摘 要： 給定圖τ=（V，E）為只有有限個(gè)頂點(diǎn)的無(wú)向，簡(jiǎn)單樹(shù)（文中涉及的樹(shù)都滿(mǎn)足這個(gè)條件）.設τ的所有強自同態(tài)映射組成的半群為樹(shù)圖τ的強自同態(tài)幺半群，記作sEndτ.通過(guò)樹(shù)的特征研究了樹(shù)的強自同態(tài)幺半群的特征，得到結論：若τ′為τ的連通子圖，則sEndτ′同構于sEndτ的子半群.
關(guān)鍵詞： 自同態(tài)幺半群 連通子圖 子半群 右理想
有限單群的分類(lèi)經(jīng)過(guò)群論工作者長(cháng)達150年的努力，已于上個(gè)世紀八十年代完成[1].學(xué)者們最終證明，有限單群共有十八個(gè)無(wú)限族和二十六個(gè)零散單群.單群分類(lèi)完成后，Gorenstein提到了群論研究的幾個(gè)發(fā)展方向：新領(lǐng)域的出現（比如，對可解群的研究更加深入），圖的研究及在分類(lèi)過(guò)程中提出的研究方法的應用等.
通過(guò)閱讀與思考，發(fā)現其中研究得比較多的對象是通過(guò)群構造的凱萊圖（均是點(diǎn)傳遞的圖，即圖在其自同構群作用下只有一條頂點(diǎn)軌道），還有一些特殊圖，如正則圖線(xiàn)圖等.例如：在文獻[8]中，討論了雙Cayley圖的自同構群.在文[2]，[3]，[4]討論了Cayley圖的Hamilton性.還有的討論點(diǎn)傳遞圖的Hamilton性的文章，見(jiàn)文獻[5][6].
文章嘗試討論圖的自同態(tài)幺半群與圖的結構之間的關(guān)系.因為一般圖形的研究難度較大，于是主要討論簡(jiǎn)單樹(shù)強自同態(tài)幺半群，最后得到：樹(shù)的每個(gè)連通子圖的強自同態(tài)幺半群均同構與樹(shù)的強自同態(tài)幺半群的子半群；樹(shù)的強自同態(tài)幺半群的極大右理想對應樹(shù)的極大連通子圖.
文章未作特殊說(shuō)明處，均討論有限個(gè)頂點(diǎn)的簡(jiǎn)單無(wú)向樹(shù).
τ表示一棵樹(shù).用V 為樹(shù)τ的頂點(diǎn)集，E 為樹(shù)τ的邊集.
給定兩棵樹(shù)τ′，τ.設α是V →V 的一個(gè)映射，且滿(mǎn)足？坌x，y∈V ，若（x，y）∈E，則（α（x），α（y））∈E 且？坌m，n∈V ，（m，n）∈E ，蘊含（m，n）的原象屬于E ，稱(chēng)α為圖τ到τ′上的一個(gè)強同態(tài).
樹(shù)τ的強自同態(tài)半群：τ到自身的所有強同態(tài)組成的集合，記作sEnd（τ）.
α（τ）表示同態(tài)映射α作用于樹(shù)τ得到的新樹(shù)，記為α（τ）=τ .
其中V =τ（V ），E =τ（E ）.
引理1 樹(shù)τ的強自同態(tài)半群sEnd（τ）為幺半群.
證明：設e是Autτ的單位元，由定義可知e∈sEnd（τ），顯然有？坌α∈sEndτ，αe=eα所以引理得證.
引理2 設α∈sEndτ，令α（τ）=τ ，則τ 為τ的連通子圖.
證明：由定義易知，？坌x，y∈V ，若（x，y）∈E ，則（α（x），α（y））∈E 有τ 連通圖.又因為V ？哿V ，？坌m，n∈V ，（m，n）∈E 蘊含（m，n）的原象屬于E ，
則顯然有τ 為τ的子圖.所以τ 為τ的連通子圖.
引理 3 設τ的階是n（n≥2），若τ 為τ的n-1階連通子圖，則？堝α∈sEndτ，使得α（τ）=τ ，α（τ ）=τ .
證明：易證τ 為τ的n-1階連通子圖，等價(jià)于τ去掉的是一片葉子.當n=2時(shí)，引理顯然成立.當n≥3時(shí)，設τ 是去掉了葉子v 得到，令v 是與v 相鄰的（即（v ，v ）∈E ），v 是與v 相鄰且v ≠v .構造α，令α（v ）=v ？搖？搖i≠1v ？搖？搖i=1，由sEnd（τ）的定義易知α∈sEndτ.引理得證.
推論1設τ的階是n（n≥2），若τ 為τ的k（k=1，2…，n-1，n）階連通子圖，則？堝α∈sEndτ，使得α（τ）=τ ，且α（τ ）=τ .
證明：當k=n時(shí)，α∈Autτ，顯然有α∈sEndτ.當k=n-1時(shí)，由引理3結論可得證.當k=n-2時(shí)，可得存在τ 為τ的n-1階連通子圖且τ 為τ 的n-2階連通子圖，由引理3，？堝β∈sEndτ，使β（τ）=τ ，α（τ ）=τ .同理得，？堝？掊∈sEndτ ，使？掊（τ ）=τ ，？掊（τ ）=τ .則α=？掊·β.由定義易知α∈sEndτ.推論1得證.
定理1若τ′為τ的連通子圖，則sEndτ′同構于sEndτ的子半群.
證明：由推論1知？堝α∈sEndτ，使得α（τ）=τ′，α（τ′）=τ′.？坌β∈sEndτ′，令β′=αβ，S ={αβ|β∈sEndτ′}.一、若？坌β ，β ∈sEndτ′，β ≠β ，則有αβ ≠αβ ，所以sEndτ′與S ={αβ|β∈sEndτ′}之間一一對應.二、由（αβ ）·（αβ ）=αβ αβ =α（β α）β =α（β β ），得sEndτ′與S ={αβ|β∈sEndτ′}之間同態(tài)關(guān)系α：β→αβ.由一、二可得sEndτ′同構于S ={αβ|β∈sEndτ′}.易知S ={αβ|β∈sEndτ′}？哿sEndτ，所以sEndτ′同構于sEndτ的子半群.
將已知條件中的樹(shù)換成有限階的有向簡(jiǎn)單樹(shù)時(shí)則不一定出現定理一的情況.
例子1，構造有限階的簡(jiǎn)單有向樹(shù)τ=（V，E），如圖1.再構造其子圖τ′=（V′，E′），如圖2.
由圖1可知，sEndτ為{e，α}，α（v ）=v ，i≠8v ，i=8，i=1，2，…，9.由圖2可得Autτ′=S ？哿sEndτ′.易知，sEndτ′不可能同構于sEndτ的子半群.
進(jìn)一步思考，還有什么樣的圖能有定理一這樣的性質(zhì)呢？通過(guò)研究得到1個(gè)簡(jiǎn)單的猜想.
當一個(gè)有限階的簡(jiǎn)單有向圖有一個(gè)圈時(shí)，則不一定有定理一的性質(zhì).例如：構造有限階的簡(jiǎn)單無(wú)向圖G=（V，E），其中v={v ，v ，v }，E={（v ，v ），（v ，v ），（v ，v ）}，如圖3.易知，圖4G′=（V′，E′）為G=（V，E）的連通子圖.我們有AutG=S ，但是AytG′=S .顯然圖G與G′有不同自同構群.又因為sEndG=S ，所以sEndG′不可能同構于sEndG的子半群.
因此，產(chǎn)生一個(gè)猜想，只有當限階的簡(jiǎn)單有向圖G=（V，E）是一棵樹(shù)時(shí)，才會(huì )有定理一的結果.
參考文獻：
[1]D.Gorenstein，Finite Simple Groups，Harper and Row，NewYork，1968.
[2]路在平.雙Cayley圖的自同構群[J].北京大學(xué)學(xué)報（自然科學(xué)版），2003，39（1）：1-5.
[3]Meng Jixiang，Huang qiongxiang.Almost all Cayley Graphs Are Hamiltonian[J].Acta Mathematica Sinica，1996，12：151-155.
[4]Li Haizhu，Wang Jianfang，Sun Liang.Hamiltonian decomposition of Cayley graphs of ordersp2 andpq [J].Acta Mathematicae Applicatae Sinica，2000，16：78-86.
[5]S.J.Curran，J.A.Gallian.Hamiltonian cycles and paths in Cayley graphs and digraphs—a survey，Discrete Math，1996 （156）：1-18.
[6]D.Marusic，Hamiltonian cycles in vertex-symmetric graphs of order 2p^2，Discrete Math，1987（66）：169-174.
[7]祝富洋，游泰杰，徐波.樹(shù)在其自同構群下的點(diǎn)軌道集的特征[J].貴州師范大學(xué)學(xué)報（自然科學(xué)版），2013.
