總結、類(lèi)比，用最通俗的語(yǔ)言講解問(wèn)題的本質(zhì)。只有這樣，學(xué)生才能活學(xué)活用。高等數學(xué)的教學(xué)質(zhì)量才可以得到提升。本文用類(lèi)比法來(lái)講解曲線(xiàn)積分與曲面積分，并結合Matlab2018a軟件以更加直觀(guān)的形式給學(xué)生演示兩類(lèi)積分的特點(diǎn)。
一、曲線(xiàn)積分與曲面積分的區別與聯(lián)系
曲線(xiàn)積分與曲面積分是高等數學(xué)下冊中最重要的一章內容。這兩個(gè)定義都有著(zhù)不同的物理含義。曲線(xiàn)積分分為第一型曲線(xiàn)積分和第二型曲線(xiàn)積分。曲面積分同樣也分為第一型曲面積分、第二型曲面積分。兩種類(lèi)型的積分都可以相互轉化。
1.曲線(xiàn)積分的特點(diǎn)。第一型曲線(xiàn)積分是求整個(gè)曲線(xiàn)形構件的質(zhì)量。被積函數是線(xiàn)密度函數。密度是一個(gè)標量，不存在方向。第二型曲線(xiàn)積分是求變力沿曲線(xiàn)做功問(wèn)題。力是矢量，存在方向，所以在計算積分時(shí)要考慮被積函數和積分微元的關(guān)系，即它們之間的夾角。這個(gè)夾角是用該點(diǎn)處的切線(xiàn)和“力”的方向來(lái)衡量的。
2.曲面積分的特點(diǎn)。第一型曲面積分是求面質(zhì)量。被積函數是面密度函數。面密度是一個(gè)標量，無(wú)方向性。第二型曲面積分是求曲面流量問(wèn)題。類(lèi)似的，在曲面上每一點(diǎn)的“速度”是被積函數在這一點(diǎn)處的矢量值，與面積分微元做積分運算時(shí)需要考慮兩者的關(guān)系：面積分微元的法向量與該矢量之間的夾角。
二、曲線(xiàn)積分與曲面積分的計算
無(wú)論是曲線(xiàn)積分還是曲面積分的計算，最終都轉化為一元函數定積分的計算。因此定積分的計算是曲線(xiàn)積分和曲面積分計算的基礎。
1.兩種積分的計算步驟：（1）將曲線(xiàn)或者曲面方程代入被積函數，消去某個(gè)或者替換某個(gè)變量。（2）將曲線(xiàn)或者曲面投影到坐標軸或者坐標平面上，確定積分區域。（3）第二型積分具有方向性，積分取正號還是負號，由曲線(xiàn)方向和坐標軸正向的夾角確定，或者由曲面的法方向與坐標平面的正法方向的夾角確定。（4）封閉曲線(xiàn)或封閉曲面的積分由格林公式、高斯公式、斯托克公式進(jìn)行邊界和區域積分的相互轉化。
2.兩種積分的計算要點(diǎn)：（1）曲線(xiàn)積分和曲面積分的積分對象都是函數。函數如果在曲線(xiàn)或者曲面上，則將曲線(xiàn)或者曲面方程代入到被積函數中。消去哪個(gè)變元由曲線(xiàn)或者曲面在誰(shuí)上的投影決定。（2）在完成曲線(xiàn)和曲面方程代入步驟后，根據題意選擇合適的投影方式將曲線(xiàn)積分和曲面積分變成普通積分。投影選取規則為：曲線(xiàn)積分選擇曲線(xiàn)在坐標軸上的投影，曲面積分選擇曲面在坐標平面上的投影。如果投影區域有重疊，則將曲線(xiàn)和曲面分隔成若干部分后再分別積分。（3）第二型曲線(xiàn)和曲面積分（即對坐標的曲線(xiàn)和曲面積分）做投影時(shí)，如何選擇方向顯得很關(guān)鍵。
方向選取規則：
曲線(xiàn)：曲線(xiàn)做投影時(shí)，則考慮曲線(xiàn)的方向和軸正向之間的夾角，情況如下：夾角為銳角，方向角的余弦取正號;夾角為鈍角，方向角的余弦取負號;夾角為90°，方向角的余弦為0。積分的上下限的確定和定積分一樣，即：小在下，大在上。
曲面：曲面投影到平面上，則考慮曲面的法方向和平面的正法方向之間的夾角，情況如下：夾角為銳角，方向角的余弦取正號;夾角為鈍角，方向角的余弦取負號;夾角為直角，方向角的余弦則為0。
不管是曲面積分還是曲線(xiàn)積分，首先將曲線(xiàn)或曲面方程代入被積函數，其次把曲線(xiàn)或曲面投影到坐標軸或者坐標平面上，然后確定積分區域，最后積分的正負號由夾角的情況來(lái)確定。
三、Matlab軟件實(shí)例演示
Matlab是全世界目前公認的三大主流數值計算軟件。Matlab具有強大的繪圖和計算能力。通過(guò)列舉四個(gè)不同類(lèi)型的積分，用Matlab2018a軟件編程，將具體計算的過(guò)程分步演示給學(xué)生看，可以讓復雜的計算過(guò)程變得更直觀(guān)，加深學(xué)生對知識要點(diǎn)的理解，提升對高等數學(xué)的學(xué)習興趣，開(kāi)闊學(xué)生的學(xué)習視野，提升教師的理論教學(xué)效果，讓生硬的課堂氣氛變得更加活躍。
四、結論
眾所周知，數學(xué)問(wèn)題來(lái)源于實(shí)際生活。學(xué)習高等數學(xué)的目的就是為了更好地解決實(shí)際問(wèn)題。在曲線(xiàn)積分和曲面積分類(lèi)比教學(xué)中，為了讓學(xué)生能準確把握線(xiàn)面積分的區別與聯(lián)系，教師在講授高等數學(xué)重難點(diǎn)時(shí)應積極借助科學(xué)計算軟件，真正做到活學(xué)活用，學(xué)以致用。
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The Analogy Method of Teaching Surface Integration and Curvilinear Integration
XIONG Ju-xia，HUANG Yong，JIN Qing-geng，QU Liang-dong
（Guangxi Key Lab of Hybrid Computation and IC Design Analysis，Guangxi University for Nationalities，Nanning，Guangxi 530006，China）
Abstract：Higher mathematics is a compulsory degree course in university science and engineering.Curvilinear integration and surface integration are one of the most difficult problems in the lower secondary mathematics.Many students feel very at a loss when learning curve integrals and surface integrals.In order to allow students to better grasp the curve integrals and surface integrals，to quickly and accurately calculate the curve integrals and surface integrals，this paper uses the analogy method to explain the curve integrals and surface integrals，and uses Matlab 2018a software to demonstrate the differences between the two types of integrals.
Key words：advanced mathematics;curve integral;surface integral;analogy
