1、判定確定事件與隨機事件的方法 事件類(lèi)型 定義 概率 確 定事件 必然事件 一定會(huì )發(fā)生的事件 1 不可能事件 一定不會(huì )發(fā)生的事件 0 隨機事件 可能發(fā)生也有可能不發(fā)生 0~1 2、求概率的方法：
?、僖话愕?，如果在一次實(shí)驗中，有 n 種可能的結果，并且它們發(fā)生的可能性都相等，事件 A 包含其中 m 種結果，那么事件 A 發(fā)生的概率為nmA P ? ）
?。?/p>
?、趲缀胃怕实那蠓ǎ菏紫雀鶕}意將代數關(guān)系用面積表示出來(lái)，一般用陰影區域表示所求事件 A，然后計算陰影區域的面積在總面積中所占的比例，這個(gè)比例即事件 A 發(fā)生的概率 3、運用列表法或畫(huà)樹(shù)狀圖法求概率的一般步驟：
?、侔阉锌赡馨l(fā)生的實(shí)驗結果一一列舉出來(lái)（用表格或者樹(shù)狀圖的形式）
?、诎阉笫录赡馨l(fā)生的結果都找出來(lái) ③代入概率的計算公式 【方法技巧】
第二節
概率 【知識梳理】
4、判斷游戲公平的步驟：
?、佼?huà)出樹(shù)狀圖 ②根據概率公式求出事件的概率 ③比較是否相等，相等就公平，否則就不公平
考點(diǎn) 1 1 、概率
例 1、轉動(dòng)轉盤(pán)，當轉盤(pán)停止轉動(dòng)時(shí)，指針落在紅色區域的可能性最大的是（
?。?/p>
A．
B．
C．
D．
變式 1、如圖是一個(gè)可以自由轉動(dòng)的轉盤(pán)，轉動(dòng)這個(gè)轉盤(pán)后，轉出（
?。┥目赡苄宰钚。?/p>
A．紅 B．黃 C．綠 D．不確定 變式 2、布袋中有大小一樣的 3 個(gè)白球和 2 個(gè)黑球，從袋中任意摸出 1 個(gè)球，下列判斷正確的是（
?。?/p>
A．摸出的球一定是白球 B．摸出的球一定是黑球 C．摸出的球是白球的可能性大 D．摸出的球是黑球的可能性大 例 2、如圖，有 5 張撲克牌，從中隨機抽取一張牌，點(diǎn)數是偶數的可能性大小是（
?。?/p>
A．
B．
C．
D．
變式 1、一個(gè)十字路口的交通信號燈每分鐘紅燈亮 30 秒，綠燈亮 25 秒，黃燈亮 5 秒，當你抬頭看信號燈時(shí)是綠燈的概率是（
?。?/p>
【考點(diǎn)突破】
A．
B．
C．
D．
變式 2、一副完整的撲克牌，去掉大小王，將剩余的 52 張混合后從中隨機抽取一張，則抽出 A 的概率是（
?。?/p>
A．
B．
C．
D．
例 3、擲兩枚硬幣，則一枚硬幣正面朝上，一枚硬幣反面朝上的概率是（
?。?/p>
A．1 B．
C．
D．
變式 1、從長(cháng)度分別為 2，4，6，8 的四條線(xiàn)段中任選三條作邊，能構成三角形的概率為（
?。?/p>
A．
B．
C．
D．
例 4、一個(gè)不透明的袋中裝有除顏色外其余都相同的 1 個(gè)白球和 2 個(gè)黑球．先從袋中摸出一個(gè)球后不再放回，第二次再從袋中摸出一個(gè)，那么兩次都摸到黑球的概率是（
?。?/p>
A．
B．
C．
D．
變式 1、一個(gè)盒子裝有除顏色外其它均相同的 2 個(gè)紅球和 3 個(gè)白球，現從中任取 2 個(gè)球，則取到的是一個(gè)紅球、一個(gè)白球的概率為（
?。?/p>
A．
B．
C．
D．
變式 2、甲箱內有 4 顆球，顏色分別為紅、黃、綠、藍；乙箱內有 3 顆球，顏色分別為紅、黃、黑．小賴(lài)打算同時(shí)從甲、乙兩個(gè)箱子中各抽出一顆球，若同一箱中每球被抽出的機會(huì )相等，則小賴(lài)抽出的兩顆球顏色相同的機率為何？（
?。?/p>
A．
B．
C．
D．
例 5、中秋節來(lái)臨，小紅家自己制作月餅．小紅做了三個(gè)月餅，1 個(gè)芝麻餡，2 個(gè)豆沙餡；小紅的爸爸做了兩個(gè)月餅，1 個(gè)芝麻餡，1 個(gè)豆沙餡（除餡料不同，其它都相同）．做好后他們請奶奶品嘗月餅，奶奶從小紅做的月餅中拿了一個(gè)，從小紅爸爸做的月餅中拿了一個(gè)．請利用列表或畫(huà)樹(shù)狀圖的方法求奶奶拿到的月餅都是豆沙餡的概率．
變式 1、一個(gè)不透明的口袋里裝有分別標有漢字“書(shū)”、“香”、“昌”、“平”的四個(gè)小球，除漢字不同之外， 小球沒(méi)有任何區別，每次摸球前先攪拌均勻．
?。?）若從中任取一個(gè)球，球上的漢字剛好是“書(shū)”的概率為多少？ （2）從中任取一球，不放回，再從中任取一球，請用樹(shù)狀圖或列表的方法，求取出的兩個(gè)球上的漢字能組成“昌平”的概率．
變式 2、甲、乙兩位同學(xué)玩轉盤(pán)游戲，游戲規則：將圓盤(pán)平均分成三份，分別涂上紅，黃，綠三種顏色，兩位同學(xué)分別轉動(dòng)轉盤(pán)兩次（若壓線(xiàn)，重新轉）．若兩次指針指到的顏色相同，則甲獲勝；若兩次指針指到的顏色是黃綠組合則乙獲勝；其余情況則視為平局． （1）請用畫(huà)樹(shù)狀圖的方法，列出所有可能出現的結果； （2）試用概率說(shuō)明游戲是否公平．
例 6、在同樣的條件下對某種小麥種子進(jìn)行發(fā)芽試驗，統計發(fā)芽種子數，獲得如下頻數表，由表估計該麥種的發(fā)芽概率是（
?。?/p>
試驗種子數 n（粒）
50 200 500 1000 3000 發(fā)芽頻數 m 45 188 476 951 2850 發(fā)芽頻率
0.9 0.94 0.952 0.951 0.95 A．0.8 B．0.9 C．0.95 D．1
變式 1、在一個(gè)不透明的盒子中裝有 n 個(gè)小球，它們除了顏色不同外，其余都相同，其中有 4 個(gè)白球，每次試驗前，將盒子中的小球搖勻，隨機摸出一個(gè)球記下顏色后再放回盒中．大量重復上述試驗后發(fā)現，摸到白球的頻率穩定在 0.4，那么可以推算出 n 大約是（
?。?/p>
A．10 B．14 C．16 D．40
考點(diǎn) 2 2 、統計與概率在實(shí)際生活的應用
例 1、某中學(xué)藝術(shù)節期間，向全校學(xué)生征集書(shū)畫(huà)作品．美術(shù)社團從九年級 14 個(gè)班中隨機抽取了 4個(gè)班，對征集到的作品的數量進(jìn)行了分析統計，制作了如下兩幅不完整的統計圖．
?。?）直接回答美術(shù)社團所調查的 4 個(gè)班征集到作品共
件，并把圖 1 補充完整； （2）根據美術(shù)社團所調查的四個(gè)班征集作品的數量情況，估計全年級共征集到作品的數量為
??； （3）在全年級參展作品中有 5 件獲得一等獎，其中有 3 名作者是男生，2 名作者是女生．現在要在其中抽兩人去參加學(xué)校總結表彰座談會(huì )，用樹(shù)狀圖或列表法，求恰好抽中一男生一女生的概率． 變式 1、為進(jìn)一步推廣“陽(yáng)光體育”大課間活動(dòng)，某中學(xué)對已開(kāi)設的 A 實(shí)心球，B 立定跳遠，C 跑步，D 跳繩四種活動(dòng)項目的學(xué)生喜歡情況進(jìn)行調查，隨機抽取了部分學(xué)生，并將調查結果繪制成圖 1，圖 2 的統計圖，請結合圖中的信息解答下列問(wèn)題：
?。?）請計算本次調查中喜歡“跑步”的學(xué)生人數和所占百分比，并將兩個(gè)統計圖補充完整； （2）隨機抽取了 5 名喜歡“跑步”的學(xué)生，其中有 3 名女生，2 名男生，現從這 5 名學(xué)生中任意抽取 2 名學(xué)生，請用畫(huà)樹(shù)狀圖或列表的方法，求出剛好抽到同性別學(xué)生的概率．
<A 組> 1．下列說(shuō)法中，正確的是（
?。?/p>
A．“射擊運動(dòng)員射擊一次，命中靶心”是必然事件 B．不可能事件發(fā)生的概率為 0 C．隨機事件發(fā)生的概率為
D．投擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣 100 次，正面朝上的次數一定為 50 次 2．下列圖形：
任取一個(gè)是中心對稱(chēng)圖形的概率是（
?。?/p>
A．
B．
C．
D．1 3．袋中有紅球 4 個(gè)，白球若干，抽到紅球的概率為 ，則白球有（
?。﹤€(gè)． A．8 B．6 C．4 D．2 4．小明同學(xué)參加“獻愛(ài)心”活動(dòng)，買(mǎi)了 2 元一注的愛(ài)心福利彩票 5 注，則“小明中獎”的事件為
事件（填“必然”或“不可能”或“隨機”）． 5．某校男子足球隊的年齡分布如下面的條形圖所示．
?。?）求這些隊員的平均年齡； （2）下周的一場(chǎng)校際足球友誼賽中，該校男子足球隊將會(huì )有 11 名隊員作為首發(fā)隊員出場(chǎng)，不考慮其他因素，請你求出其中某位隊員首發(fā)出場(chǎng)的概率． 6．某化妝品專(zhuān)賣(mài)店，為了吸引顧客，在“母親節”當天舉辦了甲、乙兩種品牌化妝品有獎酬賓活動(dòng)，凡購物滿(mǎn) 88 元，均可得到一次搖獎的機會(huì )．已知在搖獎機內裝有 2 個(gè)紅球和 2 個(gè)白球，除顏【分層訓練】
色外其它都相同，搖獎?wù)弑仨殢膿u獎機內一次連續搖出兩個(gè)球，根據球的顏色決定送禮金券的多少（如表）
甲種品牌化妝品 球 兩紅 一紅一白 兩白 禮金券（元）
6 12 6
乙種品牌化妝品 球 兩紅 一紅一白 兩白 禮金券（元）
12 6 12 （1）請你用列表法（或畫(huà)樹(shù)狀圖法）求一次連續搖出一紅一白兩球的概率； （2）如果一個(gè)顧客當天在本店購物滿(mǎn) 88 元，若只考慮獲得最多的禮品券，請你幫助分析選擇購買(mǎi)哪種品牌的化妝品？并說(shuō)明理由．
<B 組> 1．若十位上的數字比個(gè)位上的數字、百位上的數字都大的三位數叫做中高數，如 796 就是一個(gè)“中高數”．若十位上數字為 7，則從 3、4、5、6、8、9 中任選兩個(gè)不同的數，與 7 組成“中高數”的概率是
?。?2．如圖，正方形的陰影部分是由四個(gè)直角邊長(cháng)都是 1 和 3 的直角三角形組成的，假設可以在正方形內部隨意取點(diǎn)，那么這個(gè)點(diǎn)取在陰影部分的概率為
?。?/p>
3．4 件同型號的產(chǎn)品中，有 1 件不合格品和 3 件合格品． （1）從這 4 件產(chǎn)品中隨機抽取 1 件進(jìn)行檢測，求抽到的是不合格品的概率； （2）從這 4 件產(chǎn)品中隨機抽取 2 件進(jìn)行檢測，求抽到的都是合格品的概率； （3）在這 4 件產(chǎn)品中加入 x 件合格品后，進(jìn)行如下試驗：隨機抽取 1 件進(jìn)行檢測，然后放回，多次重復這個(gè)試驗，通過(guò)大量重復試驗后發(fā)現，抽到合格品的頻率穩定在 0.95，則可以推算出 x 的值大約是多少？
4．現有一個(gè)六面分別標有數字 1，2，3，4，5，6 且質(zhì)地均勻的正方形骰子，另有三張正面分別標有數字 1，2，3 的卡片（卡片除數字外，其他都相同），先由小明投骰子一次，記下骰子向上一面出現的數字，然后由小王從三張背面朝上放置在桌面上的卡片中隨機抽取一張，記下卡片上的數字． （1）請用列表或畫(huà)樹(shù)形圖（樹(shù)狀圖）的方法，求出骰子向上一面出現的數字與卡片上的數字之積為 6 的概率； （2）小明和小王做游戲，約定游戲規則如下：若骰子向上一面出現的數字與卡片上的數字之積大于 7，則小明贏(yíng)；若骰子向上一面出現的數字與卡片上的數字之積小于 7，則小王贏(yíng)，問(wèn)小明和小王誰(shuí)贏(yíng)的可能性更大？請說(shuō)明理由． 5．A、B、C 三人玩籃球傳球游戲，游戲規則是：第一次傳球由 A 將球隨機地傳給 B、C 兩人中的某一人，以后的每一次傳球都是由上次的傳球者隨機地傳給其他兩人中的某一人． （1）求兩次傳球后，球恰在 B 手中的概率； （2）求三次傳球后，球恰在 A 手中的概率． 6．有甲、乙兩個(gè)不透明的布袋，甲袋中裝 3 個(gè)完全相同的小球，分別標有數字 1，2，3；乙袋中也裝 3 個(gè)完全相同的小球，分別標有數字﹣1，﹣2，0；現從甲袋中隨機抽取一個(gè)小球，記錄標有的數字為 x，再從乙袋中隨機抽取一個(gè)小球，記錄標有的數字為 y，確定點(diǎn) M 坐標為（x，y）． （1）用樹(shù)狀圖或列表法列舉點(diǎn) M 所有可能的坐標； （2）求點(diǎn) M（x，y）在函數 y=﹣x+1 的圖象上的概率． 7．一個(gè)盒子里有標號分別為 1，2，3，4，5，6 的六個(gè)小球，這些小球除標號數字外都相同． （1）從盒中隨機摸出一個(gè)小球，求摸到標號數字為奇數的小球的概率； （2）甲、乙兩人用這六個(gè)小球玩摸球游戲，規則是：甲從盒中隨機摸出一個(gè)小球，記下標號數字后放回盒里，充分搖勻后，乙再從盒中隨機摸出一個(gè)小球，并記下標號數字．若兩次摸到小球的標號數字同為奇數或同為偶數，則判甲贏(yíng)；若兩次摸到小球的標號數字為一奇一偶，則判乙贏(yíng)．請用列表法或畫(huà)樹(shù)狀圖的方法說(shuō)明這個(gè)游戲對甲、乙兩人是否公平．
考點(diǎn) 1 1 、概率
例 1、解：因為四個(gè)選項中的轉盤(pán)均被均分為 4 份，所以哪個(gè)選項中紅色區域份數最多，指針落在紅色區域的可能性就越大，四個(gè)選項中 D 中共有 3 份，故指針落在紅色區域的可能性最大，故選 D．
變式 1、解：因為轉盤(pán)被平均分為 8 份，黃色為 2 份，紅色為 3 份，綠色為 3 份， 所以轉動(dòng)這個(gè)轉盤(pán)后轉出可能性最小的顏色是黃色．故選：B． 變式 2、解：A、∵布袋中有大小一樣的 3 個(gè)白球和 2 個(gè)黑球，從袋中任意摸出 1 個(gè)球， ∴摸出的球不一定是白球，故此選項錯誤；B、∵布袋中有大小一樣的 3 個(gè)白球和 2 個(gè)黑球，從袋中任意摸出 1 個(gè)球，∴摸出的球不一定是黑球，故此選項錯誤；C、摸出的球是白球的可能性大，正確；D、摸出的球是黑球的可能性小于白球的可能性，故此選項錯誤．故選：C． 例 2、解：∵有 5 張撲克牌，從中隨機抽取一張，點(diǎn)數為偶數的有 3 種情況， ∴從中隨機抽取一張，點(diǎn)數為偶數的概率是 ，故選：C． 變式 1、解：∵一個(gè)十字路口的交通信號燈每分鐘紅燈亮 30 秒，綠燈亮 25 秒，黃燈亮 5 秒，∴你抬頭看信號燈時(shí)是綠燈的概率是：
= ．故選 C． 變式 2、解：因為一副撲克牌，去掉大小王，一共還有 52 張，A 有四張，所以恰好抽到的牌是 K的概率是：
= ．故選：C． 例 3、解：∵擲兩枚硬幣，所有等可能的結果有：正正，正反，反正，反反， 又∵一枚硬幣正面朝上，一枚硬幣反面朝上的有 2 種情況， ∴一枚硬幣正面朝上，一枚硬幣反面朝上的概率是：
= ．故選 C． 變式 1、解：∵從長(cháng)度分別為 2，4，6，8 的四條線(xiàn)段中任選三條作邊，等可能的結果有：2，4，參考答案 【考點(diǎn)突破】
6； 2，4，8；
2，6，8；
4，6，8；其中能構成三角形的只有 4，6，8； ∴能構成三角形的概率為：
?。蔬x C． 例 4、解：根據題意畫(huà)圖如下：
因為一共有 6 種情況，兩次都摸到黑球的有 2 種情況，所以?xún)纱味济胶谇虻母怕适?= ．故選B． 變式 1、解：畫(huà)樹(shù)狀圖得：
∵共有 20 種等可能的結果，取到的是一個(gè)紅球、一個(gè)白球的有 12 種情況， ∴取到的是一個(gè)紅球、一個(gè)白球的概率為：
= ．故選 C． 變式 2、解：樹(shù)狀圖如圖所示：
共有 12 種等可能的結果，顏色相同的有 2 種情形，故小賴(lài)抽出的兩顆球顏色相同的機率= = ；故選：B． 例 5、解：用字母 A 表示芝麻餡，字母表示豆沙餡， 畫(huà)樹(shù)狀圖：
共有 6 種等可能的結果數，其中月餅都是豆沙餡的結果數為 2，
所以月餅都是豆沙餡的概率= = ． 變式 1、解：（1）從中任取一個(gè)球，球上的漢字剛好是“書(shū)”的概率= ； （2）畫(huà)樹(shù)狀圖為：
共有 12 種等可能的結果數，其中取出的兩個(gè)球上的漢字能組成“昌平”的結果數為 2， 所以取出的兩個(gè)球上的漢字能組成“昌平”的概率═ = ． 變式 2、解：（1）如圖所示：
?。t，紅），（紅，黃），（紅，綠），（黃，紅），（黃，黃）， （黃，綠），（綠，紅），（綠，黃），（綠，綠）
共 9 種情況； （2）P（甲獲勝）= = ，
P（乙獲勝）= ， P（甲獲勝）＞P（乙獲勝）， 所以游戲不公平． 例 6、解：∵種子粒數 3000 粒時(shí)，種子發(fā)芽的頻率趨近于 0.95， ∴估計種子發(fā)芽的概率為 0.95．故選 C． 變式 1、解：∵通過(guò)大量重復試驗后發(fā)現，摸到紅球的頻率穩定于 0.4，∴ =0.4， 解得：n=10．故選 A． 考點(diǎn) 2 2 、統計與概率在實(shí)際生活的應用
例 1、解：（1）根據題意得：調查的 4 個(gè)班征集到作品數為：5÷ =12，B 班作品的件數為：
12﹣2﹣5﹣2=3．如圖：
?。?）∵美術(shù)社團所調查的四個(gè)班平均每個(gè)班征集作品是：12÷4=3（件）， ∴全校共征集到的作品：3×14=42（件）； （3）列表如下：
男 1 男 2 男 3 女 1 女 2 男 1
男 1 男 2 男 1 男 3 男 1 女 1 男 1 女 2 男 2 男 2 男 1
男 2 男 3 男 2 女 1 男 2 女 2 男 3 男 3 男 1 男 3 男 2
男 3 女 1 男 3 女 2 女 1 女 1 男 1 女 1 男 2 女 1 男 3
...
