摘 要：辨析初等數論中若干問(wèn)題：0是否為一位數；自然數的分類(lèi)；佩亞諾（G.Peano）的自然數公理；數學(xué)歸納法；前 個(gè)自然數中 的倍數的個(gè)數公式等。
關(guān)鍵詞： 一位數；自然數；自然數公理
中圖分類(lèi)號：G623.5 文獻標識碼：A 文章編號：1002-7661（2012）15-0050-01
0.引言
1993年頒布的《中華人民共和國國家標準》（GB3100～3102-93）《量和單位》（11-2.9第311頁(yè)）規定了自然數包括0，具有其合理性，但也帶來(lái)一些爭議，以下就有關(guān)“0”及由其引起的一些問(wèn)題做些剖析。
1. 0并非一位數。
我們說(shuō)一個(gè)數是 位數，應是：該數為非負整數，占有個(gè)數位且首位非0。如果沒(méi)有“首位非0”的規定，一個(gè)數是幾位數就說(shuō)不清楚了。因此最小的一位書(shū)應該是1而不是0[1]。
2.自然數的分類(lèi)。
小學(xué)教材都把自然數分為：1；質(zhì)數；合數；三類(lèi)?，F在自然數集合有了0，則應該分為四類(lèi)。0單獨作為一類(lèi)。
3.自然數公理。
1889年，意大利數學(xué)家佩亞諾（G.Peano）建立的自然數公理：
“這里要使用兩個(gè)形式符號：1和1"，它們要滿(mǎn)足以下5條公理：
（1）1是自然數；（2）每個(gè)自然數a都有一個(gè)后繼數a"；（3）1不是任何自然數的后繼數；（4）若a"=b"則a=b（5）（歸納公理）自然數的某個(gè)集合若含1，而且如果含一個(gè)自然數a就一定含a" ，那么這個(gè)集合含全體自然數”
現在自然數集合有了0，則以上公理中的1全得改為0。
4.數學(xué)歸納法。
我們知道，佩亞諾（G.Peano）建立的自然數公理是數學(xué)歸納法的邏輯依據，現在公理改了，數學(xué)歸納法也得相應更改，以往奠基是證明n=1時(shí)命題真，現在得改為證明n=0時(shí)命題真。
5.前a個(gè)自然數中n的倍數的個(gè)數。
以前，自然數集合中沒(méi)有0，則前a個(gè)自然數中n的倍數的個(gè)數為■ ，現在自然數集合中有了0，則前a個(gè)自然數中 n的倍數的個(gè)數應為1+■ ，因為現在前a個(gè)自然數應該是：0，1，2， ……，a-1。
以下是[2]的一道例題：
前100個(gè)自然數中，既不是2的倍數，也不是3的倍數，還不是5的倍數的數有多少個(gè)？
解 前100個(gè)自然數中，
2的倍數有■=50（個(gè)），3的倍數有■=33（個(gè)），5的倍數有■=20（個(gè)），同時(shí)是2和3的倍數有■=16（個(gè)），同時(shí)是3和5的倍數有■=6（個(gè)），同時(shí)是2和5的倍數有■=10（個(gè)），同時(shí)是2，3，5的倍數有■=3（個(gè)），故既不是2的倍數，也不是3的倍數，還不是5的倍數的數有100－（■+ ■+ ■）+（■+ ■+■）－ =100－（50+33+20）+（16+6+10）－3
=26（個(gè)）。
本題默認前100個(gè)自然數為：1，2， 100。由于100是2的倍數（也是5的倍數），因此在計算時(shí)用容斥原理把它排除了。而如果認定前100個(gè)自然數為：0，1，2， 99，則由于0是2的倍數（也是3、5的倍數），因此在計算時(shí)用容斥原理同樣得把它排除，因此兩種認定，結果是一樣的。但有時(shí)結果卻不一樣。
用容斥原理時(shí)沒(méi)排除掉，后面的解法中，把2001換成0了，由于0是5的倍數（也是7的倍數），因此用容斥原理時(shí)排除掉了。
把0當作自然數，引起了不少爭議問(wèn)題，主要原因是小學(xué)數學(xué)中一直沒(méi)把0當作自然數，建議小學(xué)教材中要強調“0是自然數”。
參考文獻
[1]張奠宙等.小學(xué)數學(xué)研究[M].北京:高等教育出版社,2009.1,37-38
[2]趙繼源.初等數論[M].南寧:廣西師范大學(xué)出版社,2001.9,51-52
