鄭瓊悅,林惠玲
(福建師范大學(xué)數學(xué)與統計學(xué)院,福建福州 350117)
變分不等式最早由Hartman-Stampacchi[1]于1966年首次提出,隨后眾多學(xué)者對其進(jìn)行研究并推廣,目前的研究成果主要集中在擬變分不等式[2-3],廣義變分不等式[4-5],以及混合變分不等式[6-7].同時(shí),變分不等式及其推廣形式被廣泛應用于經(jīng)濟均衡,控制論,對策論,金融,交通,工程科學(xué)等領(lǐng)域.
設B為Banach空間,B?為其對偶空間,K:B →2B為集值映射,F:B →為集值映射,f:B →R∪{+∞}為真凸下半連續泛函.本文考慮如下廣義混合擬變分不等式問(wèn)題(簡(jiǎn)記為(GMQVI(K,F,f)),即找到x ∈K(x),v ∈F(x),使得
下面介紹GMQVI(K,F,f)的一些特殊形式.
若C是B中的非空閉凸集,K(·)≡C,則GMQVI(K,F,f)就退化為廣義混合變分不等式(記為GMVI(C,F,f)[4]),即找到x ∈C,使得
若?x ∈B,f(x)=0,則GMQVI(K,F,f)就退化為廣義擬變分不等式(記為GQVI(K,F))[8],即找到x ∈K(x),v ∈F(x),使得
若?x ∈B,f(x)=0,C是B中的非空閉凸集,K(·)≡C,F為單值映射,則GMQVI(K,F,f)就退化為經(jīng)典變分不等式(記為VI(C,F)[1]),即找到x ∈C,使得
當C=K為閉凸錐時(shí),變分不等式問(wèn)題就變?yōu)榛パa問(wèn)題,因此變分不等式問(wèn)題和互補問(wèn)題有著(zhù)密切聯(lián)系,很多學(xué)者對兩者解的存在性都進(jìn)行了研究,見(jiàn)文獻[9-12].變分不等式的研究方法有很多,例如憑借KKM原理以及變分方法[13],Browder不動(dòng)點(diǎn)定理,拓撲度理論[14-16],或極小極大理論,或是構造強制性條件以及例外簇[17-18]等,其中引入例外簇來(lái)研究變分不等式及其推廣形式是一種新穎且應用廣泛的方法.
1984年,Smith[19]首次提出例外簇和例外序列的概念,并將其應用于單值的互補問(wèn)題解的存在性研究中.隨后很多學(xué)者也逐漸用例外簇來(lái)研究VI(K,F)的解的存在性.例如Isac[18]在閉凸錐上定義集值映射的例外簇,用Leray-Schauder擇一定理代替拓撲度,證明了在Hiblert空間中互補問(wèn)題要么存在例外簇,要么有解.由于互補問(wèn)題與變分不等式有密切聯(lián)系,Zhou[20]等人通過(guò)定義新的例外簇,將此方法推廣到了無(wú)限維Hilbert空間,并得到變分不等式不存在例外簇則必定有解.2005年,Li和Whitaker[21]在Banach空間的閉凸錐上給出完全連續場(chǎng)例外簇的概念,并定義廣義的(θ)條件,從而得到變分不等式或者有解或者完全連續場(chǎng)關(guān)于閉凸錐有例外簇.2010年,劉智[22]等人通過(guò)引入新的例外簇,在集值映射具有緊收縮值的條件下,研究Banach空間中廣義變分不等式解的存在性,將文獻[23]應用于單值映射的結果推廣到集值映射.因此,通過(guò)引入例外簇概念,利用拓撲度或Leray-Schauder擇一定理,得到解的存在性與例外簇的關(guān)系,并探究強制性條件來(lái)確保解的存在性的研究方法已受到國內外許多學(xué)者的關(guān)注.
對于GMQVI問(wèn)題,除了Wang等人[16]通過(guò)在有限維空間建立度理論來(lái)研究GMQVI解的存在性外,極少有文獻對Banach空間的GMQVI問(wèn)題進(jìn)行研究.甚至據作者所知,當K為集值映射時(shí),尚未有文獻利用例外簇來(lái)研究該問(wèn)題.受以上文獻的啟發(fā),本文將在自反的Banach空間中,在一定條件下,證明當GMQVI的可行集S為有界集時(shí),GMQVI 有解;當S為無(wú)界集時(shí),提出新的例外簇概念,并通過(guò)Leray-Schauder擇一定理證明廣義混合擬變分不等式不存在例外簇,則必定有解.最后,分析不存在例外簇的充分條件,各充分條件間的關(guān)系并且得到GMQVI 解存在的必要性.
本文用到如下符號.
“→”和“?”分別表示序列的強收斂與弱收斂.C ?B表示B中的非空子集,A ?C表示集合C包含集合A.intC,分別表示C的內部,邊界,閉包.B(x,r)和(x,r)分別表示B中以x為中心,r為半徑的開(kāi)球和閉球,用Graph(F)={(x,y)∈B ×B?,x ∈B,y ∈F(x)}表示映射F的圖像.記S={x ∈B:x ∈K(x)}為廣義混合擬變分不等式GMQVI(K,F,f)的可行集,它也是K的所有不動(dòng)點(diǎn)集合.任意的x,x′ ∈B,則K(x)在x′的廣義f-正規錐定義為
本節介紹本文所需要的一些基本概念及其性質(zhì),并探討GMQVI(K,F,f)解的等價(jià)刻畫(huà).下面介紹集值映射的相關(guān)概念.
定義2.1(見(jiàn)[2,24]) 設X,Y為Banach空間,F:X →2Y為非空集值映射,泛函f:X →R∪{+∞}.
(1) 若對Y中任意包含F(x)的開(kāi)集W,存在X中包含x的一個(gè)開(kāi)鄰域U,使得F(U)?W,則稱(chēng)F為在x ∈X處的上半連續映射.若F在每一點(diǎn)x ∈X處為上半連續映射,則稱(chēng)F為X上的上半連續映射.
(2) 若Graph(F)為X ×Y上的凸集,則稱(chēng)F為凸圖像映射.
(3) 若對任意一個(gè)有界子集A ?X,F(A)為Y中的相對緊集,則稱(chēng)F為緊映射.
(4) 若C ?X為非空子集,?(x,v),(y,w)∈Graph(F),有
則稱(chēng)F在C上是f-偽單調.
除非特殊說(shuō)明,在本文中總假設集值映射K:B →2B為B上的凸圖像及連續映射,可行集S為非空集,則類(lèi)似文獻[8]中定理2.1.1證明可知,可行集S是非空閉凸集.下面介紹正規對偶映射及其性質(zhì).
定義2.2正規對偶映射J:B →,定義為
其中‖x‖和‖j(x)‖分別表示Banach空間B及其對偶空間B?中的范數.
正規對偶映射[25-26]具有較為豐富的性質(zhì),下面列舉幾個(gè)本文所需的性質(zhì).
(1) 任意Banach空間中,J為單調有界的.
(2)B為自反Banach空間,則對任意x ∈B,J(x)為非空有界閉凸的,且J(αx)=αJ(x).
(3)B為光滑的Banach空間,則J:B →B?為單值,連續映射.
(4)B為自反光滑,嚴格凸的Banach空間,J?:B?→B為B?上的正規對偶映射,則J?1=J?,JJ?=IB?,J?J=IB,其中IB?,IB分別表示B?和B上的單位映射.
Wu和Huang[26]定義了如下泛函V(?,x):B?×B →R∪{+∞},
其中ρ>0,? ∈B?,x ∈B,f:B →R∪{+∞}為下半連續的真凸泛函.
廣義f-投影算子具有如下特殊形式.
(1) 當K(x)≡K ?B為非空閉凸集且f(x)≡0時(shí),廣義f-投影算子退化成文獻[27]中的
其中對任意的? ∈B?,x ∈K,G(?,x)=‖x‖2?2〈?,x〉+‖?‖2.
(2) 當B為Rn空間,K為Rn中的非空閉凸集,f(x)≡0,則廣義f-投影算子退化成文獻[16]中的度量投影算子,定義為
注2.2定理2.1將文獻[8]中定理2.2.4的結果從GQVI(K,F)推廣到GMQVI(K,F,f)上,并利用廣義投影算子的性質(zhì)簡(jiǎn)化了文獻[8]中的證明.
本節主要利用不動(dòng)點(diǎn)定理研究廣義混合擬變分不等式解的存在性.通過(guò)Fan-KKM定理,證明了可行集為有界集時(shí),廣義混合擬變分不等式問(wèn)題存在解;當可行集為無(wú)界集時(shí),給出新的例外簇定義,利用Leray-Schauder型不動(dòng)點(diǎn)定理,證明了GMQVI(K,F,f)不存在例外簇則存在解.
由文獻[28]的定理4.2可得,當B為自反Banach空間,有界閉集為弱緊集,結合文獻[29]定理3.1,可得下面結論成立.
定理3.1設B為自反光滑嚴格凸的Banach空間,K:B →2B為取閉凸值的連續凸圖像集值映射,F:B →為具有非空緊凸值的(弱拓撲到范數拓撲)上半連續集值映射,S為有界閉凸集,f:B →R∪{+∞}為真凸下半連續泛函滿(mǎn)足S ?domf,若x ∈B,對任意的y ∈K(x),f在y上連續,則GMQVI(K,F,f)有解.
注3.1定理3.1將[2,30]的結果推廣至廣義混合擬變分不等式.
當S為無(wú)界閉凸集時(shí),引入集值映射的例外簇以及Leray-Schauder擇一定理來(lái)探究解的存在性.
定義3.1序列{xr}r>0?S滿(mǎn)足
(i)‖xr‖→∞(r →∞),
(ii)任意的r >0,存在μr >1,vr ∈F(xr),使得則稱(chēng){xr}r>0為廣義混合擬變分不等式GMQVI(K,F,f) 的例外簇.
引理3.1[18](Leray-Schauder 定理) 設U為Banach空間B中的閉子集,0∈int(U),F:U →2B為取非空緊收縮值的緊的上半連續集值映射.若F沒(méi)有不動(dòng)點(diǎn),則滿(mǎn)足Leray-Schauder條件:存在(λ?,x?)∈(0,1)×?U,使得x?∈λ?F(x?).
為得到GMQVI(K,F,f)解存在的條件,還需介紹收縮集的定義.
定義3.2設C為Banach空間中任意子集,若對任意x ∈C,存在連續映射h:C×[0,1]→C,使得h(x,0)=x,h(x,1)=x0,其中x0∈C,則稱(chēng)C為可收縮的.
例如,凸集是可收縮的.因為對任意的x0∈C,取映射h(x,λ)=λx0+(1?λ)x,由定義3.2可得C為可收縮的.
下面的結論體現了GMQVI(K,F,f)的解和例外簇之間的密切聯(lián)系.
定理3.2設B為自反光滑嚴格凸的Banach空間,滿(mǎn)足性質(zhì)(h),K:B →2B為取閉凸值的連續凸圖像集值映射,T=J ?F:B →為取非空緊收縮值的緊的上半連續集值映射,其中J:B →正規對偶映射.S為非空無(wú)界閉凸集,f:B →R∪{+∞}為下半連續的真凸泛函.任意x ∈B,任意的y ∈K(x),f在y處連續.如果GMQVI(K,F,f)不存在例外簇,則廣義混合擬變分不等式GMQVI(K,F,f)有解.
而當r →+∞時(shí),‖xr‖=r →+∞,故廣義混合擬變分不等式GMQVI(K,F,f) 存在例外簇,與題設矛盾,故GMQVI(K,F,f)有解.
在本節中,討論當可行集S為無(wú)界閉凸集時(shí),GMQVI(K,F,f)不存在例外簇的充分條件,從而得到其存在解的充分條件.此外,當F是f-偽單調的情況下,探討GMQVI(K,F,f) 存在解的必要條件.
定理4.1B為自反光滑嚴格凸的Banach空間,K:B →2B為取閉凸值的連續凸圖像集值映射,T=J ?F:B →取非空緊凸值的緊上半連續集值映射,其中J:B →為正規對偶映射.f:B →R∪{+∞}為真凸下半連續泛函,S為非空無(wú)界閉凸集,對任意x ∈B,若對任意的z ∈K(x),f在z處連續,則下列結論有(a1)?(a2)?(c) 成立.
由定義2.2可知
則0≤〈(1?μr)J(xr),μrxr ?yr〉<0,得到矛盾,故GMQVI(K,F,f)不存在例外簇.
定理4.2設B為自反光滑嚴格凸的Banach空間,K:B →2B為取閉凸值的連續凸圖像集值映射,T=J ?F:B →為取非空緊凸值的緊上半連續集值映射,其中J:B →為正規對偶映射.S為非空無(wú)界閉凸集,f:B →R∪{+∞}為真凸下半連續泛函.任意x ∈B,若對任意的y ∈K(x),f在y處連續,則下列結論有(b1)?(b2)?(b3)?(c).
(b1) 對任意的x ∈B,存在y ∈K(x),使得
為有界集或空集.
(b2) 對任意的x ∈B,存在K(x)的非空有界子集D,對于任意滿(mǎn)足α ≥1,αx ∈K(x)D的(α,x),存在y ∈D使得
類(lèi)似于定理4.1中(a2)?(c)的證明可得,廣義混合擬變分不等式GMQVI(K,F,f)不存在例外簇.
注4.1定理4.2 將文[31]中應用于變分不等式的三個(gè)相應條件改進(jìn)并推廣到廣義混合擬變分不等式GMQVI(K,F,f)上.
以下結論進(jìn)一步刻畫(huà)了GMQVI(K,F,f)解集的有界性.
定理4.3設B為自反光滑嚴格凸的Banach空間,K:B →2B為取閉凸值的連續凸圖像集值映射,T=J ?F:B →取非空緊凸值的緊的上半連續集值映射,其中J:B →為正規對偶映射.f:B →R∪{+∞}為真凸下半連續泛函,S={x ∈B:x ∈K(x)}為GMQVI(K,F,f)的可行集.當S為非空無(wú)界閉凸集時(shí),若對任意x ∈B,任意y ∈K(x),f在y處連續,則下列結論有(c1)?(c2)?(c3)?(d)成立.
(c1) 對任意的x ∈B,存在y ∈K(x),使得
為有界集.
(c2) 對任意的x ∈B,存在K(x)的非空有界子集D,使得任意滿(mǎn)足α ≥1,αx ∈K(x)D的(α,x),存在y ∈D使得
(d) 廣義混合擬變分不等式GMQVI(K,F,f)解集非空有界.
證類(lèi)似于定理4.2中(b1)?(b2)?(b3) 的證明,可證(c1)?(c2)?(c3).
(c3)?(d): 由定理4.2中(b3)?(c),可得GMQVI(K,F,f)不存在例外簇,結合定理3.2,可得GMQVI(K,F,f)解集非空.
下證有界性,用反證法.若{xr} ?S為GMQVI(K,F,f)的無(wú)界解集,滿(mǎn)足‖xr‖ →+∞(r →∞),由xr為GMQVI(K,F,f)的解,則存在vr ∈F(xr),使得
取式(7)中xr==,取式(8)中v=vr,則相應的(7)和(8)矛盾,故廣義混合擬變分不等式GMQVI(K,F,f)解集非空有界.
在F是f-偽單調的條件下,得到如下關(guān)于GMQVI(K,F,f)解存在的必要性.
定理4.4設B為自反光滑嚴格凸的Banach空間,K:B →2B為取閉凸值的連續凸圖像集值映射,T=J ?F:B →取非空緊凸值的緊上半連續集值映射,其中J:B →正規對偶映射,f:B →R∪{+∞}為真凸下半連續泛函.S={x ∈B:x ∈K(x)}為GMQVI可行集,S為非空無(wú)界閉凸集.若對任意x ∈B,任意的y ∈K(x),f在y處連續,則下列結論有(i)?(ii)?(iii)成立.
