理解數學(xué)·理解學(xué)生·理解教學(xué)

李現勇

摘? 要：在“圓錐曲線(xiàn)”復習課的教學(xué)過(guò)程中，執教教師對《普通高中數學(xué)課程標準（2017年版2020年修訂）》的要求把握準確，對教材和教學(xué)內容理解深刻，對學(xué)情分析恰當. 在教學(xué)中，通過(guò)任務(wù)驅動(dòng)，引領(lǐng)學(xué)生經(jīng)歷了數學(xué)復習課的研究路徑；
通過(guò)橫縱對比、由此及彼，引導學(xué)生參與了提煉數學(xué)思想方法的完整過(guò)程；
通過(guò)對精選習題的分析和解決，幫助學(xué)生從多個(gè)角度建構了圓錐曲線(xiàn)的內在關(guān)聯(lián)，促進(jìn)了學(xué)生數學(xué)思維的提升.

關(guān)鍵詞：圓錐曲線(xiàn)；
理解數學(xué)；
數學(xué)思維

課程改革背景下，我們越來(lái)越重視對學(xué)生進(jìn)行學(xué)法指導，要教會(huì )學(xué)生學(xué)習需要一個(gè)抓手，而這個(gè)抓手可以是新授課，也可以是復習課. 筆者認為，復習課中的“復”不是簡(jiǎn)單的重復，而是復盤(pán)，回首來(lái)時(shí)路，明晰下一步的學(xué)習方向；
“習”則是進(jìn)一步學(xué)習，也是養成好的習慣，是一種方法的指引.

復習課到底該如何授課？“圓錐曲線(xiàn)”復習課給我們做了一個(gè)很好的示范. 復習課不僅要鞏固舊知、查漏補缺，更重要的是要基于對已有知識的回顧，幫助學(xué)生通過(guò)梳理、歸納建立結構化的知識體系，提煉具有普適性的學(xué)習方法，使學(xué)生能在不同的情境下進(jìn)行遷移運用，從而發(fā)展數學(xué)思維，形成數學(xué)能力.

本節課中，執教教師對《普通高中數學(xué)課程標準（2017年版2020年修訂）》的要求把握準確，對教材和教學(xué)內容理解深刻，對學(xué)情分析恰當，課堂教學(xué)活動(dòng)設計合理有序，教學(xué)實(shí)施過(guò)程流暢自然，課堂評價(jià)適時(shí)、用心. 在教學(xué)中，執教教師通過(guò)任務(wù)驅動(dòng)引領(lǐng)學(xué)生經(jīng)歷了數學(xué)復習課的研究路徑；
通過(guò)橫縱對比、由此及彼，引導學(xué)生參與了提煉數學(xué)思想方法的完整過(guò)程；
通過(guò)對精選習題的分析和解決，幫助學(xué)生從多種角度建構了圓錐曲線(xiàn)的內在關(guān)聯(lián)，促進(jìn)了學(xué)生數學(xué)思維的提升. 整節課中，師生配合默契，學(xué)生在愉悅的課堂氣氛中積累了數學(xué)學(xué)習的經(jīng)驗，感悟了數學(xué)智慧、數學(xué)美和數學(xué)精神，發(fā)展了邏輯推理、數學(xué)運算、直觀(guān)想象和數學(xué)抽象等素養.

執教教師的教學(xué)設計做到了理解數學(xué)、理解學(xué)生、理解教學(xué)，從呈現的精彩課堂教學(xué)中，可以看出其對教學(xué)內容進(jìn)行了深入的研究. 深入帶來(lái)深刻，執教教師關(guān)注了教材內容及知識間的前后聯(lián)系，關(guān)注了學(xué)生接受和理解的程度，關(guān)注了學(xué)生的變化與成長(cháng)，關(guān)注了知識之外的思想方法的教學(xué)，也關(guān)注了數學(xué)學(xué)科的育人價(jià)值.

一、理解數學(xué)

數學(xué)是一門(mén)科學(xué)，數學(xué)思維、數學(xué)抽象、邏輯推理等都是數學(xué)所特有的本質(zhì)，數學(xué)是有價(jià)值的、自然的、抽象的.

1. 研讀教材，關(guān)注教材內容的前后聯(lián)系，理解數學(xué)是有價(jià)值的

教材是數學(xué)知識和數學(xué)思想方法的重要載體，圓錐曲線(xiàn)是高中解析幾何部分的核心內容，是一類(lèi)重要的數學(xué)模型，其研究方法充分體現了解析幾何的基本思想. 圓錐曲線(xiàn)中包含了豐富的數學(xué)文化的內容，是進(jìn)一步培養學(xué)生對數學(xué)的內在興趣和科學(xué)精神的良好載體. 以幾何中的“距離”為紐帶，以代數中的“運算”為方法，通過(guò)“運算中的不變性”發(fā)現圓錐曲線(xiàn)的幾何特征，給出圓錐曲線(xiàn)的定義. 圓錐曲線(xiàn)的“個(gè)性定義”幾何特征突出，而統一定義能兼顧“個(gè)性”與“共性”，能表明橢圓、雙曲線(xiàn)和拋物線(xiàn)之間的內在聯(lián)系. 對圓錐曲線(xiàn)性質(zhì)的研究先直觀(guān)感知，再用方程進(jìn)行論證，有利于培養學(xué)生的理性思維. 從教學(xué)設計中可以看出，執教教師把握了教學(xué)內容的本質(zhì)，深刻認識了本單元的教學(xué)內容和本節課承載的重要價(jià)值.

2. 創(chuàng )設情境，以重溫名稱(chēng)來(lái)源引出教學(xué)主題，理解數學(xué)是自然的

本節課伊始，執教教師引用了數學(xué)家梅內克繆斯沖擊數學(xué)難題時(shí)的發(fā)現，引出橢圓、雙曲線(xiàn)和拋物線(xiàn)本是同源，這是圓錐曲線(xiàn)的起源. 接著(zhù)提出本節課的教學(xué)主題，即回顧、總結、提煉橢圓、雙曲線(xiàn)和拋物線(xiàn)的共性，這樣的情境貼近學(xué)生思維的最近發(fā)展區，讓學(xué)生一開(kāi)始就能自然地融入本節課的學(xué)習中去.

3. 數學(xué)方法，重在提煉歸納的過(guò)程，理解數學(xué)是抽象的

這節課最大的難點(diǎn)就是引導學(xué)生更深層、更有高度地總結圓錐曲線(xiàn)的共性，提煉橢圓、雙曲線(xiàn)和拋物線(xiàn)共同的研究方法，找出研究解析幾何的普適方法. 執教教師以豐富的具體內容和實(shí)例作為支撐，設置了多步臺階，通過(guò)設置的問(wèn)題和追問(wèn)，激發(fā)學(xué)生進(jìn)行數學(xué)抽象和歸納，使學(xué)生完整經(jīng)歷了從特殊到一般、從具體到抽象的數學(xué)方法的提煉過(guò)程.

二、理解學(xué)生

1. 關(guān)注“雙基”，以學(xué)定教，理解學(xué)生是課堂主體

本節課從知識的回顧到方法的提煉再到問(wèn)題的解決和反思總結，執教教師都做到了立足學(xué)生的基礎，結合教學(xué)目標，以學(xué)生為本，放手讓學(xué)生探究. 整節課任務(wù)的展示、研究方法的提煉、問(wèn)題的解決都盡可能讓學(xué)生參與，調動(dòng)學(xué)生學(xué)習的主動(dòng)性和積極性，做到了尊重學(xué)生的主體地位，實(shí)現了設定的教學(xué)目標. 從整節課中學(xué)生的展示可以看出，授課班級學(xué)生有良好的表達和學(xué)習習慣，數學(xué)素養水平整體較好.

2. 關(guān)注差異，因材施教，理解學(xué)生的個(gè)體差異

本節課中，對圓錐曲線(xiàn)及直線(xiàn)和圓等幾何圖形的研究方法的提煉，使學(xué)生獲得對解析幾何基本思想的認識，是教學(xué)的難點(diǎn). 執教教師充分理解和尊重學(xué)生的個(gè)體差異，讓學(xué)生相互補充、完善方法的歸納. 在最后的作業(yè)布置上，執教教師設置可供自主選擇的題目，讓不同層次的學(xué)生都能獲得鍛煉和提升.

三、理解教學(xué)

孔子有言：“教，上所施，下所效也.”教學(xué)要做到教師主導，引導學(xué)生主動(dòng)參與課堂教學(xué)，使得課堂教學(xué)有新意、有創(chuàng )意、有深意. 有新意，就是要突破學(xué)生的認知，超出他們的預期；
有創(chuàng )意，就是要讓課堂有挑戰，探究有價(jià)值；
有深意，就是要體會(huì )數學(xué)所帶來(lái)的驚喜，感受數學(xué)的教育魅力.

1. 精心設置教學(xué)環(huán)節，使課堂教學(xué)有新意

自主學(xué)習不能放任自流、漫無(wú)邊際，應該是教師指導下的自主. 學(xué)生的自主，要有規則、有要求、有方法、有落實(shí). 本節課中，執教教師設置了7個(gè)教學(xué)環(huán)節，環(huán)環(huán)相扣. 特別是精心設計的自主復習提綱，很有新意，自主復習提綱中共設置5個(gè)問(wèn)題：（1）簡(jiǎn)述橢圓、雙曲線(xiàn)和拋物線(xiàn)的主要內容；
（2）簡(jiǎn)述橢圓、雙曲線(xiàn)和拋物線(xiàn)各自采用的研究方法；
（3）簡(jiǎn)述橢圓、雙曲線(xiàn)和拋物線(xiàn)在研究方法上的共同點(diǎn)；
（4）簡(jiǎn)述圓錐曲線(xiàn)和直線(xiàn)與圓在研究方法上的共性；
（5）簡(jiǎn)述解析幾何問(wèn)題研究的基本思想. 學(xué)習的本質(zhì)不在于記住了哪些知識，而在于它觸發(fā)了你的思考. 執教教師通過(guò)這5個(gè)問(wèn)題，引導學(xué)生學(xué)會(huì )自主復習，激發(fā)學(xué)生進(jìn)一步思考，讓自主復習成為一種良好的學(xué)習習慣.

在知識回顧總結和方法歸納概括環(huán)節，設置展示交流活動(dòng)，引導學(xué)生梳理、展示、交流、比較、總結、聯(lián)系、概括已有知識. 從學(xué)生已有的認知出發(fā)，給學(xué)生提供了課堂參與的機會(huì )和自我領(lǐng)悟的空間，讓學(xué)生在自主學(xué)習、展示交流、相互促進(jìn)中深入理解知識及其中蘊含的思想方法，突破了學(xué)生的原有認知，提升了學(xué)生的認知層次.

2. 精心設計數學(xué)問(wèn)題，使課堂教學(xué)有創(chuàng )意

我們見(jiàn)過(guò)很多復習課，以題為主，學(xué)生雖然進(jìn)行了大量的習題訓練，但收效甚微. 題不在多而在精. 本節課中，執教教師只選擇了兩道例題，可謂精心之選.

例1? 已知直線(xiàn)l和橢圓C交于A(yíng)，B兩點(diǎn)，定點(diǎn)M2，0，……

（1）∠AMO=∠BMO，]求……

（2）AM⊥BM，?求……

試把以上兩個(gè)幾何條件分別轉化為代數表達.

例1要求學(xué)生由已知題目中的幾何特征提煉其幾何意義，進(jìn)而進(jìn)行代數表達，這個(gè)題目屬于基礎題，學(xué)生通過(guò)此題，再次體會(huì )將幾何特征進(jìn)行準確代數表達的方法，教學(xué)思路簡(jiǎn)明清晰.

例2? 已知A，B為兩個(gè)定點(diǎn)，AB=2，?動(dòng)點(diǎn)P滿(mǎn)足PA · PB=1，?求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程，并畫(huà)出圖形.

相較于例1，例2以卡西尼卵形線(xiàn)為背景，提出新問(wèn)題，需要學(xué)生應用課堂中提煉出的思想方法加以解決. 對這種沒(méi)見(jiàn)過(guò)但又不是很陌生的題目的解決，可以讓理論落地，讓解析幾何的思想方法進(jìn)一步得到實(shí)踐. 問(wèn)題探究充滿(mǎn)挑戰，課堂教學(xué)也就很有創(chuàng )意.

3. 課堂適時(shí)評價(jià)點(diǎn)撥，使課堂教學(xué)有深意

當學(xué)生某個(gè)瞬間的好行為、好想法被教師發(fā)現并獲得肯定后，其就會(huì )在肯定中被激勵，好的習慣就會(huì )在激勵中被傳播，并在傳播中影響班級中的每名學(xué)生. 這就是評價(jià)帶來(lái)的影響，也是教育的魅力. 本節課的教學(xué)中，執教教師善于使用評價(jià)，其在學(xué)生上臺展示后會(huì )給出恰當、親切、真誠的評價(jià). 例如，“你課前準備得很好，內容詳細、全面整齊，有一定的自主復習能力，講解大方，清楚流利”“這位同學(xué)講得很好，大家回答得也很好，看到大家這樣相互促進(jìn)，老師很開(kāi)心”“表格的方式更直觀(guān)清晰，箭頭的使用更清楚”. 這樣真誠的評價(jià)可以促進(jìn)學(xué)生的思考，激勵學(xué)生不斷進(jìn)步.

恰當的點(diǎn)撥如同點(diǎn)睛之筆，既給人情理之中的滿(mǎn)足，又給人意料之外的驚喜. 在本節課的教學(xué)中，執教教師采用適時(shí)點(diǎn)撥的教學(xué)方式，讓學(xué)生在對知識獲得深刻認識的同時(shí)，使理解更有深意. 數學(xué)中的那種豁然開(kāi)朗，本質(zhì)上就是因深刻認識事物而產(chǎn)生的快樂(lè ). 例如，“善于提問(wèn)也是一種學(xué)習方法”“大道至簡(jiǎn)”“這是一種統一美”“這是一種結構美”“這是一種邏輯美”“翻譯很重要，把幾何語(yǔ)言翻譯成代數語(yǔ)言，正因為有了文學(xué)語(yǔ)言的翻譯，才能讓世界了解我們中國燦爛輝煌的文化，也正是因為數學(xué)語(yǔ)言的翻譯，才讓人們更深刻地去認識自然規律，進(jìn)而促進(jìn)科技的發(fā)展”這樣恰到好處直抵人心的點(diǎn)撥，體現了執教教師深厚的知識底蘊，又給學(xué)生呈現了更廣闊的思維天地，同時(shí)會(huì )帶給學(xué)生驚喜和感動(dòng).

此外，執教教師非常注重數學(xué)文化和數學(xué)精神的滲透，通過(guò)介紹數學(xué)家梅內克繆斯、笛卡兒、卡西尼引導學(xué)生追求真理、勇于創(chuàng )新. 在總結環(huán)節，從數學(xué)智慧，到數學(xué)之美，到數學(xué)精神，再到自我成長(cháng)，引導學(xué)生回歸自身. 教育的本質(zhì)是自我教育，學(xué)習的本質(zhì)是自我學(xué)習. 這就是有光的課堂，這就是有潤澤的課堂，也是能給學(xué)生帶去深遠影響的課堂.

四、優(yōu)化建議

整節課中，學(xué)生集體回答的次數偏多. 建議執教教師根據復習內容，多設置些開(kāi)放探究性問(wèn)題，提升設計問(wèn)題的思維含量. 當學(xué)生面對挑戰時(shí)，教師要舍得留出時(shí)間，讓學(xué)生深度思考，在生生碰撞、師生碰撞的過(guò)程中，不斷暴露學(xué)生的想法，激發(fā)學(xué)生參與課堂的積極性，使學(xué)生在合作探究中解決問(wèn)題，培養學(xué)生的高階思維，提升學(xué)生深度學(xué)習的能力，發(fā)展學(xué)生的數學(xué)核心素養.

參考文獻：

［1］中華人民共和國教育部. 普通高中數學(xué)課程標準（2017年版2020年修訂）［M］. 北京：人民教育出版社，2020.

［2］史寧中，王尚志.《普通高中數學(xué)課程標準（2017年版2020年修訂）》解讀［M］. 北京：高等教育出版社，2020.