在信息量不斷膨脹的當代社會(huì )，大量的數字充斥著(zhù)人們的視野，處理和閱讀數字背后信息的能力顯得愈發(fā)重要，因此，微積分等高等數學(xué)課程在培養學(xué)生數學(xué)能力、提高數學(xué)素養方面的作用越來(lái)越受到肯定和重視。教材體現了微積分教育的理念，決定了微積分教學(xué)的內容，是微積分教學(xué)中不可忽視的一環(huán)。我國目前雖然每年都有不少重點(diǎn)教材、規劃教材推出，然而大多數是經(jīng)典數學(xué)理論體系和方法的簡(jiǎn)單重復和增刪取舍，缺少實(shí)際應用，真正有新意的并不多。在此，筆者選取了中美兩國的兩本流傳度較廣的微積分教材，即美國最為暢銷(xiāo)的微積分教材——James Stewart的《微積分》和國內經(jīng)管類(lèi)專(zhuān)業(yè)使用比較廣泛的中國人民大學(xué)趙樹(shù)嫄編著(zhù)的《微積分》（第3版），并從兩者的編寫(xiě)思想、內容呈現、習題設置等方面進(jìn)行比較和分析，以期發(fā)現美國微積分教材中可資借鑒的地方，進(jìn)而為我國的微積分教材改革提供一些參考。
數學(xué)內容的比較
Stewart版《微積分》主要內容包括：函數與模型、極限與導數、求導法則、微積分的應用、積分、積分的應用、積分方法、積分的進(jìn)一步應用、微分方程、參數方程和極坐標、無(wú)窮序列與級數、向量與解析幾何、向量函數、偏導數、多重積分、向量微積分、二階微分方程等17個(gè)部分。而人大版《微積分》主要內容包括：函數、極限與連續、導數與微分、中值定理與導數的應用、不定積分、定積分、無(wú)窮級數、多元函數、微分方程與差分方程簡(jiǎn)介等9個(gè)部分。
從純數學(xué)理論的角度來(lái)看，這兩本教材比較接近，內容基本相同，這是非常自然的。因為這些內容本就是微積分數學(xué)理論體系和方法的核心內容，無(wú)論對哪個(gè)國家的學(xué)習微積分課程的學(xué)生來(lái)說(shuō)都是必須具備的經(jīng)典知識。然而從附加內容上來(lái)看，兩本教材就存在著(zhù)明顯的差異了。Stewart版《微積分》在介紹數學(xué)內容的同時(shí)還把數學(xué)史、數學(xué)文化教育貫穿進(jìn)來(lái)；將重要的概念和定理從產(chǎn)生的實(shí)際背景，到抽象定義，再到實(shí)際應用的過(guò)程中所經(jīng)歷的智慧、方法和趣事展現給學(xué)習者。如在介紹極限時(shí)，會(huì )在書(shū)頁(yè)左側的空白處插入“牛頓與極限”“柯西與極限”的小知識。這種如講故事般輕松愉快的方式，既增加了學(xué)習的趣味性，也使學(xué)習者在學(xué)習的過(guò)程中容易看到微積分的時(shí)代背景、本質(zhì)，對微積分“從何而來(lái)，是什么，能做什么”有更多的理解和認識，可以擁有更開(kāi)闊的視野，為創(chuàng )造性思維打下基礎。這個(gè)在國內教材中幾乎很難看到。
編寫(xiě)理念的比較
Stewart版《微積分》和其它美國大多微積分教材一樣強調對概念的理解，并通過(guò)四原則來(lái)實(shí)現——即闡述主題的“幾何化、數值化、代數化和文字化”。如講極限概念時(shí)，通過(guò)數值計算、圖形演示的方式直觀(guān)而自然地引出了極限的文字化定義，或者說(shuō)直觀(guān)定義，再以同樣的方式給出大量的例子，甚至極限的運算法則。讓學(xué)生首先對極限本質(zhì)有了一個(gè)強烈的認識之后，再在后面的內容中進(jìn)一步介紹極限的嚴格的代數化定義——ε-δ定義。強化了對極限這一概念本身的理解。
人大版《微積分》與我國其它大多數微積分教材一樣更注重嚴格的邏輯證明和公式的推導，主要以代數化，輔以少量幾何化的方式闡述數學(xué)內容，對于內容的數值化和文字化的表示則略去不提或一筆帶過(guò)。仍以極限為例，人大版《微積分》通過(guò)兩個(gè)數值的例子引出極限的直觀(guān)定義后就直接進(jìn)入到ε-δ定義，并將重點(diǎn)放在了用此定義證明極限上面。學(xué)生的注意力很快就從極限本身轉向了公式的推導和證明。這導致不少學(xué)生在學(xué)完微積分后能證明和計算極限，卻不能清晰地說(shuō)出極限究竟是什么。
日本數學(xué)家米山國藏說(shuō)：“我搞了多年的數學(xué)教育，發(fā)現學(xué)生們在初中、高中接受的數學(xué)知識因畢業(yè)進(jìn)入社會(huì )后，幾乎沒(méi)有什么機會(huì )應用這些作為知識的數學(xué)，所以通常是出校門(mén)不到一兩年很快就忘掉了。然而，不管他們從事什么業(yè)務(wù)工作，唯有深深銘刻于頭腦中的數學(xué)精神、數學(xué)的思維方法、研究方法和著(zhù)眼點(diǎn)等，都隨時(shí)隨地發(fā)生作用，使他們受益終生?！痹谕ㄗR教育、素質(zhì)教育的大背景下，轉變和革新教學(xué)理念并將其體現在教材建設上來(lái)，是每一個(gè)數學(xué)教育工作者都應該深入思考的問(wèn)題。
數學(xué)應用的比較
與國內教材相比，國外教材的一個(gè)突出的特點(diǎn)是把數學(xué)理論應用于解決實(shí)際問(wèn)題。教材中的應用題習題量大、時(shí)效性強，選擇的幾乎都是最新的實(shí)際問(wèn)題，內容涉及物理學(xué)、幾何學(xué)、生物學(xué)、化學(xué)、醫學(xué)、經(jīng)濟學(xué)、金融學(xué)、社會(huì )學(xué)、建筑學(xué)、地質(zhì)學(xué)等，幾乎包含了各個(gè)學(xué)科領(lǐng)域。而且時(shí)效性較強，不同的學(xué)科領(lǐng)域面廣、量大，緊密結合了最新的實(shí)際問(wèn)題。如Stewart《微積分》（第5版），第17頁(yè)在講到函數的表示方法時(shí)給出了Northridge地震的記錄圖；第210頁(yè)在講到導數刻畫(huà)變化率的問(wèn)題時(shí)，所引的例子為物理學(xué)上金屬桿或金屬片的線(xiàn)密度，化學(xué)中化學(xué)反應的反應速度，生物學(xué)中血液流動(dòng)速度相對于血流到血管中心軸線(xiàn)距離的變化率，以及經(jīng)濟學(xué)中生產(chǎn)的邊際成本；在講到導數的應用問(wèn)題時(shí)又介紹了對彩虹的形狀、位置和顏色的數學(xué)解釋。盡管這些問(wèn)題從數學(xué)角度來(lái)看都只不過(guò)是關(guān)于某個(gè)指標的變化率，然而一旦和實(shí)際問(wèn)題相聯(lián)系，既增加了題目的趣味性，又拓寬了讀者的知識面，價(jià)值大大增加了。
國內教材在應用方面多局限于微積分在物理、幾何中的傳統應用，而且所涉及到的數據也多是純?yōu)榻忸}而編造出來(lái)的，并非如國外教材一般多用的是現實(shí)生活中的真實(shí)數據。由于缺少時(shí)代氣息和真實(shí)感，國內教材容易使學(xué)生感覺(jué)到自己與微積分距離十分遙遠，從而影響了其學(xué)習積極性。實(shí)際上，微積分的一個(gè)顯著(zhù)特征是數學(xué)核心內容十分成熟穩定，但應用卻越來(lái)越廣泛。Stewart版《微積分》通過(guò)精選只涉及較為初等的數學(xué)知識而又能體現微積分思想和數學(xué)建模精神，能引起學(xué)生興趣，又是學(xué)生在生活中可能會(huì )真實(shí)接觸到的案例，訓練了學(xué)生用數學(xué)解決實(shí)際問(wèn)題的能力。近年來(lái)，國內教材在這方面有所改進(jìn)，但做得仍然是很不夠的。
學(xué)習方式的多樣性比較
Stewart版《微積分》在引入數學(xué)主題的時(shí)候，經(jīng)常先給出數值計算的近似結果，再盡量給出幾何直觀(guān)圖，最后再給出嚴格的敘述。把數學(xué)理論和計算機技術(shù)有機結合，這是很多美國微積分教材的又一突出特點(diǎn)。這樣做，既符合科學(xué)發(fā)現的規律，又給學(xué)生提供了利用近似計算解決工程等實(shí)際問(wèn)題的范例。隨著(zhù)現代技術(shù)的發(fā)展尤其是計算機代數系統（CAS）的出現使計算機具有了多重聯(lián)系表示系統，為教學(xué)提供了契機。在Stewart版《微積分》中穿插了大量的利用數學(xué)軟件進(jìn)行計算作圖的問(wèn)題，所做的圖形精確漂亮，能使學(xué)生真實(shí)地感受到數學(xué)的美，增加了學(xué)習的興趣。如第142頁(yè)講到無(wú)窮遠的極限時(shí)，先給出數值計算的近似結果，然后給出了CAS畫(huà)出的精確度比較高的直觀(guān)圖形，再給出嚴格的論證。學(xué)生也可以利用CAS強大的功能去解決很多計算問(wèn)題，從而有更多時(shí)間去深入思考概念、基本理論和更復雜的例子，并應用到實(shí)際問(wèn)題上。此外，網(wǎng)絡(luò )技術(shù)的發(fā)展使微積分教材變得更加立體，Stewart版《微積分》隨書(shū)附贈了兩張CD-ROM，一張稱(chēng)為“TEC”（感受微積分），提供了一個(gè)實(shí)驗環(huán)境，如同一個(gè)無(wú)聲的老師，用探索、啟發(fā)式的方法逐步引導學(xué)生分析并解決問(wèn)題，還能鏈接到網(wǎng)絡(luò )教學(xué)資源網(wǎng)站。另一張稱(chēng)為“Interacive Video Skillbulder”（交互學(xué)習微積分），包含有與微積分教學(xué)有關(guān)的視頻與音頻等。教學(xué)可以不再局限于課堂，教學(xué)時(shí)空得到了延伸。
人大版《微積分》在計算機技術(shù)的應用上體現得很少，只是把部分較簡(jiǎn)單的近似計算內容穿插在相應章節中，由于沒(méi)有把這些計算和計算機結合，手工計算又很繁瑣，因此在教學(xué)中要么不講，要么一帶而過(guò)，完全體現不出近似計算在實(shí)際應用中的重要價(jià)值。這一點(diǎn)對于工科和經(jīng)管類(lèi)專(zhuān)業(yè)的學(xué)生來(lái)說(shuō)應該是個(gè)不小的遺憾。
例題和練習題設置的比較
Stewart版《微積分》習題的量很大，而且題目的類(lèi)型也多，從概念復習題、判斷題，到難度各別的計算題、證明題和應用題，一直到綜合性較強的探索研究題，此外還有用CAS解決的各種練習，習題按節和章安排，每節的習題分為一般練習題（包含難度各異的計算題、證明題和應用題）和應用研究題，每章的總習題則分為概念題、基于概念的判斷題、練習題和附加題（主要是一些難度或靈活性較大的題，或者是對某些教材內容進(jìn)行推廣的習題或探索性習題），層次分明，便于使用。在習題的選配上，Stewart版《微積分》具有以下幾個(gè)特點(diǎn)：其一，每章都專(zhuān)門(mén)設計和集中編排了一些非?；镜母拍铑}，以幫助學(xué)生學(xué)習和復習基本概念；其二，與基本概念和定理相結合的圖形題不僅多而且設計精妙；其三，編排了一些不同數學(xué)學(xué)科之間的交叉題，有利于開(kāi)闊學(xué)生的眼界，激發(fā)學(xué)習其它數學(xué)課程的興趣；其四，應用題數量多、覆蓋面廣，所用數據都來(lái)自生產(chǎn)與生活實(shí)際，有很強的真實(shí)感，不少應用題及時(shí)反映了當代科技發(fā)展的新成果，貼近時(shí)代步伐；其五，有相當數量的使用計算機技術(shù)的習題；其六，注意習題的趣味性，增加習題對學(xué)生的吸引力。
人大版《微積分》習題按章安排，每章習題分為（A）、（B）兩部分，（A）部分基本是難度各異的計算題，以及少量的證明題，某些章還有少量概念題和應用題；（B）部分均為選擇題，以計算為主，有少量考查概念理解。
對比發(fā)現，中美微積分教材在習題的風(fēng)格和設計的立意上有著(zhù)明顯差異。就風(fēng)格而言，我國的教材習題類(lèi)型比較單一，從數學(xué)上“加工”的比較正規，多為機械式的重復訓練，相對比較枯燥；而美國教材的習題形式比較多樣，有些題目是比較開(kāi)放性的。就設計立意而言，我國教材的習題多以知識立意為主，立足于對所學(xué)知識進(jìn)行復習、鞏固和推廣，比較嚴謹；而美國教材的不少習題立足于能力立意，更注重數學(xué)應用能力的培養，比較活潑。應該說(shuō)兩種風(fēng)格和立意的習題各有優(yōu)缺點(diǎn)，具有互補性。
結束語(yǔ)
總體來(lái)說(shuō)，兩種教材在基本的內容體系和知識點(diǎn)上差別不大，比較明顯的差異在同樣內容的不同呈現方式上。我國的教材大多比較注重符號的抽象表達、符號轉換和公式推導，過(guò)于強調理論的嚴謹和數學(xué)語(yǔ)言的表述，通常忽視了淺顯易懂的自然語(yǔ)言的運用。所以針對概念的數值、圖像、符號、自然語(yǔ)言的不同表達，我國學(xué)生呈現出符號較強、圖像稍弱、數值與語(yǔ)言最弱的趨勢。這使得學(xué)生對抽象概念能暫時(shí)記住，會(huì )用于計算或證明，但對其中所包含的數學(xué)思想缺乏真正的理解，無(wú)法用來(lái)解決實(shí)際問(wèn)題，時(shí)間一長(cháng)自然就都忘卻了。如果能借鑒美國微積分教材編寫(xiě)的“四原則”，以多種表征方式呈現知識，學(xué)生也許更容易接受抽象概念。適度使用計算機技術(shù)，使教材能夠變得“立體”起來(lái)。加強對數學(xué)理論進(jìn)行實(shí)際應用的內容，使學(xué)生真正明白微積分能做什么、怎樣做，從而激發(fā)學(xué)生的學(xué)習興趣。當然，我國的微積分教材也有自身的優(yōu)勢，如前后內容銜接緊密，條理清晰，重復少，在課時(shí)有限的情況下教師容易教學(xué)等。但是，在我國微積分教材總體趨同的現狀之下，美國微積分教材為我們提供了一個(gè)新的思路和參照，有重要的借鑒作用?！八街?，可以攻玉”，理科數學(xué)、工科數學(xué)、經(jīng)濟管理類(lèi)數學(xué)、文科數學(xué)、職業(yè)教育的數學(xué)，不同層次的微積分教材大同小異，無(wú)非是經(jīng)典內容的增刪取舍，體現不出應有的差異性。
參考文獻
[1]郭鏡明，應明，朱小平.美國微積分教材中的習題配置特色[J].大學(xué)數學(xué)，2005（2）
[2]James Stewart著(zhù)，白峰杉譯.微積分（第五版）[M].北京：高等教育出版社，2004
[3]趙樹(shù)嫄.微積分（第三版）[M].北京：中國人民大學(xué)出版社，2007
（作者單位：中國勞動(dòng)關(guān)系學(xué)院）
