摘要：本文結合經(jīng)濟管理類(lèi)專(zhuān)業(yè)的實(shí)際，給出從幾何問(wèn)題出發(fā)證明微分中值定理的思維過(guò)程，使得所討論的問(wèn)題的條件與結論都易于理解，證明中值定理過(guò)程中通常認為不易想到的作輔助函數的困難也變得易于接受。
關(guān)鍵詞：微分中值定理；幾何現象；輔助函數
中圖分類(lèi)號：G642.1 文獻標志碼：A 文章編號：1674-9324（2012）02-0198-04
一元實(shí)值函數的微分中值定理，包括費馬（Fermat）中值定理、羅爾（Rolle）定理、拉格朗日（Lagrange）中值定理、柯西（Cauchy）中值定理、泰勒（Taylor）定理（含馬克勞林（Maclaurin）公式）、洛必達（L"Hospital）法則以及達布（Darboux）定理，它們構成微分學(xué)的理論核心，在數學(xué)分析中處于十分重要的地位。微分中值定理揭示了函數在某區間上的整體性質(zhì)與該區間內部某一點(diǎn)的導數之間的關(guān)系。微分中值定理既是利用微分學(xué)知識解決應用問(wèn)題的數學(xué)模型，又是解決微分學(xué)自身發(fā)展的一種理論性數學(xué)模型。在經(jīng)濟數學(xué)教材中，微分中值定理一般只介紹三個(gè)定理——羅爾定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理，然而在學(xué)習過(guò)程中它又是學(xué)生較難理解和掌握的知識。微分中值定理搭起了運用導數知識去研究函數性態(tài)的一座橋梁，是應用導數的局部性質(zhì)研究函數在某區間的整體性質(zhì)的重要工具。借助微分中值定理可研究函數的單調性、極值、最大值和最小值、函數曲線(xiàn)的凹凸性及其拐點(diǎn)等各種性質(zhì)。由于微分中值定理的重要作用以及理解和掌握較難，因此研究其教學(xué)方案一直受到教師的普遍關(guān)注。傳統的做法是在羅爾定理的基礎上，用構造輔助函數的方法證明拉格朗日中值定理，進(jìn)一步再構造輔助函數證明柯西中值定理，其難點(diǎn)在于構造輔助函數。不少作者撰寫(xiě)文章介紹構造輔助函數的新思維、新方法（如利用疊加函數的方法構造輔助函數等）；有些作者則利用費爾馬求最值的方法及達布定理先證明柯西中值定理，再推出拉格朗日中值定理進(jìn)而推出羅爾定理；又有些作者在證明了羅爾定理后立即得到兩個(gè)推論，從而容易構造出輔助函數證明柯西中值定理進(jìn)而推出拉格朗日中值定理；還有些作者將微分中值定理表述成矢量形式再予以證明并加以推廣。這些證明微分中值定理的方法思路清晰、論證嚴密，因而得到普遍使用。雖然輔助函數的作法構思別致但不易想到。本文結合經(jīng)濟管理類(lèi)專(zhuān)業(yè)的實(shí)際，根據直觀(guān)性原則，給出從幾何問(wèn)題出發(fā)學(xué)習微分中值定理的思維設計，從而達到易于理解微分中值定理的條件與結論的目的。
一、曲線(xiàn)有水平切線(xiàn)——導出羅爾定理
首先觀(guān)察圖1，在平面直角坐標系里有一條連續的曲線(xiàn)ACB，其函數y=f（x）（x∈［a，b］），兩個(gè)端點(diǎn)分別記為A，Ｂ，這條曲線(xiàn)除端點(diǎn)外處處有不垂直于x軸的切線(xiàn)，且兩個(gè)端點(diǎn)的縱坐標相等，即f（a）=f（b）.不難看出在曲線(xiàn)的最高點(diǎn)C處（還有最低點(diǎn)），曲線(xiàn)有水平的切線(xiàn)，這條切線(xiàn)正好與端點(diǎn)的連線(xiàn)AB平行（弦AB的斜率kAB=0）.如果記C點(diǎn)的橫坐標為ξ，那么由導數的幾何意義可以得f"（ξ）=0.用分析的語(yǔ)言來(lái)描述這一幾何現象就可得到——
羅爾定理 若函數f（x）滿(mǎn)足條件：
（1）在閉區間［a，b］上連續；
（2）在開(kāi)區間（a，b）上可導；
（3）f（a）=f（b），則在（a，b）內至少存在一點(diǎn)ξ，使得 f"（ξ）=0.
證：因為f（x）在［a，b］上連續，所以由連續函數的最大最小值原理知，f（x）在［a，b］上可取到最大值M和最小值m，現在分兩種情況分別討論如下：
1.若M=m，則f（x）≡M（或m），此時(shí)該函數f（x）為常數函數，故其導數恒等于零。于是在（a，b）上任意取一點(diǎn)ξ，都有f"（ξ）=0.
2.若m＜M，即最大值與最小值不相等，而兩個(gè)端點(diǎn)的函數值相等，從而至少有一個(gè)最值不在端點(diǎn)取得。不妨設最大值不在端點(diǎn)取得。從而知存在ξ∈（a，b），使得f（ξ）=M.以下來(lái)證明f"（ξ）=0.
由于f（ξ）=M是最大值，所以恒有f（ξ+Δx）-f（ξ）≤0，ξ+Δx∈（a，b）.
當Δx＞0時(shí)，有 ■≤0，則f"（ξ）=■■≤0； （1）
當Δx＜0時(shí)，有■≥0，則f"（ξ）=■■≥0；（2）
由于式（1）、（2）同時(shí)成立，從而有f"（ξ）=0.
綜合以上兩種情況，羅爾定理得證。
從羅爾定理的導出可以看出，利用幾何直觀(guān)對于問(wèn)題的條件與結論都易于理解。就經(jīng)濟管理類(lèi)專(zhuān)業(yè)而言，其證明即使未完全掌握，也完全可以弄清羅爾定理的條件與結論。
二、曲線(xiàn)有傾斜切線(xiàn)——導出拉格朗日中值定理
以下再來(lái)觀(guān)察圖2，在平面直角坐標系里有一條連續的曲線(xiàn)ACB，其函數為y=f（x）（x∈），兩個(gè)端點(diǎn)分別記為A、B，這條曲線(xiàn)除端點(diǎn)外處處有不垂直于x軸的切線(xiàn)，不難看出在曲線(xiàn)的C處（圖中還有一處）有切線(xiàn)平行于兩端點(diǎn)的連線(xiàn)AB.如果記C點(diǎn)的橫坐標為ξ，那么由導數的幾何意義知ξ處的切線(xiàn)斜率為f"（ξ），而弦AB的斜率為kAB=■，于是有f"（ξ）=■.
綜上所述可知，平面內以A、B為端點(diǎn)的連續曲線(xiàn)弧處處有不平行于y軸的切線(xiàn)時(shí)，則在曲線(xiàn)內至少有一點(diǎn)，其切線(xiàn)平行于弦AB.用分析的語(yǔ)言來(lái)描述這一幾何現象就得到下面微分學(xué)中十分重要的——
拉格朗日中值定理 若函數f（x）滿(mǎn)足下列條件：
（1）在閉區間［a，b］上連續；
（2）在開(kāi)區間［a，b］上可導；
則在（a，b）內至少存在一點(diǎn)ξ，使得f"（ξ）=■.
分析 將坐標系繞原點(diǎn)在平面內的旋轉，使得在新坐標系“XOY”下，線(xiàn)段AB平行于新坐標系的X軸，于是就有了F（a）=F（b）.F（x）的幾何意義，正是曲線(xiàn) y=f（x）與直線(xiàn)AB：y=f（a）+■（x-a）之差，這樣就有了作輔助函數的方法。
證：作輔助函數F（x）=f（x）-f（a）-■（x-a），易知，F（a）=F（b）=0，且F（x）在［a，b］上滿(mǎn)足羅爾定理的另外兩個(gè)條件，故存在點(diǎn)ξ∈（a，b），使得F"（ξ）=f"（ξ）-■=0，即f"（ξ）=■，定理得證。
從拉格朗日中值定理的導出同樣可以看出，利用幾何直觀(guān)對于問(wèn)題的條件與結論都易于理解。就經(jīng)濟管理類(lèi)專(zhuān)業(yè)而言，證明過(guò)程中輔助函數的作法一般不易想到，但定理的條件與結論是直觀(guān)的，而且是不難接受的。
關(guān)于拉格朗日中值定理，再作以下幾點(diǎn)說(shuō)明：
（1）從幾何直觀(guān)上看，易知羅爾定理是拉格朗日中值定理當f（a）=f（b）時(shí)的特例；
（2）該問(wèn)題是將一般情況轉化為特殊情況，將復雜問(wèn)題轉化為簡(jiǎn)單問(wèn)題的論證思想，它是數學(xué)中重要而常用的數學(xué)思維方法。這里又是通過(guò)幾何直觀(guān)來(lái)提供一個(gè)構造輔助函數的方法的思路，使得粗象的構造輔助函數的思想變得直觀(guān)而易于理解；
（3）拉格朗日中值定理的結論常稱(chēng)為拉格朗日公式，它有幾種常用的等價(jià)形式，可根據不同問(wèn)題的特點(diǎn)，在不同場(chǎng)合靈活采用：
f（b）-f（a）=f"（ξ）（b-a），ξ∈（a，b）；
f（b）-f（a）=f"［a+θ（b-a）］（b-a），θ∈（0，1）；
f（a+h）-f（a）=f"（a+θh）h，θ∈（0，1）；
（4）以下推論1實(shí)際上是利用拉格朗日中值定理研究函數的典型例子之一，從幾何圖形上看又是直觀(guān)的：如圖3，在平面直角坐標系中連續的曲線(xiàn)AMB的切線(xiàn)處處是水平的（即斜率滿(mǎn)足f"（ξ）?堍0），則該曲線(xiàn)必定是一條水平的直線(xiàn)（即函數必為常數函數y=f（x）?堍c， （x∈［a，b］）.此時(shí)曲線(xiàn)上任意一點(diǎn)處切線(xiàn)與曲線(xiàn)重合。
推論1 若函數f（x）在區間（a，b）上的導函數f"（x）?堍0，則f（x）是一個(gè)常數函數。
證：對于區間（a，b）上的任何兩點(diǎn)x1，x2，不妨設x1＞x2則在f（x）在［x1，x2］上滿(mǎn)足拉格朗日中值定理的條件。根據該定理，有f（x2）-f（x1）=f"（ξ）（x1，x2）=0，這就是說(shuō)，f（x）在區間（a，b）上的任何兩個(gè)值都相等，所以為常數函數。
（5）以下推論２是利用拉格朗日中值定理研究函數的另一個(gè)典型例子之一，從幾何圖形上看同樣是直觀(guān)的：如圖4，平面直角坐標系中的兩條連續的曲線(xiàn)AMB、A"M"B"在區間（a，b）內處處有不垂直x軸的切線(xiàn)，且兩曲線(xiàn)的切線(xiàn)處處是平行的（即斜率滿(mǎn)足f"（ξ）=g"（ξ）（ξ∈a，b）），則兩條曲線(xiàn)中的一條曲線(xiàn)y=f（x）是由另一條曲線(xiàn)y=g（x）軸方向平移得到的（即滿(mǎn)足f（x）=g（x）+C）.
推論2 若函數y=f（x）和y=g（x）均在區間（a，b）上可導，且f"（x）=g"（x），其中x∈（a，b），則在區間（a，b）上，函數f（x）與g（x）只差一個(gè)常數，即存在常數C，使得f（x）=g（x）+C.
證：令F（x）=f（x）-g（x），由推論1，F（x）=C，所以有 f（x）=g（x）+C.
三、曲線(xiàn)由參數方程表示有切線(xiàn)——導出柯西中值定理
類(lèi)似地，利用拉格朗日中值定理的幾何意義及參數方程的知識可推出柯西中值定理。如圖5，設該曲線(xiàn)的參數方程為X=g（x）Y=f（x） （a≤x≤b），其中x為參數。
那么曲線(xiàn)上的點(diǎn)（X，Y）處切線(xiàn)的斜率為■=■，弦AB的斜率為■，假設點(diǎn)C對應于參數x=ξ，那么曲線(xiàn)上點(diǎn)C處的切線(xiàn)平行于弦AB，可以表示為■=■.用分析的語(yǔ)言表示即為——
柯西中值定理 若滿(mǎn)足條件：
（1）函數f（x），g（x）在閉區間［a，b］上連續；
（2）函數f（x），g（x）在開(kāi)區間（a，b）上可導；
（3）在開(kāi)區間g"（ξ）內不為零；則在（a，b）內至少存在一點(diǎn)ξ，使得■=■.
證：首先由拉格朗日中值定理，知g（b）-g（a）=g（ξ）（b-a）≠0，類(lèi)似于證明拉格朗日中值定理時(shí)分析作輔助函數的方法，作輔助函數：
F（x）=f（x）-f（a）-■（g（x）-g（a））"，
顯然，F（x）滿(mǎn)足羅爾定理的條件，所以存在點(diǎn)ξ∈（a，b），使得F"（ξ）=0，
即f"（ξ）-■g"（ξ）≠0；因為g"（ξ）≠0，從而有■=■.
不難看出，拉格朗日中值定理是柯西中值定理當g（x）=x時(shí)的特例，柯西中值定理最重要的應用是導出求不定式極限的非常好用的洛必達法則。
有了微分中值定理，一些從幾何現象上看并不直觀(guān)的函數關(guān)系的數學(xué)命題，運用微分中值定理容易給出其理論證明，顯示出了微分中值定理運用導數知識去研究函數性態(tài)的橋梁的重要作用，僅舉以下幾例：
例1 證明：當a＞b＞0時(shí)，■＜ln■＜■.
證 令f（x）=lnx，x∈［a，b］，則f（x）在［a，b］上連續，在（a，b）內可導，由拉格朗日定理得■=■，（a＜ξ＜b），由于■＜■＜■，得■＜lna-lnb＜■，故■＜ln■＜■.
例2 證明：當x＞0時(shí)，成立不等式
■＜ln（1+■）＜■.
分析：注意到x＞時(shí)，ln（1+■）=ln（1+x）-lnx，則對于f（t）=lnt，在區間［x，1+x］上，有f（1+x）-f（x）=ln（1+x）-lnx，可考慮運用拉格朗日定理進(jìn)行證明。
證明：令f（t）=lnt，則f（t）在［x，1+x］（x＞0）上滿(mǎn)足拉格朗日定理條件，從而有f（1+x）-f（x）=f"（ξ）（1+x-x），（0＜x＜ξ1+x），即ln（1+x）-lnx=■.
因為0＜x＜ξ1+x，所以■＜■＜■，代入上式得■＜ln（1+x）-lnx＜■，即■＜ln（1+■）＜■，（x＞0）.
例3 當x＞0時(shí)，試證：若ex=1+xexθ（x）（其中0＜θ（x）＜1），則■θ（x）=■.
分析：移項可得ex-1=xexθ（x），易知，等式左邊為函數 f（t）=e"在［0，x］上的增量形式，而右邊與θ（x）有關(guān)，可考慮運用拉格朗日定理進(jìn)行證明。
證明：令f（t）=e"，則當x＞0時(shí)，f（t）在區間［0，x］上滿(mǎn)足拉格朗日定理條件，因此有f（x）-f（0）=f"（0+（x-0）θ（x）（x-0）），（0＜θ（x）＜1），由上式，解得exθ（x）=■，即θ（x）=■ln■，故■θ（x）=■■ln■（■型）
=■（■·■）（ex-1與x等價(jià)）
=■■（■型）.
=■■=■.
參考文獻：
[1]柴慧琤.微分中值定理證法的幾何解釋[J].數學(xué)通報，1991，（2）.
[2]同濟大學(xué)應用數學(xué)系.高等數學(xué)上冊（第5版）[M].北京：高等教育出版社，2003.
[3]龔友運，等.高等數學(xué)第一冊（第3版）[M].武漢：華中科技大學(xué)出版社，2006.
