數學(xué)的表現形式比較枯燥，常給人冰冷的感覺(jué)，但是數學(xué)思考卻是火熱生動(dòng)活潑的。如何點(diǎn)燃和激起學(xué)生的火熱思考，并使學(xué)生欣賞數學(xué)冰冷的美麗，實(shí)在是數學(xué)教育的一項根本任務(wù)。
一、揭示數學(xué)的內在聯(lián)結，恢復學(xué)生的火熱思考
數學(xué)是一種知識體系，通過(guò)概念的分析、生成和組織，形成和諧的整體。因此，數學(xué)的教育形態(tài)之一就是把教科書(shū)線(xiàn)性排列的知識“打亂”，同時(shí)融合不同學(xué)科的相關(guān)知識，由內在聯(lián)結串起來(lái)，建立網(wǎng)絡(luò )。這樣，學(xué)生的火熱思考就在于凸現思維網(wǎng)絡(luò )的“結點(diǎn)”，在紛繁復雜的干擾中尋找本質(zhì)的、感性的信息，從而使教學(xué)達到對數學(xué)內在本質(zhì)的認識。如何認識、組織和設計數學(xué)聯(lián)結點(diǎn)，形成學(xué)生火熱的“聯(lián)結性”思考呢？
中學(xué)代數的本質(zhì)是不定元和數字之間的四則運算，特別是分配律的運算。分配律是唯一把加法和乘法聯(lián)系在一起的運算規律，小學(xué)里的“湊十法”“去括號”都與此有關(guān)。中學(xué)課程的數學(xué)運算，如合并同類(lèi)項、因式分解、配方等知識，基本連接點(diǎn)就是分配律。因此在提取公因式的教學(xué)中應恢復學(xué)生關(guān)于分配律的火熱思考，使分配律思想在不同的，或許是相互沒(méi)有聯(lián)系的情境中應用。
三角函數的教學(xué)，從靜態(tài)的正弦定理、余弦定理到動(dòng)態(tài)的周期變化、潮水漲落、彈簧、波的振動(dòng)以及在軸上均勻旋轉的輪子邊緣上熒光點(diǎn)的運動(dòng)等現象，把代數式、三角形、單位圓、投影、波、周期等離散的領(lǐng)域聯(lián)系在一起。正是三角函數使它們形成有機整體，同時(shí)它們也是三角函數在不同側面的反映。因此三角函數教學(xué)應通過(guò)再創(chuàng )造恢復學(xué)生火熱的思考，使之返璞歸真。讓三角函數豐滿(mǎn)起來(lái)，才能把教科書(shū)上定義——公式——圖像——性質(zhì)——應用這種冰冷的美麗變成學(xué)生豐富的聯(lián)想，使學(xué)生在某一孤立領(lǐng)域學(xué)習的主題遷移到另一領(lǐng)域。
余弦定理是代數式與三角形的聯(lián)結點(diǎn)。如證明如下題目，用余弦定理觀(guān)察代數式就是關(guān)鍵，是學(xué)生火熱思考的來(lái)源。
已知x＞0，y＞0，z＞0，求證：
再如：
設x，y為實(shí)數且滿(mǎn)足關(guān)系式
(x-1)3+1997(x-1)=1(1-y)3+1997(1-y)=1
則x+y=（）。
通過(guò)對題設的觀(guān)察，構造出函數：f(x)=t3+1997t，是奇函數，且在（-1，1）上是單調增函數。
又由已知：
f(x-1)=f(1-y)，所以x-1=1-y，由此得x+y=2。
能否構造出上述函數是學(xué)生的思考是否火熱的檢驗。在解題教學(xué)中，引導學(xué)生尋找恰當的切入點(diǎn)，以跨越關(guān)鍵是實(shí)現由知識向能力轉化的前提。
綜上所述，返璞歸真，尋求數學(xué)的本原，找到數學(xué)知識網(wǎng)的結點(diǎn)，就能綱舉目張，以一當百。中學(xué)數學(xué)解題，看起來(lái)由頭到尾寫(xiě)了很多步，說(shuō)到底不過(guò)是一個(gè)技巧、一個(gè)想法而已?；馃岬乃伎纪辉谝恍╆P(guān)節點(diǎn)上發(fā)生，其余的都是常規。華羅庚先生說(shuō)過(guò)，讀書(shū)要把書(shū)讀到越來(lái)越薄才好，也是說(shuō)要在關(guān)節點(diǎn)上進(jìn)行火熱的思考，抓住關(guān)鍵，提綱挈領(lǐng)，一本書(shū)就成了不多的一點(diǎn)東西。
二、掌握數學(xué)思想方法，提高學(xué)生的火熱思考
像一切科學(xué)一樣，數學(xué)也是一門(mén)由特定的思想方法組成的學(xué)問(wèn)。數學(xué)不等于邏輯，數學(xué)遠遠多于邏輯，形式化不是數學(xué)的起源，也不是最終的目標。掌握數學(xué)思想方法，認識客觀(guān)世界的數量變化規律，并用于認識世界和改造世界，才是數學(xué)科學(xué)的真諦。因此，通過(guò)數學(xué)學(xué)習使學(xué)生理解數學(xué)的價(jià)值，經(jīng)受思想方法的訓練，是提高學(xué)生的火熱思考的重要一環(huán)。
第一，需要宏觀(guān)把握數學(xué)思想方法。數學(xué)的特征是什么?數學(xué)方法有哪些特點(diǎn)?與其他科學(xué)方法有什么不同?我們應當用各種方法使學(xué)生體驗數學(xué)思想的威力，以受到心靈上的震撼。
例如，幾何學(xué)的第一個(gè)定理：對頂角相等。量一量、看一看就得到結論，學(xué)生也不會(huì )提出疑義。但是，數學(xué)教學(xué)不能停留在這一點(diǎn)上。教師應當在這里介紹古希臘學(xué)者的深邃思考，把它歸于更原始的公理：等量減等量仍為等量。接受對頂角相等的結論并非難事，認識到此事需要證明才是數學(xué)教學(xué)的目標。同樣，學(xué)習等腰三角形底角相等的結論也是如此。有證明的必要，才有學(xué)習數學(xué)的沖動(dòng)。
第二，要善于使用“平臺”方法。到了19世紀，一方面數學(xué)因實(shí)際需要的刺激而大力發(fā)展應用數學(xué)，另一方面，則向人類(lèi)思維能力的深度進(jìn)軍，非歐幾何、四元數、群論、分析學(xué)的嚴密化等思辨性數學(xué)發(fā)展迅速。其中和中學(xué)密切相關(guān)的內容有皮亞諾的自然數公理、戴德金的實(shí)數公理、希爾伯特的幾何公理體系等，這些，以前都作為師范大學(xué)數學(xué)系的必修課。其實(shí)，在中學(xué)這些都可以作為平臺使用，我們不必知道它們的具體內容，只要知道它的價(jià)值，然后“大膽地往前走”就是了。打個(gè)比方，我們都了解并會(huì )使用WINDOWS、幾何畫(huà)板等軟件平臺，但無(wú)須知道它們的內部結構、不必懂得它們是如何做出來(lái)的。
會(huì )用“平臺”是一種數學(xué)教學(xué)方法。其實(shí)，面積也是“平臺”，我們從未定義過(guò)面積，卻一直在使用。實(shí)數系和數軸上的點(diǎn)一一對應，大家也默認這一“平臺”(線(xiàn)段的可公度理論相當煩瑣)。有人建議，瞬時(shí)速度是否可以作為“平臺”接受下來(lái)，而對數的首數和尾數、開(kāi)平方、三角恒等變換，乃至二次曲線(xiàn)等問(wèn)題，是否都該問(wèn)問(wèn)它們的出發(fā)點(diǎn)在哪里?這些都是火熱的數學(xué)思考的一部分，是從數學(xué)知識的教育形態(tài)出發(fā)應該思考的問(wèn)題。
第三，數學(xué)建模方法。這是數學(xué)基本方法之一，徐利治先生早有論述，可惜我們通?？吹降臄祵W(xué)思想方法，只是“化歸”一種類(lèi)型，把建模方法排除在外。這樣做的結果便是高考中的數學(xué)應用題的得分率始終提不高。實(shí)際上，數學(xué)教學(xué)要恢復火熱的思考，數學(xué)建模思想方法是必須抓住的一環(huán)。
數學(xué)形式化是數學(xué)學(xué)習的重要組成部分，冰冷的形式化依然是美麗的。我們主張火熱的思考，正是為了能夠欣賞這種美麗。
（通渭縣第二中學(xué)）
