )新能力的提高不僅對數學(xué)本身而且對學(xué)生從事其它科學(xué)研究都有巨大的輻射推動(dòng)作用。正因為如此，在數學(xué)教學(xué)中培養學(xué)生的創(chuàng )新能力，已成為培養二十一世紀人才的一個(gè)目標。其重要性也被越來(lái)越多的人所認識和關(guān)注。
二、對問(wèn)題的認識
在數學(xué)中，什么是重要的？20世紀六七十年代，在很多國家都討論了這個(gè)問(wèn)題。大部分人的意見(jiàn)是：?jiǎn)?wèn)題是關(guān)鍵。問(wèn)題是思考的結果，是深入思考的開(kāi)始，“有問(wèn)題”也是創(chuàng )造的開(kāi)始。
歷史證明，提出問(wèn)題、思考問(wèn)題、解決問(wèn)題是推進(jìn)數學(xué)發(fā)展的一個(gè)重要途徑。在數學(xué)上的發(fā)展過(guò)程中有的問(wèn)題本身得到解決；有的問(wèn)題的反面得到解決；有的問(wèn)題雖然還不能解決，但在試圖解決它的過(guò)程中發(fā)展出許多新的思想、方法。例如，由討論一元五次或五次以上代數方程是否有根式解到伽羅瓦提出群論，由設法證明歐幾里得第五公設到非歐幾何的建立，希爾伯特在20世紀初提出的著(zhù)名的23個(gè)問(wèn)題，費馬大定理的解決。甚至可以追溯到古希臘時(shí)代，為了解決幾何三大問(wèn)題，人們發(fā)明了窮竭法，發(fā)現了圓錐曲線(xiàn)。
從教學(xué)目的來(lái)講，傳統的經(jīng)驗認為，一切認識從問(wèn)題出發(fā)，教學(xué)目的必須以“問(wèn)題”為契機，到“問(wèn)題”的圓滿(mǎn)解決為終結，達到“教是為了不教”。但《高中課程新標準》中提倡：?jiǎn)?wèn)題是探究的起點(diǎn)，一切數學(xué)活動(dòng)都應該從問(wèn)題出發(fā)，到一級更高層次問(wèn)題的產(chǎn)生，沒(méi)有問(wèn)題的教學(xué)正是教育的失敗。由解決問(wèn)題到發(fā)現問(wèn)題正是對教學(xué)本質(zhì)的新認識。
三、培養學(xué)生創(chuàng )新能力的教學(xué)策略
數學(xué)教學(xué)中的創(chuàng )新教育如何開(kāi)展？實(shí)施創(chuàng )新教育的切入點(diǎn)又在哪里呢？
筆者在多年的中學(xué)數學(xué)教學(xué)實(shí)踐中，覺(jué)得問(wèn)題探究是培養學(xué)生的創(chuàng )新能力的有效切入點(diǎn)。在我國的傳統數學(xué)問(wèn)題中，問(wèn)題的正確答案是唯一的，可是當代社會(huì )的變革，人們正在接受“正確的答案可能不止一個(gè)”這樣的現代理念，這就引發(fā)了下面的思考：
數學(xué)已滲透到現實(shí)社會(huì )中的各個(gè)方面，數學(xué)教育應當適應其需要。面對社會(huì )是基礎教育階段每一個(gè)學(xué)生將會(huì )遇到的問(wèn)題，而不是只有數學(xué)程度好的學(xué)生會(huì )遇到，數學(xué)程度不好的學(xué)生就遇不到的問(wèn)題，學(xué)習能力客觀(guān)上的不平衡不應成為剝奪學(xué)生數學(xué)思考的權力，數學(xué)教育有責任為每一個(gè)能力層次上的學(xué)生提供學(xué)習資源。但令人遺憾是在等級觀(guān)念下，教育者只為學(xué)生設計出A、B、C級的數學(xué)問(wèn)題（實(shí)際上更多是練習題），人為假定（或僅以考試成績(jì)作為唯一標準）某些學(xué)生做A級是適合的，某些學(xué)生是只能做C級的，忽視了學(xué)生發(fā)展的潛能。有時(shí)實(shí)際上更糟，數學(xué)程度不好（好）的學(xué)生往往在陪數學(xué)程度好（不好）學(xué)生學(xué)習。這種教育現象要么效率低下，要么在用數學(xué)這把“篩子”不斷篩出“精英”，換個(gè)角度說(shuō)，就是產(chǎn)生大量數學(xué)上的失敗者，并沒(méi)有體現數學(xué)教育“泵”的作用，受教育者沒(méi)有享受到學(xué)業(yè)上的民主與平等，大眾教育的思想也只能為一紙空文。改變這種面貌勢在必行，筆者以為提倡有不同層次答案的非終結性問(wèn)題是突破口之一。
1.在高中數學(xué)“研究性學(xué)習”中探索問(wèn)題
高中數學(xué)“研究性學(xué)習”可輻射到數學(xué)的各分支，對數學(xué)的每一個(gè)問(wèn)題都可以進(jìn)行研究探討，數學(xué)學(xué)科的“研究性學(xué)習”可以說(shuō)無(wú)處不有，問(wèn)題就在于我們的教師如何對教材內容進(jìn)行挖掘、提煉、加工。其中教學(xué)內容問(wèn)題化，教學(xué)過(guò)程探索化，是研究性學(xué)習在課堂教學(xué)中的兩個(gè)最顯著(zhù)的特征。
課例1 從研究“城市垃圾加倍的周期”的社會(huì )性課題引入指數函數。
2000年10月18日，美國某城市的日報以醒目標題刊登了一條消息“市政委員會(huì )今天宣布：本市垃圾的體積達到50000立方米”，副標題是“垃圾的體積每三年增加一倍”，教師在數學(xué)課上宣讀當日這條新聞，并且利用該新聞引入指數函數的學(xué)習。
任務(wù)：如果把三年作為垃圾體積加倍的周期，要求學(xué)生通過(guò)填表，導出垃圾的體積V（立方米）與垃圾體積加倍的周期（三年）數n的關(guān)系公式。
城市垃圾的總體積
研究：（1）設想城市垃圾的體積每三年繼續加倍，則24年后本市垃圾的體積是多少？
（2）根據報紙所述的信息，你估計三年前垃圾的體積是多少？
（3）如果n=-2，這時(shí)的n，V表示什么信息？
（4）寫(xiě)出n與V的函數關(guān)系式，并畫(huà)出函數圖象。
（5）曲線(xiàn)可能與橫軸相交嗎？為什么？
學(xué)生們從具體問(wèn)題的研究出發(fā)，逐步探討指數函數的意義、它的一般形式y=ɑ·2x、它的圖象及其性質(zhì)。在數學(xué)學(xué)習的同時(shí)，學(xué)生從垃圾體積的指數增長(cháng)的嚴峻情況聯(lián)系到生態(tài)環(huán)境保護問(wèn)題、廢物利用問(wèn)題等。數學(xué)課本上有不少素材，如果我們能對其進(jìn)行挖掘、加工、引申與改造，就會(huì )得到一些綜合性強、能力要求高、符合創(chuàng )新精神的新命題。這樣不僅能激發(fā)學(xué)生的學(xué)習興趣，而且對學(xué)生思維水平、應用能力的提高會(huì )起到事半功倍的作用，也是高中數學(xué)教學(xué)中探究性學(xué)習的一種行之有效的方法。
課例2 研究性課題：楊輝三角
楊輝三角，它是由二項式定理中各項系數組合而成的，具有極為豐富的內涵，有許多有趣的數字規律。在傳統的教學(xué)中，教師都是一提而過(guò)，沒(méi)有詳細地引導學(xué)生探索，而在新課程、新課標的理念下，應提倡研究性學(xué)習，開(kāi)放式教學(xué)，用建構主義觀(guān)點(diǎn)指導教學(xué)。由于楊輝三角中的算式較多，學(xué)生看都來(lái)不及細看，記也感到吃力，教師的主導作用、策劃作用就在于引導學(xué)生發(fā)揮他們的主體作用。怎樣才能使得在這節課上學(xué)生獲得主動(dòng)呢？采用課前預習、自學(xué)輔導，還是學(xué)生討論或讀、議、講、練或目標教學(xué)，還是設置發(fā)現情境？這些辦法遇到真正困難時(shí)都會(huì )無(wú)能為力，因為這些方法都無(wú)法改變算式的冗長(cháng)，證法的呆板，課堂上的新情境與學(xué)生的認知結構中的圖式不協(xié)調的事實(shí)。瑞士的著(zhù)名心理學(xué)家皮亞杰一再強調“認識起因于主客體之間的相互作用”，只有客體的形式與學(xué)生主體認知結構中的圖式取得某種一致的時(shí)候，才能完成認識的主動(dòng)建構，也就是學(xué)生獲得真正的理解，應該遵循“興趣與能力的同步發(fā)展規律”和“教、學(xué)、研互相促進(jìn)的規律”，可引導學(xué)生在楊輝三角中，研究行的規律、斜線(xiàn)的規律，以及研究三項展開(kāi)式等。
2.在教材的一些法則、定理等結論的證明中探索問(wèn)題
中學(xué)數學(xué)教材十分重視知識敘述的嚴謹性，強調邏輯順序，環(huán)環(huán)相扣、層層遞進(jìn)，但稍加留意，我們便可以發(fā)現書(shū)本中一些“非嚴謹之處”，這些“非嚴謹之處”常有一些“標志性語(yǔ)言”特征，如“不難發(fā)現”、“容易得出”、“同理可證”、“用類(lèi)似的方法”等，用這些“模糊語(yǔ)言”表述的地方有的內容本身比較簡(jiǎn)單，無(wú)須多言，有的是教材為了回避某些知識點(diǎn)而輕描淡寫(xiě)，一筆過(guò)渡，這種地方往往就是數學(xué)問(wèn)題的棲身之地。還有一些地方直接給出公式、定理等結論的證明過(guò)程，而沒(méi)有說(shuō)明為什么這樣證明？
如教材《高中數學(xué)選修2-3》有這樣一段話(huà)?！叭菀鬃C明，D（aξ+b）=ɑ2Dξ.如果ξ～B（n，p），那么Dξ=npq，這里q=1-p.”
在學(xué)習數學(xué)期望時(shí)，我們證明E（ɑξ+b）=ɑEξ+b，引導學(xué)生進(jìn)行猜想，是否有D（ɑξ+b）=ɑDξ+b？然后教師與學(xué)生共同進(jìn)行研究，找出問(wèn)題所在。教師進(jìn)一步指出：類(lèi)比的思想方法在科學(xué)發(fā)現中有著(zhù)十分重要的作用，這一點(diǎn)是不可撼動(dòng)的。但我們要知道事物是一分為二的，類(lèi)比固然可以引導我們走向成功，但有時(shí)候也會(huì )捉弄我們，把我們領(lǐng)向歧途，本題就是一個(gè)事實(shí)。所以我們既要學(xué)習類(lèi)比與猜想，又要學(xué)會(huì )嚴密的證明，這樣才能使我們的思維品質(zhì)更加優(yōu)秀，更加具有辨證性。
但命題“如果ξ～B（n，p），那么Dξ=npq，這里q=1-p.”的證明有一定的難度，引導學(xué)生課后進(jìn)行探究。
【問(wèn)題引申】一個(gè)質(zhì)點(diǎn)從平面上某點(diǎn)開(kāi)始，等可能地向上、下、左、右四個(gè)方向游動(dòng)，每次游動(dòng)的距離為1，求經(jīng)過(guò)2n次游動(dòng)后質(zhì)點(diǎn)回到出發(fā)點(diǎn)的概率。
3.從解答習題后的再思考中探索問(wèn)題
學(xué)習數學(xué)，求解數學(xué)題，不能只滿(mǎn)足于求得解答。閱讀完或求解完一道題后，若就此了結，往往會(huì )失去更為有用的寶貴的東西。若能對解法加以回顧，總結其規律，或對解題錯誤加以剖析和聯(lián)想，或通過(guò)反復的推敲和總結，尋找更好、更自然的解題方法……這樣不僅可提高學(xué)生的數學(xué)修養，同時(shí)也因能把潛藏于題目之中的基本原理、基本思路發(fā)掘出來(lái)，而常會(huì )得到意想不到的結論或成果，從中讓學(xué)生感受到學(xué)習數學(xué)的無(wú)窮樂(lè )趣。布魯納說(shuō)過(guò)：“發(fā)現不限于尋求人類(lèi)尚未知曉的事物，確切地說(shuō)，它包括用自己的頭腦親自獲得知識的一切方法?！辈簧?a target="_blank" class="keylink">同學(xué)容易忽略題后的總結，認為解答完了就大功告成。其實(shí)，這時(shí)還是有不少事情可以做的。所謂從習題中提取規律，就是通過(guò)對一道習題或一類(lèi)習題（這些習題通常是零散出現的）的解答后，善于進(jìn)行綜合、歸納，形成對某一類(lèi)問(wèn)題盡可能全面的、規律性的認識.正如一位美國學(xué)者所說(shuō)的：“從混亂狀態(tài)中抽出規律性來(lái)，這是幾千年來(lái)數學(xué)的根本標志，從歐幾里得的幾何公里到牛頓的萬(wàn)有引力和運動(dòng)定律，再到愛(ài)因斯坦的相對論，都是如此?！?/p>
