小學(xué)數學(xué)教師有關(guān)學(xué)生錯誤的知識的評價(jià)模型構建與應用

張 岳，劉曉玫，Max Stephens，郟超超

小學(xué)數學(xué)教師有關(guān)學(xué)生錯誤的知識的評價(jià)模型構建與應用

張 岳1，劉曉玫2，Max Stephens3，郟超超4

（1．北京語(yǔ)言大學(xué) 國際學(xué)生教育政策與評價(jià)研究院，北京 100083；
2．首都師范大學(xué) 教師教育學(xué)院，北京 100037；
3．墨爾本大學(xué) 教育研究生院，澳大利亞 墨爾本 3010；
4．中國基礎教育質(zhì)量監測協(xié)同創(chuàng )新中心，北京 100875）

小學(xué)數學(xué)教師有關(guān)學(xué)生錯誤的知識的評價(jià)模型為包含內容與認知維度的二維結構．其中，認知維度包括“預測學(xué)生錯誤”“運用數學(xué)和課程相關(guān)知識識別和描述某個(gè)特定數學(xué)主題的錯誤”“分析與闡釋學(xué)生錯誤的原因”“處理與糾正學(xué)生錯誤的策略”4個(gè)分維度，內容維度以《義務(wù)教育數學(xué)課程標準（2011年版）》為確立依據，依據模型開(kāi)發(fā)測試工具，通過(guò)對來(lái)自東、中、西部地區8個(gè)省市701名小學(xué)數學(xué)教師的實(shí)測數據進(jìn)行驗證．結果表明：評價(jià)模型具有良好的信效度；
小學(xué)數學(xué)教師有關(guān)學(xué)生錯誤的知識的整體表現不佳；
在認知與內容分維度上表現迥異．

小學(xué)數學(xué)教師；
有關(guān)學(xué)生錯誤的知識；
評價(jià)模型；
驗證與應用

教師有關(guān)學(xué)生錯誤、誤解的理解是其從事教學(xué)活動(dòng)應具備知識的重要組成部分[1]．對學(xué)生學(xué)習過(guò)程中產(chǎn)生的錯誤進(jìn)行評估并予以糾正，有助于教師及時(shí)調整教學(xué)重點(diǎn)和計劃，并最終改善學(xué)生學(xué)業(yè)表現[2]．然而，在實(shí)際教學(xué)中，許多數學(xué)教師將學(xué)習錯誤視為教學(xué)的阻礙．學(xué)生一旦產(chǎn)生錯誤，教師們最常用的方法是不斷地重復標準答案，讓學(xué)生加強練習，或簡(jiǎn)單地將學(xué)習錯誤歸結為學(xué)生粗心大意、上課沒(méi)有仔細聽(tīng)講等淺層次的原因[3]．這種膚淺的、武斷的行為對學(xué)生理解知識、發(fā)展能力有害無(wú)益，同時(shí)也會(huì )對學(xué)生學(xué)習興趣和自信心造成消極的影響[4]．《義務(wù)教育數學(xué)課程標準（2011年版）》（以下簡(jiǎn)稱(chēng)《課程標準》）教學(xué)建議中也提出，對于學(xué)習有困難的學(xué)生，教師應及時(shí)給予關(guān)注與幫助，鼓勵他們積極參與數學(xué)學(xué)習活動(dòng)，并嘗試以自己的方式解決問(wèn)題和表達意見(jiàn)和看法；
要及時(shí)肯定他們的進(jìn)步，耐心地指導他們分析出現困難或錯誤的原因，并鼓勵他們自我改正，進(jìn)而增強學(xué)習數學(xué)的興趣和信心[5]．因此，對數學(xué)教師有關(guān)診斷和處理學(xué)生在不同的教學(xué)情境中學(xué)習數學(xué)時(shí)所犯的錯誤，意識到錯誤對數學(xué)學(xué)習的重要性，知悉錯誤的原因，并采取有效、及時(shí)的教學(xué)策略加以糾正的知識，無(wú)論對學(xué)生學(xué)業(yè)發(fā)展還是對教師專(zhuān)業(yè)發(fā)展都至關(guān)重要．

既有研究對在職數學(xué)教師有關(guān)學(xué)生錯誤的知識的實(shí)證研究較少．國際教育評價(jià)項目，如21世紀數學(xué)教學(xué)研究（Mathematics Teaching in the 21st Century，簡(jiǎn)稱(chēng)MT21）[6]、數學(xué)教師教育與發(fā)展（Teacher Education and Development Study in Mathematics，簡(jiǎn)稱(chēng)TEDS-M）[7]已采用最新測量與評價(jià)手段對教師知識進(jìn)行了測查．但是，其測評對象均為職前數學(xué)教師，并沒(méi)有涉及到更大范圍的教師群體．同時(shí)，在這些項目中數學(xué)教師對學(xué)生錯誤的調查僅是學(xué)科教學(xué)知識的一個(gè)子維度，并未進(jìn)行深入地挖掘[8-9]．目前，國內研究者提出的有關(guān)數學(xué)教師診斷學(xué)生錯誤的知識的評價(jià)多以某個(gè)特定數學(xué)主題或診斷學(xué)生錯誤的某個(gè)關(guān)鍵環(huán)節為研究對象[10-12]，且已有的實(shí)證研究多以傳統測驗方法為依托，難以揭示數學(xué)教師有關(guān)學(xué)生錯誤知識的潛在認知結構與過(guò)程，評價(jià)結果解釋具有一定的局限性．因此，試圖構建小學(xué)數學(xué)教師有關(guān)學(xué)生錯誤的知識的評價(jià)模型并進(jìn)行驗證，旨在為教師教育改革、教師專(zhuān)業(yè)成長(cháng)提供實(shí)證依據，具體包括如下問(wèn)題：（1）構建小學(xué)數學(xué)教師有關(guān)學(xué)生錯誤的知識的認知與內容的二維評價(jià)模型；
（2）據此開(kāi)發(fā)工具，并實(shí)施測試并驗證；
（3）揭示數學(xué)教師在總體、認知與內容分維度上的表現與差異狀況．

小學(xué)數學(xué)教師有關(guān)學(xué)生錯誤的知識的評價(jià)理論模型包含內容標準、表現標準兩個(gè)部分．具體而言，內容標準也稱(chēng)為內容細目，是指評價(jià)中要求小學(xué)數學(xué)教師有關(guān)學(xué)生錯誤的知識“做什么”的問(wèn)題．表現標準，也稱(chēng)為表現水平描述，旨在呈現處于不同水平的小學(xué)數學(xué)教師有關(guān)學(xué)生錯誤的知識在內容標準上的掌握程度．內容標準回答評價(jià)中期望小學(xué)數學(xué)教師有關(guān)學(xué)生錯誤的知識所要求的知識與技能，而表現標準是對數學(xué)教師要達到的程度或水平的界定，是教師有關(guān)學(xué)生錯誤的知識“能做什么”的問(wèn)題．

通常情況下，一項評價(jià)任務(wù)涉及的內容或知識是具有復雜性的，單維的指標難以滿(mǎn)足測評的要求．國際上許多大規模的教育評價(jià)項目的框架都是分層的、分類(lèi)的，由兩個(gè)或兩個(gè)以上的維度構成．其中一個(gè)維度為評價(jià)內容，另一個(gè)維度為認知過(guò)程，體現評價(jià)對象的認知水平或操作的層級．小學(xué)數學(xué)教師有關(guān)學(xué)生錯誤的知識的評價(jià)指標體系也采用二維結構，即課程內容的分類(lèi)和認知過(guò)程的分類(lèi)．

2.1 認知維度

科克斯（Cox）的研究提到，在確定一個(gè)錯誤后，有兩個(gè)問(wèn)題是相關(guān)的，一是如何系統化地檢測出錯誤？二是一旦錯誤的模型被識別出來(lái)，可以用什么樣的方法來(lái)彌補這個(gè)錯誤[13]．隨著(zhù)有關(guān)數學(xué)教師對學(xué)生錯誤行為診斷的研究越來(lái)越細化，對學(xué)生錯誤產(chǎn)生的原因做出假設、是否將錯誤作為課堂教學(xué)的重點(diǎn)等指標也被認為是教師處理與分析學(xué)生錯誤的關(guān)鍵步驟．如里科米尼（Riccomini）將對學(xué)生錯誤分析聚集于3個(gè)方面：確定教師是否能夠識別減法的特定錯誤模式，確定教師是否能夠描述常見(jiàn)的減法錯誤，確定教師是否能夠將這些錯誤模式作為教學(xué)重點(diǎn)[14]．庫珀（Cooper）開(kāi)發(fā)了一項培養未來(lái)教師分析學(xué)生錯誤的能力，以便使其做出教學(xué)決策的課程，包括識別學(xué)生錯誤，對錯誤可能產(chǎn)生的原因做出假設，然后思考并采取教學(xué)策略3個(gè)步驟[15]．這是在1988年庫尼（Cooney）開(kāi)發(fā)的模型基礎上建立起來(lái)的．庫尼將教學(xué)定義為教師收集學(xué)生學(xué)習的各類(lèi)信息，分析結果，做出診斷，并在此基礎上給予學(xué)生回應的互動(dòng)過(guò)程[16]．海因里克斯（Heinrichs）和凱撒（Kaiser）提出，教師分析與診斷學(xué)生錯誤通常包括3個(gè)步驟，即感知或識別錯誤，解釋錯誤，最后對錯誤進(jìn)行處理[17]．中國一些一線(xiàn)數學(xué)教育工作者從實(shí)踐的角度提出教學(xué)是教師分析學(xué)生錯誤行為的過(guò)程．華應龍提出應從如何認識學(xué)習錯誤，分析學(xué)習錯誤及處理學(xué)習錯誤3方面來(lái)對待學(xué)生錯誤[18]．吳文娟在此基礎上提出，教師對學(xué)生錯誤的診斷過(guò)程經(jīng)歷了預設—發(fā)現—反饋3個(gè)階段[19]．

數學(xué)教師在某個(gè)特定數學(xué)主題的錯誤分析上，祖亞（Zuya）選擇代數中的變量、代數分式、方程式和文字題為內容，試圖解釋數學(xué)教師能否預測和識別學(xué)生思維過(guò)程，并提供有用的糾錯建議[20]．黃興豐等人以概念性知識和程度性知識為分析框架，對職前數學(xué)教師應對學(xué)生概率錯誤進(jìn)行調查．結果表明，極少數職前教師可以達到概念性解釋學(xué)生數學(xué)錯誤的水平，多數教師不能真正解釋學(xué)生的錯誤[12]．在教師診斷學(xué)生錯誤的關(guān)鍵環(huán)節上，馬文杰深入研究了小學(xué)數學(xué)教師對數學(xué)學(xué)習錯誤的矯正原則，并細化為13項[21]．李娜等人基于對初中數學(xué)課堂的錄像分析將教師反饋學(xué)生錯誤的類(lèi)型分為陳述型和質(zhì)疑型[22]．

將上述研究者有關(guān)教師對待錯誤的模型進(jìn)行歸納提煉發(fā)現，教師診斷學(xué)生錯誤的基本過(guò)程都包括3個(gè)步驟：識別學(xué)習錯誤、尋找錯誤的原因，以及做出適當的反應．國內外研究者有關(guān)數學(xué)教師診斷學(xué)生錯誤模型的對比見(jiàn)表1．

此外，專(zhuān)家咨詢(xún)結果表明，數學(xué)教師對學(xué)生錯誤的預判也是其辨析能力的重要組成部分，正如祖亞和吳文娟所言，數學(xué)教師應該能夠預測學(xué)生的典型錯誤，及時(shí)獲得學(xué)生學(xué)習新課前的知識掌握程度的信息．因此，研究將小學(xué)數學(xué)教師有關(guān)學(xué)生錯誤的知識的認知過(guò)程分為以下4個(gè)階段．

第一階段，數學(xué)教師對學(xué)生錯誤的預測．這一階段是后續3個(gè)階段的前提，決定著(zhù)教師對待學(xué)生錯誤的反應行為．在多數診斷模型中，此階段并沒(méi)有涵蓋在內．但是，在實(shí)際教學(xué)中，教師對學(xué)生錯誤的估計往往來(lái)源于經(jīng)驗、來(lái)源于教材，并非來(lái)源于當下所教的學(xué)生[19]．所以，學(xué)生錯誤的現狀與教師對錯誤的理解的脫節促使研究將教師對學(xué)生錯誤的預測作為認知過(guò)程的第一個(gè)階段．

第二階段，數學(xué)教師運用數學(xué)和課程相關(guān)知識識別和描述某個(gè)特定數學(xué)主題的錯誤．只有當一個(gè)錯誤被感知的時(shí)候，教師才可能對其做出反應．在上述提到的模型中，這一階段常常作為教師診斷學(xué)生錯誤的第一個(gè)階段．可見(jiàn)，此階段是教師對學(xué)生錯誤進(jìn)行原因分析與處理的基礎環(huán)節．

第三階段，數學(xué)教師對錯誤的原因進(jìn)行假設、分析與闡釋?zhuān)@個(gè)階段基本可以在前文提到的所有診斷過(guò)程模型中找到．為了能夠識別錯誤的根源在哪，教師們需要對造成錯誤的原因做出恰當的假設，并在此基礎上深入分析，這對糾正學(xué)生的錯誤至關(guān)重要．

第四階段，數學(xué)教師在對前3個(gè)階段的認識與分析基礎上，找到解決學(xué)生錯誤的教學(xué)方法，并處理與矯正學(xué)生的錯誤．已有研究也顯示，教師必須處理錯誤，以培養和糾正學(xué)生的理解力，才能最終達成教學(xué)目標．

表1 有關(guān)數學(xué)教師診斷學(xué)生錯誤模型的對比

2.2 內容維度

在建立小學(xué)數學(xué)教師有關(guān)學(xué)生錯誤的知識的認知過(guò)程維度基礎上，需要考慮的另一個(gè)維度就是在不同的數學(xué)內容領(lǐng)域數學(xué)教師有關(guān)學(xué)生錯誤的知識．《課程標準》是國家對學(xué)生學(xué)業(yè)發(fā)展的總體目標和要求，是教材編寫(xiě)、教師教學(xué)的基本依據，集中體現了教育目標，自然為教師知識的評價(jià)提供了基本框架，即《課程標準》所要求掌握的知識和能力應作為小學(xué)數學(xué)教師有關(guān)學(xué)生錯誤的知識的內容維度的重要依據和現實(shí)選擇．據此建構評價(jià)模型，如圖1．

3.1 研究方法

參照國際教育評價(jià)項目的整體設計思路，結合專(zhuān)家咨詢(xún)法和訪(fǎng)談法構建小學(xué)數學(xué)教師有關(guān)學(xué)生錯誤的知識的評價(jià)模型，并據此開(kāi)發(fā)測試工具，采用測量研究法進(jìn)行實(shí)測．

圖1 小學(xué)數學(xué)教師有關(guān)學(xué)生錯誤的知識的評價(jià)模型

3.2 研究對象

參與模型修訂與確立的咨詢(xún)專(zhuān)家包括墨爾本大學(xué)、迪肯大學(xué)、北京師范大學(xué)、華東師范大學(xué)、首都師范大學(xué)、南京師范大學(xué)、北京教育學(xué)院等國內外高校數學(xué)教育領(lǐng)域、教育測量領(lǐng)域的學(xué)者，以及北京、浙江、安徽、陜西和廣西等地區的教研員及一線(xiàn)教師，共計32名．實(shí)施測試后，參與結果訪(fǎng)談的專(zhuān)家包括來(lái)自北京、浙江的數學(xué)教育專(zhuān)家、一線(xiàn)教師和教研員，共計12名．

參與模型驗證的小學(xué)數學(xué)教師樣本來(lái)自東、中、西部地區，共計8個(gè)?。ㄊ校紤]學(xué)校所在地理位置等因素，在每個(gè)省隨機選取區縣，按照城市、縣鎮、鄉鎮和農村4個(gè)類(lèi)別進(jìn)行抽樣，在每個(gè)類(lèi)別中抽取60名四～六年級的數學(xué)教師，共計720名教師．抽取教師的平均年齡為38歲，教授數學(xué)學(xué)科的平均教齡為15年．樣本分布情況見(jiàn)表2．

3.3 數據收集與處理

正式測試在各地教育行政部門(mén)或教研員的統一安排下進(jìn)行．問(wèn)卷回收后，對測試卷的異常作答，如抄襲、隨機作答等進(jìn)行處理與刪除．共發(fā)放問(wèn)卷720份，剔除測試卷的異常作答，如抄襲、隨機作答等，回收有效問(wèn)卷701份，有效率為97%．

采用驗證性因子分析對評價(jià)模型進(jìn)行驗證，通過(guò)項目反應理論對教師表現進(jìn)行估計．數據處理與分析采用SPSS22.0、Mplus7.0、ConQuest軟件完成．

表2 小學(xué)數學(xué)教師各類(lèi)別變量的分布情況

注：因教師在性別、教齡上的填答有缺失，故在這兩個(gè)變量的人數加總小于總人數．但因不涉及針對性別、教齡的數據分析，所以并不影響分數估計、驗證性因子分析結果的科學(xué)性．

4.1 測試工具的開(kāi)發(fā)

選取四年級“圖形與幾何”課程內容開(kāi)發(fā)測試工具．

選擇四年級的主要原因如下：皮亞杰認知發(fā)展理論提出，7～11歲兒童處于具體運算階段．在這個(gè)階段，兒童已迅速獲得認知操作能力，并能運用這些新的技能思考事物，可以很好地理解數量關(guān)系和邏輯關(guān)系．在數學(xué)概念發(fā)展上，9～11歲的兒童處于認識形狀、水平和垂直坐標及面積概念的階段．再者，根據《課程標準》對學(xué)段的劃分，四年級是小學(xué)高年級的開(kāi)始，對學(xué)生學(xué)習數學(xué)起著(zhù)承前啟后的作用．最后，無(wú)論是國際大規模教育評價(jià)項目，如TIMSS、NAEP等，還是中國義務(wù)教育質(zhì)量監測，均認為四年級是學(xué)生個(gè)體能力水平發(fā)展的關(guān)鍵階段[23]．

選擇“圖形與幾何”作為工具研發(fā)的內容維度的原因主要包括兩個(gè)方面：就內容本身而言，幾何初步知識是小學(xué)數學(xué)基礎知識的重要組成部分，是數學(xué)中最直觀(guān)、最具體的一部分，并且與現實(shí)生活聯(lián)系緊密，同時(shí)也是將來(lái)小學(xué)高年級和初中階段學(xué)習的必備基礎．此外，幾何知識不是獨立的，而是環(huán)環(huán)相扣的，是一個(gè)系統化的整體．如果學(xué)生在發(fā)展的關(guān)鍵階段沒(méi)有打好幾何學(xué)習的基礎，會(huì )影響后續幾何知識，乃至整個(gè)數學(xué)學(xué)習的效果．另外，中國從2001年課程改革開(kāi)始，幾何課程的內容變得更加豐富，教師作為課程知識的實(shí)施者，其幾何知識的教學(xué)能力也面臨較大的挑戰．就“圖形與幾何”的教學(xué)現狀而言，許多研究指出，學(xué)生在識別幾何形狀、解決空間推理問(wèn)題的過(guò)程中存在困難[24]．同樣地，數學(xué)專(zhuān)業(yè)的師范生和有經(jīng)驗的教師與學(xué)生一樣，對幾何知識也存在相同的誤解[25]．因為測試年級和幾何學(xué)習的重要性等因素，根據《課程標準》對四年級“圖形與幾何”課程內容的規定，將內容維度進(jìn)一步細化為圖形的認識、測量、圖形的運動(dòng)、圖形與位置4個(gè)子維度．

小學(xué)數學(xué)教師有關(guān)學(xué)生錯誤的知識的測試題目在北京、安徽和廣西三地進(jìn)行兩輪預試，同時(shí)通過(guò)多群體、多地域、多輪次的咨詢(xún)與訪(fǎng)談，專(zhuān)家在如下方面達成一致：在評價(jià)目的與定位方面，絕大多數專(zhuān)家贊同測試的目的在于獲得教師對四年級學(xué)生“圖形與幾何”基礎知識的掌握程度的信息，而非通過(guò)本次測試鑒別學(xué)生在該內容維度上的水平．專(zhuān)家們普遍認為基礎知識的掌握奠定學(xué)生未來(lái)學(xué)習的基礎，對教師針對學(xué)生掌握基礎知識時(shí)常見(jiàn)錯誤的辨析的評價(jià)更有利于從源頭幫助學(xué)習有困難的學(xué)生消除誤解，矯正錯誤．在題目難度方面，有關(guān)學(xué)生錯誤的知識側重于教師對學(xué)生掌握基礎知識的程度進(jìn)行判斷與分析，學(xué)生在難度較小的題目上映射出的典型錯誤是研究的關(guān)注點(diǎn)．在題目的表述和形式方面，對部分題目的語(yǔ)言表述、設問(wèn)方式等進(jìn)行規范化修改，使測試題更貼近小學(xué)數學(xué)教育的實(shí)際．

最終測試題目確定為主觀(guān)建構題，共10道大題，38個(gè)小題，測試時(shí)間為不限時(shí)．為了避免主觀(guān)建構題太多導致測試卷過(guò)長(cháng)，引起參測教師作答疲勞進(jìn)而降低回收質(zhì)量，研究采用循環(huán)鉚的題本設計．將所有的測試題目根據評價(jià)模型的維度進(jìn)行組塊，然后將組塊循環(huán)放入不同的題本中，兩兩題本之間有兩道大題為共同題，最終組成5個(gè)題本．

4.2 評價(jià)模型的驗證

研究采用項目反應理論對測試題目進(jìn)行估計．結果表明，測試題區分度在0.25～0.73之間，難度在0.01～0.64之間，IRT難度在-2.43～2.63之間．題本1至題本5的內部一致性系數分別為0.74、0.80、0.74、0.78和0.77，滿(mǎn)足良好測驗對題目的基本要求．同時(shí)，評價(jià)模型的驗證性因子分析結果為：2=155.15，=2，=0.09，=0.96，=0.93，這表明模型的擬合良好，結構效度符合測量學(xué)要求．因子分析結果見(jiàn)圖2．

同時(shí)，專(zhuān)家認同測試卷中數學(xué)主題為四年級學(xué)生日常學(xué)習“圖形與幾何”基礎知識時(shí)常犯的學(xué)習錯誤，保證了題目的內容效度．

圖2 小學(xué)數學(xué)教師有關(guān)學(xué)生錯誤的知識的評價(jià)模型的驗證性因子分析結果

4.3 表現標準的編制

為了便于對測試結果進(jìn)行報告與解釋?zhuān)枰鶕鄳谋憩F標準描述將評價(jià)對象劃分到有序的表現水平中去．科學(xué)的、可操作性的表現標準是衡量與解釋小學(xué)數學(xué)教師有關(guān)學(xué)生錯誤的知識的重要依據．表現標準的制訂具體可分為以下4個(gè)步驟．

第一，依據評價(jià)指標體系的二維結構，結合兩輪預試的數學(xué)教師的作答結果，制訂表現標準初稿；

第二，正式測試后，在各題本中抽取約10%的問(wèn)卷進(jìn)行預評，根據預評結果，對表現標準進(jìn)行相應的修訂；

第三，將選取出的典型樣題及表現標準發(fā)給專(zhuān)家進(jìn)行審核與評分，根據審核意見(jiàn)進(jìn)行修訂并最終確定表現標準；

第四，為了更好地對數學(xué)教師的分數做出解釋?zhuān)f(shuō)明達到某個(gè)分數的教師能夠做什么．對小學(xué)數學(xué)教師有關(guān)學(xué)生錯誤的作答反應采用分步計分模型進(jìn)行分數估計，對數學(xué)教師在認知和內容維度上的表現分別采用多維Rasch模型進(jìn)行估計．

在IRT標準分數基礎上，對其進(jìn)行線(xiàn)性轉換，將小學(xué)數學(xué)教師有關(guān)學(xué)生錯誤的知識的總體表現轉換為均值為500分，標準差為100分的量尺分數；
對于內容或認知維度，以其中表現最弱的一個(gè)子維度為基準進(jìn)行標準化，再進(jìn)行線(xiàn)性轉換為均值為200分，標準差為50分的量尺分數，從而使內容和認知維度各子維度之間具有可比性．

研究中，小學(xué)數學(xué)教師預測和了解學(xué)生錯誤子維度賦值0～1分，依據學(xué)生測試卷得到的正確作答率，教師能夠準確預測學(xué)生正確作答率所在范圍計為1分，否則計為0分．小學(xué)數學(xué)教師有關(guān)學(xué)科和課程知識的理解、有關(guān)學(xué)生錯誤的原因分析、針對學(xué)習錯誤的教學(xué)策略3個(gè)子維度賦值0～2分．采用反應類(lèi)別組合方法（參照TIMSS對問(wèn)卷量表劃分區域的反應類(lèi)別組合方法來(lái)確定教師表現的不同水平）來(lái)確定小學(xué)數學(xué)教師原始分數的切分點(diǎn)．因為Rasch量尺的特點(diǎn)是每個(gè)原始分數都對應一個(gè)量尺分數，把小學(xué)數學(xué)教師得到的原始分數的切分點(diǎn)與量尺分數進(jìn)行對應，可以將數學(xué)教師有關(guān)學(xué)生錯誤的知識劃分為3個(gè)等級，分別為初等水平、中等水平、優(yōu)等水平，具體描述見(jiàn)表3．為了更直觀(guān)地呈現小學(xué)數學(xué)教師有關(guān)學(xué)生錯誤的表現水平，以“圖形的運動(dòng)”子維度的樣題為例進(jìn)行說(shuō)明，見(jiàn)表4．

4.4 實(shí)測結果

第一，小學(xué)數學(xué)教師有關(guān)學(xué)生錯誤的知識的整體表現不佳，多數數學(xué)教師仍處于中等偏下的水平，僅有15.0%的數學(xué)教師可以達到優(yōu)等水平．這一結論在一定程度上驗證了以往研究關(guān)于數學(xué)教師辨析錯誤能力的研究結果．

第二，在內容維度上，小學(xué)數學(xué)教師在“圖形的認識”子維度上表現最差，量尺分數為200分，達到優(yōu)等水平的教師比例為12.0%；
在“測量”子維度上表現最好，量尺分數為250分，達到優(yōu)等水平的教師比例為47.0%．

第三，在認知維度上，小學(xué)數學(xué)教師在“分析學(xué)生錯誤的原因”子維度上表現最差，量尺分數為200分，達到優(yōu)等水平的教師比例為3.4%；
在“運用數學(xué)和課程知識描述學(xué)生錯誤”子維度表現最好，量尺分數為343分，達到優(yōu)等水平的教師比例為52.9%．具體結果見(jiàn)表5．

表3 小學(xué)數學(xué)教師有關(guān)學(xué)生錯誤的知識的表現標準描述

表4 小學(xué)數學(xué)教師在“圖形的運動(dòng)”子維度的樣題及典型作答

表5 小學(xué)數學(xué)教師有關(guān)學(xué)生錯誤的知識內容和認知維度的量尺分數與表現水平

小學(xué)數學(xué)教師在“圖形的認識”和“測量”子維度上存在差異，其原因可能在于課程內容本身的屬性以及長(cháng)久以來(lái)中國幾何教學(xué)中存在的歷史問(wèn)題．首先，《課程標準》中“圖形與幾何”課程內容屬性的不同，在一定程度上導致了數學(xué)教師在不同內容子維度上表現的差異．測量的內容與解決問(wèn)題的方法相關(guān)較高，學(xué)生容易從抽象的問(wèn)題中找到解題方法，所以學(xué)生易犯錯誤的地方與相應的教師糾錯方法也相對明確．從學(xué)段上看，四年級學(xué)生在測量上只學(xué)習了二維圖形，如長(cháng)方形與正方形面積和周長(cháng)的計算方法，需要解決的度量問(wèn)題較少，且圖形的種類(lèi)單一．而圖形的認識的內容涉及有關(guān)圖形的要素之間、圖形的本質(zhì)、關(guān)系與特征的內容，一些教師自身對這方面的知識存在認知盲區，受到自身能力的限制，他們在講課時(shí)采用的教學(xué)設計與方法也存在一定的偏差，課后又不能及時(shí)地發(fā)現學(xué)生錯誤的本質(zhì)，糾錯的策略也就不成熟，不具有針對性．吳衛東等人的研究表明，小學(xué)數學(xué)教師的新課程教學(xué)的內容知識，即關(guān)于數學(xué)概念和過(guò)程的知識急待提高[26]．尹瑤芳也提出，小學(xué)數學(xué)教師對坐標幾何、度量幾何和畫(huà)法幾何總體掌握較好，變換幾何、直觀(guān)幾何和演繹幾何知識較為欠缺．同時(shí)，訪(fǎng)談結果也發(fā)現，數學(xué)教師對新課標幾何內容寬度廣度認識不足，受教育觀(guān)和知識觀(guān)的限制，部分教師易出現數學(xué)思維稚化現象[27]．再有，長(cháng)久以來(lái)，中國小學(xué)幾何教學(xué)側重于計算幾何．在教學(xué)中，許多老師往往在教授幾何知識的時(shí)候仍然重視計算的過(guò)程，忽略對圖形的要素、關(guān)系與特征的研究．這一歷史遺留問(wèn)題至今仍然影響著(zhù)中國小學(xué)幾何教學(xué)．教師在知識、觀(guān)念上的固化致使在教學(xué)行為上的缺失，進(jìn)而導致他們在學(xué)生發(fā)生有關(guān)圖形的認識的錯誤時(shí)難以跟進(jìn)與分析．

小學(xué)數學(xué)教師在“分析學(xué)生錯誤的原因”子維度上的不良表現可能與小學(xué)數學(xué)教師關(guān)于學(xué)生心理發(fā)展特征與認知過(guò)程的知識儲備不足有關(guān)．已有文獻研究表明，職前數學(xué)教師判斷學(xué)生反應原因的能力是相對匱乏的．具體到對學(xué)生錯誤原因的分析，數學(xué)教師常常過(guò)于泛化地、片面地對錯誤進(jìn)行歸因[28]．學(xué)生已有的知識經(jīng)驗包含但不限于他們的知識、技能基礎、學(xué)習、生活經(jīng)驗，是實(shí)施有效教學(xué)的前提條件，對學(xué)生知識現狀、困難的掌握與分析應該成為教學(xué)的起點(diǎn)．然而教師想要讀懂學(xué)生并非易事．學(xué)習數學(xué)知識、掌握某種教學(xué)技能與方法是相對容易的；
洞悉學(xué)生深層次的認知、心理變化與特點(diǎn)是困難的，也是漫長(cháng)的．從時(shí)間成本與結果來(lái)看，數學(xué)教師教學(xué)技能的提升對學(xué)生學(xué)業(yè)成績(jì)的影響是高效的、顯性的；
而花時(shí)間關(guān)注學(xué)生思維，讀懂學(xué)生的工作是隱性的，很難量化對學(xué)生的成長(cháng)產(chǎn)生了多大程度的影響．這可能是多數小學(xué)數學(xué)教師面對學(xué)生錯誤“不為”的原因．張曉貴對比兩岸三地數學(xué)教育課程設置發(fā)現，數學(xué)學(xué)習的知識包括數學(xué)思維、數學(xué)學(xué)習的錯誤分析、數學(xué)學(xué)習的情意因素以及學(xué)習理論等．與中國臺灣、中國香港相比，中國內地數學(xué)學(xué)科教學(xué)論中雖然包含學(xué)生數學(xué)學(xué)習知識，但和數學(xué)課程的知識類(lèi)似，所提供的數學(xué)學(xué)習知識是不充分的，缺少學(xué)生數學(xué)學(xué)習心理學(xué)和社會(huì )學(xué)分析的必要內容[29]．從中國數學(xué)教師教育課程設置來(lái)看，有關(guān)兒童心理發(fā)展、認知特點(diǎn)的課程仍處在邊緣地位，雖然學(xué)校在課程安排中有心理學(xué)相關(guān)課程，但學(xué)生普遍認為心理學(xué)與中文、英語(yǔ)等公共課一樣，不如專(zhuān)業(yè)必修課重要[30]．曾小平等人提出，中國高師院校本科小學(xué)教育專(zhuān)業(yè)建設存在缺乏對兒童學(xué)習心理的深入研究．小學(xué)教育專(zhuān)業(yè)（數學(xué)方向）的核心課程應包括讓教師初步了解數學(xué)學(xué)習心理的基本理論，了解小學(xué)生數學(xué)認知發(fā)展概況，了解小學(xué)生數學(xué)思維的發(fā)展概況，了解數學(xué)教育心理研究的基本方法的內容[31]．越來(lái)越多的研究者建議小學(xué)數學(xué)教育專(zhuān)業(yè)課程中應增加數學(xué)學(xué)習心理學(xué)、教育學(xué)和數學(xué)相結合的課程[32]．數學(xué)教師在職前教育階段有關(guān)學(xué)生心理與認知發(fā)展的知識相對匱乏，導致了他們在今后教學(xué)中對學(xué)生思維認知關(guān)注的缺位，這也是小學(xué)數學(xué)教師面對學(xué)生錯誤的“難為”之處．

小學(xué)數學(xué)教師在“運用數學(xué)和課程知識描述學(xué)生錯誤”子維度上的良好表現可能與數學(xué)教師參與培訓、日常研討的內容有關(guān)．近年來(lái)，研究者改進(jìn)研究設計與方法后對教師培訓與學(xué)生學(xué)業(yè)成績(jì)關(guān)系的研究結果表明，教師參與培訓對小學(xué)生數學(xué)成績(jì)有顯著(zhù)的正向影響．希爾（Hill）等人發(fā)現，以數學(xué)內容為中心的職前培訓和專(zhuān)業(yè)發(fā)展活動(dòng)對數學(xué)教師如何設計教學(xué)、如何處理學(xué)生困惑很重要，并對提高學(xué)生數學(xué)成績(jì)有積極的作用[33]．陳向明等人基于11個(gè)?。ㄖ陛犑校?，涉及東中西不同經(jīng)濟發(fā)展地區，兼顧城鄉及不同層次學(xué)校類(lèi)型的教師培訓調查結果發(fā)現，教育教學(xué)理論、學(xué)科教學(xué)是教師們接受最多的兩種培訓內容[34]．可見(jiàn)，數學(xué)教師最常參加涉及有關(guān)數學(xué)學(xué)科知識的內容的培訓，對他們把握數學(xué)課程知識有較大幫助．

6.1 結論

（1）小學(xué)數學(xué)教師有關(guān)學(xué)生錯誤的知識可以用包括認知維度和內容維度的二維評價(jià)模型進(jìn)行有效評價(jià)．該模型突破了傳統測驗理論的局限性，對有關(guān)學(xué)生錯誤的知識的核心組成部分進(jìn)行了全面系統的分析與論證，在一定程度上豐富了數學(xué)教師學(xué)科教學(xué)知識的研究．

（2）以小學(xué)數學(xué)教師有關(guān)學(xué)生錯誤的知識的二維評價(jià)模型為藍圖，結合專(zhuān)家咨詢(xún)、個(gè)別訪(fǎng)談等方法開(kāi)發(fā)的測評工具信效度良好，可操作性強；
驗證性因子分析的結果證明此模型擬合良好，結構穩定可靠，構建模型的方法選擇恰當且高效．小學(xué)數學(xué)教師有關(guān)學(xué)生錯誤的知識的評價(jià)在教育測量最新技術(shù)與方法指導下進(jìn)行測試，提供了小學(xué)數學(xué)教師更為精細化的、潛在的對學(xué)生錯誤的認知過(guò)程與特質(zhì)，可為教育決策、教學(xué)改進(jìn)、學(xué)生發(fā)展提供可靠的數據支撐與參考依據．

調查沒(méi)有涉及四年級以外的其它年級和《課程標準》中小學(xué)數學(xué)的其它內容維度，一定程度上限制了評價(jià)框架的推廣性與普適性．受限于研究樣本、題本設計、作答時(shí)間等客觀(guān)條件，研究?jì)H開(kāi)發(fā)了四年級“圖形與幾何”內容上的測試工具對有關(guān)學(xué)生錯誤的知識的評價(jià)指標進(jìn)行操作化的測試與驗證．對于小學(xué)其它年級，以及數學(xué)教師有關(guān)學(xué)生錯誤的知識的評價(jià)框架在“數與代數”“統計與概率”內容上的適用性還有待進(jìn)一步分析．未來(lái)的研究可以考慮將影響小學(xué)數學(xué)教師有關(guān)學(xué)生錯誤的知識的相關(guān)因素納入評價(jià)框架中，可為改進(jìn)教師教學(xué)行為提供更具針對性的指導意見(jiàn)．

（3）多數小學(xué)數學(xué)教師處理學(xué)生錯誤時(shí)表現欠佳，這一現狀應引起足夠的重視．調查結果表明，85.0%的小學(xué)數學(xué)教師對學(xué)生錯誤的了解與預測、識別與描述、診斷與闡釋、糾正與處理的相關(guān)知識處在初等或中等水平，整體表現并不理想，亟需提高．同時(shí)，各子維度之間差異較大，尤其是認知子維度．小學(xué)數學(xué)教師在“運用數學(xué)和課程知識描述學(xué)生錯誤”“糾正學(xué)生錯誤的教學(xué)策略”“預測學(xué)生錯誤”子維度上的量尺分數均在300分以上，遠高于“分析學(xué)生錯誤的原因”子維度；
在達到優(yōu)等水平的教師比例上分布稍有不同，約45.0%以上的教師在“運用數學(xué)和課程知識描述學(xué)生錯誤”“糾正學(xué)生錯誤的教學(xué)策略”子維度上可以達到優(yōu)等水平，但僅有不足10.0%的教師在“預測學(xué)生錯誤”“分析學(xué)生錯誤的原因”子維度上可以達到優(yōu)等水平．

（4）小學(xué)數學(xué)教師職前培養階段的課程設置、有關(guān)學(xué)生錯誤分析與處理相關(guān)研討與培訓的缺失，以及內在知識結構、觀(guān)念的固化等多重原因，導致其在分析學(xué)生錯誤時(shí)表現不佳．

6.2 建議

（1）在教師職前和職后教育中，注重從學(xué)生本位理念出發(fā)，適當增加有關(guān)對學(xué)生認知研究的心理學(xué)等相關(guān)課程的比重，從源頭上彌補教師有關(guān)學(xué)生知識的缺失．相比于傳統的、高高在上的純理論性培訓，有關(guān)學(xué)生錯誤的培訓主題更貼近教師們的教學(xué)實(shí)踐，容易引起共鳴，每位教師對學(xué)生錯誤都可以基于自己的實(shí)際教學(xué)各抒己見(jiàn)、暢所欲言．建議各級教育部門(mén)合理設計有關(guān)學(xué)生錯誤的知識的培訓方案，為不同地域的數學(xué)教師提供多元化、個(gè)性化的指導與支持．

（2）隨著(zhù)新課程理念的發(fā)展、倡導自主探索與建構的數學(xué)教學(xué)、以學(xué)生為本的教學(xué)信念，越來(lái)越多的教師認識到學(xué)生錯誤的積極價(jià)值，認識到學(xué)生的錯誤可能蘊含著(zhù)比正確答案更豐富的信息，對這些信息的辨別與分析可能成為學(xué)生發(fā)展新的增長(cháng)點(diǎn)．由于時(shí)間的限制、教學(xué)效果的時(shí)效性、自身能力等原因，數學(xué)教師在分析學(xué)生錯誤原因中面臨著(zhù)“不為”與“難為”困境．建議數學(xué)教師在面對學(xué)生的錯誤時(shí)，應積極轉變固有的關(guān)注知識的教學(xué)觀(guān)，樹(shù)立為學(xué)生服務(wù)的意識，放慢腳步，避免急功近利，學(xué)會(huì )讀懂學(xué)生．

[1] Shulman L S. Those who understand: Knowledge growth in teaching [J]. Educational Researcher, 1986, 15 (2): 4-14.

[2] Salvia J, Hughes C. Curriculum-based assessment: Testing what is taught [M]. New York: Macmillan, 1990: 365.

[3] Clements M A. Careless errors made by sixth-grade students on written mathematical tasks [J]. Journal of Research in Mathematics Education, 1982, 13 (2):136-144.

[4] Fuchs L S, Fuchs D, Hamlett C L. Strengthening the connection between assessment and instructional planning with expert systems [J]. Exceptional Children, 1994, 61 (2): 138-146.

[5] 中華人民共和國教育部．義務(wù)教育數學(xué)課程標準（2011年版）[M]．北京：北京師范大學(xué)出版社，2012：49．

[6] William H S, Maria T T, Kiril B. The preparation gap: Teacher education for middle school mathematics in six countries----MT21 report [R]. MSU Center for Research in Mathematics and Science Education, Michigan State University, 2007: 2-10.

[7] Tatto M T, Schwille J, Senk S, et al. Teacher education and development study in mathematics (TEDS-M): Policy, practice, and readiness to teach primary and secondary mathematics conceptual framework [R]. Teacher Education and Development International Study Center, College of Education, Michigan State University, 2008: 13-14.

[8] 邵珍紅，曹一鳴．數學(xué)教學(xué)知識測試工具簡(jiǎn)介及其相關(guān)應用[J]．數學(xué)教育學(xué)報，2014，23（2）：40-44．

[9] 李瓊，倪玉菁，蕭寧波．小學(xué)數學(xué)教師的學(xué)科知識：表現特點(diǎn)及其關(guān)系研究[J]．教育學(xué)報，2006（12）：58-59．

[10] 孫興華，馬云鵬．小學(xué)數學(xué)教師如何處理學(xué)生計算錯誤的研究——以?xún)晌粩党藘晌粩禐槔齕J]．數學(xué)教育學(xué)報，2016，25（5）：38-44.

[11] 陳建華，文清．數學(xué)教師糾錯教學(xué)策略研究——從處理學(xué)生解題錯誤談起[J]．教育與教學(xué)研究，2014，28（6）：49-53．

[12] 黃興豐，馬云鵬．職前數學(xué)教師如何應對學(xué)生的概率錯誤[J]．數學(xué)教育學(xué)報，2015，24（3）：28-34．

[13] Cox L. Diagnosing and remediating systematic errors in addition and subtraction computations [J]. The Arithmetic Teacher, 1975, 22 (2): 151-157.

[14] Riccomini P J. Identification and remediation of systematic error patterns in subtraction [J]. Learning Disability Quarterly, 2005, 28 (3): 233-242.

[15] Cooper S. Preservice teachers’ analysis of children’s work to make instructional decisions [J]. School Science and Mathematics, 2009, 109 (6): 355-362.

[16] Cooney T J. Teachers’ decision making [M] // Pim D. Mathematics, teachers and children. London: Hodder and Stoughton in Association with the Open University, 1988: 91.

[17] Heinrichs H, Kaiser G. Diagnostic competence for dealing with students’ errors-fostering diagnostic competence in error situations [M] // Leuders T, Philipp K, Leuders J. Diagnostic competence of mathematics teachers. New York: Springer, 2018: 79-94.

[18] 華應龍．錯若化開(kāi)，成長(cháng)自來(lái)[J]．人民教育，2017（20）：77-79．

[19] 吳文娟．化錯：從診斷學(xué)生的真實(shí)錯誤開(kāi)始[J]．江蘇教育研究，2017（11）：40-43．

[20] Zuya H E. Mathematics teachers’ responses to students’ misconception in algebra [J]. International Journal of Research in Education Methodology, 2014 (9): 830-836.

[21] 馬文杰．反思與“重構”數學(xué)學(xué)習錯誤矯正原則[J]．數學(xué)教育學(xué)報，2020，29（4）：11-17．

[22] 李娜，莫雅慈，吳立寶．初中數學(xué)課堂中教師對學(xué)生錯誤反饋的類(lèi)型研究——基于24節錄像課的分析[J]．數學(xué)教育學(xué)報，2016，25（5）：55-60．

[23] 辛濤，李峰，李凌艷．基礎教育質(zhì)量監測的國際比較[J]．北京師范大學(xué)學(xué)報（社會(huì )科學(xué)版），2007（6）：5-10．

[24] Elia I, Gagatsis A. Young children’s understanding of geometric shapes: The role of geometric models [J]. European Early Childhood Education Research, 2003, 11 (2): 43-61.

[25] Wang S, Kinzel M. How do they know it is a parallelogram? Analyzing geometric discourse at van Hield level 3 [J]. Research in Mathematics Education, 2014, 16 (3): 288-305.

[26] 吳衛東，彭文波，鄭丹丹，等．小學(xué)教師教學(xué)知識現狀及其影響因素的調查研究[J]．教師教育研究，2005（4）：59-64．

[27] 尹瑤芳．小學(xué)數學(xué)教師圖形與幾何知識狀況調查——以上海市浦東新區為例[J]．數學(xué)教育學(xué)報，2020，29（5）：46-51．

[28] Even R, Markovitz Z. Some aspects of teachers’ and students’ views on student reasoning and knowledge construction [J]. International Journal of Mathematics Education in Science Technology, 1995 (26): 531-544.

[29] 張曉貴．兩岸三地數學(xué)教師教育中數學(xué)教育類(lèi)課程設置的比較[J]．數學(xué)教育學(xué)報，2009，18（1）：63-66．

[30] 盧永翠，張廷艷．“國考”背景下數學(xué)師范專(zhuān)業(yè)課程設置的調查與思考[J]．教師教育學(xué)報，2019，6（1）：57-65．

[31] 曾小平，郜舒竹，王智秋．試論高師本科小學(xué)教育專(zhuān)業(yè)的核心課程——以數學(xué)方向為例[J]．數學(xué)教育學(xué)報，2011，20（6）：68-73．

[32] 徐建星．小學(xué)教育專(zhuān)業(yè)數學(xué)教育類(lèi)課程的構建——基于MKT的視角[J]．數學(xué)教育學(xué)報，2017，26（5）：54-58．

[33] Hill H C, Rowan B, Ball D L. Effects of teachers’ mathematical knowledge for teaching on student achievement [J]. American Educational Research Journal, 2005, 42 (2): 371-406.

[34] 陳向明，王志明．義務(wù)教育階段教師培訓調查：現狀、問(wèn)題與建議[J]．開(kāi)放教育研究，2013，19（4）：11-19．

Study on Construction and Application of Assessment Model of Primary School Mathematics Teachers’ Knowledge about Students’ Misconceptions

ZHANG Yue1, LIU Xiao-mei2, Max Stephens3, JIA Chao-chao4

(1. Institute on Educational Policy and Evaluation of International Students, Beijing Language and Culture University, Beijing 100083, China;2. College of Teacher Education, Capital Normal University, Beijing 100037, China;3. Graduate School of Education, The University of Melbourne, Melbourne 3010, Australia;4. Collaborative Innovation Center of Assessment toward Basic Education Quality, Beijing 100875, China)

The assessment model of primary school mathematics teachers’ knowledge about students’ misconceptions based on cognitive diagnostic assessment approach is a two-dimensional structure including cognition and content category. The cognition category includes four sub-categories, which were predicting the students’ misconceptions, using mathematics and curriculum- related knowledge to identify and describe errors on a specific mathematical topic, analyzing and explaining the reasons for students’ misconceptions, and strategies for dealing with and correcting students’ misconceptions. The content category is developed based on. Interview and counseling method are used in construction and modification of model and developing the test tools. 701 primary school mathematics teachers from 8 provinces and cities in east, central and west of China are tested to verify the assessment model. The results show that the assessment model has good reliability and validity. On the whole, the performance of mathematics teachers’ knowledge about students’ misconceptions should be improved, and the performance of cognitive and content sub-categories is very different.

primary school mathematics teachers; knowledge about students’ misconceptions; assessment model; verification and application

G622

A

1004–9894（2022）06–0030–08

張岳，劉曉玫，Max Stephens，等．小學(xué)數學(xué)教師有關(guān)學(xué)生錯誤的知識的評價(jià)模型構建與應用[J]．數學(xué)教育學(xué)報，2022，31（6）：30-37．

2022–05–20

北京市教育科學(xué)“十四五”規劃2021年度青年專(zhuān)項課題——首都高校來(lái)華留學(xué)本科生漢語(yǔ)學(xué)習質(zhì)量評價(jià)體系研究（CDCA21116）

張岳（1984—），女，山西陽(yáng)泉人，助理研究員，博士，主要從事學(xué)科教育與教師專(zhuān)業(yè)發(fā)展、教育測量與評價(jià)研究．劉曉玫為本文通訊作者．

[責任編校：陳雋、陳漢君]