摘要：導數作為函數的變化率，在研究函數變化的性態(tài)中有著(zhù)十分重要的意義。因而在自然科學(xué)，工程技術(shù)以及社會(huì )科學(xué)領(lǐng)域中得到廣泛的應用，運用導數可以解決經(jīng)濟上常見(jiàn)的一些問(wèn)題[1]。本文重點(diǎn)討論了導數在解決經(jīng)濟學(xué)中“邊際成本”，“邊際收入”，“邊際利潤”以及“最大利潤”等問(wèn)題[2]。
關(guān)鍵詞：導數；變化率；邊際成本；邊際收入；邊際利潤；最大利潤
引言：微積分學(xué)是高等數學(xué)最基本、最重要的組成部分，是現代數學(xué)許多分支的基礎，是人類(lèi)認識客觀(guān)世界、探索宇宙奧秘乃至人類(lèi)自身的典型數學(xué)模型之一。導數[3]是微積分的兩大部分之一，指的是函數的變化率，闡述了一些事物和現象都不斷變化，當然經(jīng)濟現象也不例外。本文主要討論了經(jīng)濟學(xué)中邊際分析的應用。
一、導數的概念
定義 設函數 在點(diǎn) 的某個(gè)鄰域內有定義，當自變量 在 處取得增量 （點(diǎn) + 仍在該鄰域內）時(shí)，相應地函數 取得增量 ，如果 與 之比當 0時(shí)的極限存在，則稱(chēng)函數 在點(diǎn) 處可導，并稱(chēng)這個(gè)極限為函數 在點(diǎn) 處的導數，記為 ，即
. （1）
令（1）中的 時(shí)，則當 時(shí) ，因此（1）式又可寫(xiě)為
.（2） 令 ，則得到（3）式
.（3）
進(jìn)而可引出左，右導數的定義：
，
.
二、邊際的概念及應用
邊際概念是經(jīng)濟學(xué)中的一個(gè)重要概念，通常指經(jīng)濟變量的變化率，即經(jīng)濟函數的導數稱(chēng)為邊際。而利用導數研究經(jīng)濟變量的邊際變化的方法，就是邊際分析方法。
1.邊際成本
在經(jīng)濟學(xué)中，邊際成本定義為產(chǎn)量增加或減少一個(gè)單位產(chǎn)品時(shí)所增加或減少的總成本。即有如下定義：
定義1：設總成本函數 ，且其它條件不變，產(chǎn)量為 時(shí)，增加（減少）1個(gè)單位產(chǎn)量所增加（減少）的成本叫做產(chǎn)量為 時(shí)的邊際成本。即：
其中 =1或 =-1。
例1：已知某商品的成本函數為：
（Q表示產(chǎn)量）
求：（1）當 時(shí)的平均成本及 為多少時(shí)，平均成本最??？
（2） 時(shí)的邊際成本并解釋其經(jīng)濟意義。
解：（1）由 得平均成本函數為：
當 時(shí)：
記 ，則 令 得：
而 ，所以當 時(shí)，平均成本最小。
（2）由 得邊際成本函數為：
則當產(chǎn)量 時(shí)的邊際成本為5，其濟意義為：當產(chǎn)量為10時(shí)，若再增加（減少）一個(gè)單位產(chǎn)品，總成本將近似地增加（減少）5個(gè)單位。
2.邊際收入
定義2：若總收益函數 可導，稱(chēng)
為銷(xiāo)售量為 時(shí)該產(chǎn)品的邊際收益。 稱(chēng)為邊際收益函數，且 .
其經(jīng)濟意義為在銷(xiāo)售量為 時(shí)，再增加（減少）一個(gè)單位的銷(xiāo)售量，總收益將近似地增加（減少） 個(gè)單位。
注：總收益是生產(chǎn)者出售一定量產(chǎn)品所得以的全部收入，表示為 ，其中 表示銷(xiāo)售量。
3.邊際利潤
定義3：總利潤是指銷(xiāo)售 個(gè)單位的產(chǎn)品所獲得的凈收入，即總收益與總成本之差，記 為總利潤，則：
（其中 表示銷(xiāo)售量）
定義4：若總利潤函數 為可導函數，稱(chēng)
為 在 處的邊際利潤。
其經(jīng)濟意義為在銷(xiāo)售量為 時(shí)，再多（少）銷(xiāo)售一個(gè)單位產(chǎn)品所增加（減少）的利潤。
根據總利潤函數，總收益函數、總成本函數的定義及函數取得最大值的必要條件與充分條件可得如下結論。
由定義，
令 則 .
結論1：函數取得最大利潤的必要條件是邊際收益等于邊際成本.
結論2：函數取得最大利潤的充分條件是：邊際利益等于邊際成本且邊際利益的變化小于邊際成本的變化率。
例2：假定有酒100噸，現價(jià)8元/公斤，多陳一年可增值2元/公斤，貯存費每年10000元，因貯存酒積壓資金引起機會(huì )成本每年增加 （其中 為酒的貯量， 為當年白酒價(jià)格， 為利息率，且假定 %），那么這些酒須儲存多久效益才最大呢？
1. 年增加的總收入函數
（元）
2. 年增加的貯存總成本
（元）
3. 年凈增利潤函數
= （元）
此時(shí)邊際收入： 邊際成本：
因為當 利潤最大，所以有 ，即 年。
由于駐點(diǎn)唯一，故只有當儲存期為2.75年時(shí)，企業(yè)才能獲得最佳經(jīng)濟效益，其最大凈增利潤為151 250元。
三.總結
隨著(zhù)市場(chǎng)經(jīng)濟的不斷進(jìn)步與發(fā)展，靈活利用數學(xué)知識解決經(jīng)濟問(wèn)題顯得越來(lái)越重要，而導數是高等數學(xué)中的重要概念，更是經(jīng)濟分析的重要工具。把經(jīng)濟活動(dòng)中一些現象歸納到數學(xué)領(lǐng)域中，來(lái)運用所學(xué)的數學(xué)知識進(jìn)行解答，對很多經(jīng)營(yíng)決策起了非常重要的作用[4]。
對企業(yè)經(jīng)營(yíng)者管理者來(lái)說(shuō)，精準的對其經(jīng)濟環(huán)節進(jìn)行定量分析是非常必要的。最優(yōu)化問(wèn)題也是經(jīng)濟管理活動(dòng)的核心，通常是利用函數的導數求經(jīng)濟問(wèn)題中的平均成本最低、總收入最大、總利潤最大等問(wèn)題。將導數作為分析工具，可以給企業(yè)經(jīng)營(yíng)者提供精確的數值和新的思路和視角[5]。
經(jīng)濟學(xué)分析中的主要優(yōu)化問(wèn)題有產(chǎn)出最大化分析、收入最大化分析、利潤最大化分析、資源合理利用的優(yōu)化分析、成本最小化分析以及最優(yōu)組合分析等，通常伴隨一些約束條件[6]。通過(guò)優(yōu)化分析可以幫助企業(yè)管理者尋求最大化企業(yè)的收益，并盡量降低生產(chǎn)成本和管理費用，意義非常深遠[7]。
導數對于在經(jīng)濟學(xué)中邊際問(wèn)題的剖析尤為主要，經(jīng)由過(guò)程邊際問(wèn)題的剖析，對于企業(yè)的抉擇妄想者做出正確的抉擇妄想起了十分主要的浸染！通過(guò)闡述導數在經(jīng)濟分析中的幾種應用，說(shuō)明導數在經(jīng)濟管理中的重要作用，利用數學(xué)工具對經(jīng)濟的各個(gè)環(huán)節進(jìn)行定量分析[8]，有利于對經(jīng)濟管理工作做定性分析，從而更科學(xué)地進(jìn)行經(jīng)濟管理，這是我國深化體制改革使經(jīng)濟管理工作于國際接軌必不可少的一步。
參考文獻：
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[4]王利珍：用導數解決經(jīng)濟中的最優(yōu)化問(wèn)題[J].忻州師范學(xué)院學(xué)報.2008.10.27-28
[5]王利珍：用導數解決經(jīng)濟中的最優(yōu)化問(wèn)題[J].忻州師范學(xué)院學(xué)報.2008.10.27-28
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[8]王桐柱：函數的導數與邊際成本[J].高中數學(xué)教與學(xué)，2005.10.43-44
