摘要：《圖論及其應用》是我校數學(xué)系研究生的一門(mén)基礎選修課，選修的同學(xué)來(lái)自多個(gè)專(zhuān)業(yè)方向，存在基礎不同，研究方向迥異等諸多問(wèn)題。論文分析了上這門(mén)課時(shí)遇到的問(wèn)題，并提出解決方法，希望能提高教學(xué)效果。
關(guān)鍵詞：圖論；研究；教學(xué)模式
一、引言
圖論是研究由若干點(diǎn)及連接點(diǎn)的邊所組成的圖的科學(xué)，是數學(xué)的一個(gè)分支，屬于應用數學(xué)的一部分。圖論是一門(mén)古老而又新興的科學(xué)，它的起源很早。早在1736年，著(zhù)名的科學(xué)家歐拉在哥尼斯堡七橋問(wèn)題[1]上就用圖的方法解決這個(gè)問(wèn)題，并開(kāi)創(chuàng )了一門(mén)學(xué)科——圖論。雖然在歐拉發(fā)表奠基性論文之后的幾百年時(shí)間，圖論發(fā)展非常緩慢，很多問(wèn)題都是圍繞游戲展開(kāi)，如迷宮問(wèn)題，博弈問(wèn)題，棋盤(pán)上馬的行走問(wèn)題等。直到十九世紀中葉，圖論問(wèn)題大量出現，如四色問(wèn)題，漢密爾頓問(wèn)題[2]等，并且以圖為工具解決了其他領(lǐng)域的問(wèn)題。隨著(zhù)上世紀七八十年代科學(xué)的發(fā)展，在生產(chǎn)管理，交通運輸，軍事，計算機等領(lǐng)域提出了很多離散問(wèn)題，促進(jìn)了圖論的發(fā)展。所以現在圖論知識涉及到各個(gè)領(lǐng)域，有著(zhù)舉足輕重的地位。
我校數學(xué)系開(kāi)設《圖論及其應用》這門(mén)基礎選修課[3]，是希望同學(xué)能掌握基本的圖論知識，學(xué)會(huì )圖論中的算法，并靈活掌握解決圖論問(wèn)題的方法。在講授這門(mén)課的時(shí)候，發(fā)現同學(xué)存在基礎差異巨大、研究方向迥異、對圖論應用缺乏了解等諸多問(wèn)題[4]。
二、圖論教學(xué)中存在問(wèn)題分析
1、同學(xué)基礎差異較大
學(xué)校的研究生本科階段在不同的學(xué)校學(xué)習，各校的培養計劃不同，所學(xué)的知識也不同。有些學(xué)校將圖論列為必修課，所以這些同學(xué)在本科階段已經(jīng)有了系統的學(xué)習，對圖論的基本概念，重要定理，主要方法已經(jīng)有了很好的掌握，基礎較好。另外一部分同學(xué)所在學(xué)校僅開(kāi)設了《離散數學(xué)》，或者將圖論列為選修課，同學(xué)重視程度不夠，所以雖然了解一些相關(guān)概念，但是基礎不佳。最糟糕的是極少數同學(xué)在本科階段沒(méi)有學(xué)習過(guò)任何圖論有關(guān)的知識，所以同學(xué)的基礎為零。同學(xué)基礎差異太大，給圖論的教學(xué)帶來(lái)了很大麻煩。
2、同學(xué)自身學(xué)習能力不足，對圖論這門(mén)學(xué)科的應用背景不了解
研究生階段是一個(gè)深層次學(xué)習的階段，不同于本科階段的學(xué)習，要求同學(xué)有一定的自學(xué)能力和研究能力，上課也不會(huì )像本科上課那樣講得很細，更多需要引導同學(xué)自己去思考，具備獨立思考和解決問(wèn)題的能力。對同學(xué)的學(xué)習要求較高。同時(shí)同學(xué)思維固化，覺(jué)得跟數學(xué)相關(guān)的學(xué)科都沒(méi)有什么實(shí)用性，學(xué)了沒(méi)用。學(xué)習缺乏積極性和主動(dòng)性，也是同學(xué)學(xué)好圖論的攔路虎。
3、圖論本身知識結構復雜，內容多，覆蓋面廣
圖論本身脫胎于實(shí)際問(wèn)題，一開(kāi)始人們的研究也是從游戲開(kāi)始的。很多概念名稱(chēng)都是從外國文獻中翻譯過(guò)來(lái)，所以造成不同圖論書(shū)存在概念名稱(chēng)不統一，符號表示不一致等問(wèn)題。同一個(gè)概念在不同的書(shū)中用不同的符號表示，同一個(gè)名稱(chēng)在不同的書(shū)中表示不同的概念。比如二部圖、偶圖、二分圖在英文中都是bipartite graph。又比如“環(huán)”，在一些教材中表示兩個(gè)端點(diǎn)重合的邊，而在另外一些教材中表示頂點(diǎn)數與邊數相等的圖。這些都給同學(xué)們自主學(xué)習帶來(lái)一定的困難。同時(shí)圖論概念定理比較多，看著(zhù)接近，實(shí)則不同，容易混淆，不利于記憶。另外圖論的證明方法多樣，比較靈活，難度較大。所以同學(xué)們在學(xué)習過(guò)程中普遍反映能看懂證明過(guò)程，但自己想不到，做不來(lái)。
4、研究方向不同，學(xué)習側重點(diǎn)不一樣
研究生階段學(xué)習時(shí)間緊張，任務(wù)較重，加之圖論內容多，覆蓋廣。本身這門(mén)課是選修課，所以他們不可能對每個(gè)課題都感興趣，而會(huì )選擇跟自己的研究方向較近的，或者在研究過(guò)程中需要用到的內容去深入研究，而其他內容則泛泛而讀，這種現象也不利于學(xué)好圖論。
三、圖論教學(xué)的改進(jìn)意見(jiàn)
在認識到了問(wèn)題所在，對于圖論的教學(xué)，我們從提高學(xué)習興趣，改革教學(xué)模式等方面著(zhù)手，以提高同學(xué)的學(xué)習效果，提高教學(xué)質(zhì)量。
1、提高學(xué)習圖論的興趣
“興趣是最好的老師?！边@句話(huà)是對興趣在學(xué)習中的作用的最好詮釋。我們首先要做的就是激發(fā)學(xué)生的學(xué)習興趣，提高他們的求知欲。圖論本身就是跟生活最接近的數學(xué)分支之一，它的應用非常廣泛。最開(kāi)始可以?huà)侀_(kāi)理論，先介紹圖論的應用背景，讓他們知道圖論是有用的學(xué)科?？梢詮囊恍┙?jīng)典的問(wèn)題出發(fā)，比如排課問(wèn)題，貨郎擔問(wèn)題，四色問(wèn)題等等，激發(fā)他們的學(xué)習興趣。
2、改變教學(xué)模式，安排學(xué)生講解，提高自主學(xué)習能力
由于圖論的一些基礎知識具有內容通俗易懂，上手容易的特點(diǎn)，所以可以在開(kāi)學(xué)初，將同學(xué)分成若干小組，每組3人，選擇一些課題，讓小組成員學(xué)習，然后講解。這既提高了他們自主的學(xué)習能力，也能在小組之間產(chǎn)生討論的氛圍，培養研究精神，比較符合研究生的培養特點(diǎn)。同時(shí)也可以彌補不同基礎層次同學(xué)之間的差異，形成基礎好的同學(xué)帶動(dòng)基礎差的同學(xué)，最后達到共同進(jìn)步。
同時(shí)教學(xué)和練習相結合，課堂上既有講解，也可適當安排練習，當場(chǎng)熟練所講內容。同時(shí)安排課后的思考題，思考題難度較大，有利于同學(xué)鞏固所學(xué)，提高學(xué)習能力。
3、教學(xué)內容與實(shí)際相結合
所謂的教學(xué)內容與實(shí)際相結合，包含兩個(gè)含義：既是教學(xué)內容與學(xué)生所學(xué)專(zhuān)業(yè)相結合，也可以教學(xué)內容與實(shí)際應用相結合。讓同學(xué)分組講解內容，在課題選擇時(shí)要有針對性。比如對于運籌方向的同學(xué)，可能對圖論中涉及到的一些算法比較感興趣，所以可以分配最短路算法、最大匹配算法等算法方面的內容；對于優(yōu)化方向的同學(xué)，可以自學(xué)網(wǎng)絡(luò )優(yōu)化方面的內容，再講給大家聽(tīng)。這樣既可以提高他們的積極性，也便于學(xué)以致用。同時(shí)注重教學(xué)與實(shí)際相結合，培養同學(xué)發(fā)現問(wèn)題的能力。將實(shí)際問(wèn)題轉化為數學(xué)模型，并用數學(xué)模型解決是圖論的應用之一，培養同學(xué)建模能力。
四、結束語(yǔ)
研究生學(xué)習階段，是一個(gè)深度學(xué)習的階段。它在學(xué)習內容、學(xué)習方法、培養模式等方面跟本科生階段都有很大的不同。研究生的圖論教學(xué)，有其特殊的地方，如何結合研究生的特點(diǎn)更好的設計教學(xué)方法，提高教學(xué)效果，需要我們進(jìn)一步探索和討論。
參考文獻
[1]Douglas B. West，圖論導引（第2版）[M]，北京：機械工業(yè)出版社，2006.
[2]J.A.邦迪，U.S.R.莫蒂，圖論及其應用[M]，北京：科學(xué)出版社，1984.
[3]張清華，圖論及其應用[M]，北京：清華大學(xué)出版社，2013.
[4]羅文昌，關(guān)于圖論教學(xué)的一些有益嘗試[J]，大學(xué)數學(xué)，2014年12月，第A(yíng)01期.
作者簡(jiǎn)介：沈健，1981年11月，男，漢族，籍貫：江蘇省蘇州市，研究生學(xué)歷，講師，應用數學(xué)，研究方向：圖論，單位：杭州電子科技大學(xué)。
