摘 要：空調壓縮機的電機堵轉時(shí)會(huì )產(chǎn)生較大的電流，使其部件過(guò)熱。為了保護電機，一般采用雙金屬片式保護器，但保護器的規格與壓縮機的規格是否匹配需要進(jìn)行工程試驗。本研究中，通過(guò)建立工程空調用壓縮機內部溫度的數學(xué)模型，利用Visual Basic語(yǔ)言編寫(xiě)程序，采用計算機仿真，使得電機熱保護器（雙金屬片保護器）與電機規格相匹配。使用該方法，不僅縮短了以往工程試驗的時(shí)間，而且到達了節省能源的目的。
關(guān)鍵詞：電機 溫度 熱保護器 數學(xué)模型
電機在運行中不可避免地產(chǎn)生能量損耗，電機產(chǎn)生的損耗最終轉變成熱能，使其部件發(fā)熱。因此，電機發(fā)熱是影響壓縮機絕緣壽命的主要因素。有關(guān)資料表明，繞組故障約占電機故障的90%，而繞組的損壞又以堵轉、過(guò)載、斷相為主。電機熱保護器恰好能對上述的幾方面起到有效的保護。目前，普遍采用的熱保護器為雙金屬片式保護器，但保護器的規格是否與電機的規格相匹配，需要進(jìn)行試驗。一般要求壓縮機（電機）在一定的電壓和堵轉電流下，連續試驗15d，殼體溫度不能超過(guò)規定溫度。試驗期間，需要對壓縮機（電機）的試驗電壓、堵轉電流、殼體溫度、內部溫度等進(jìn)行人工檢測，無(wú)疑是一項枯燥而繁瑣的工作，而且就試驗的安全性而言，也是不可靠的。為此，作者通過(guò)建立空調壓縮機內部溫度的教學(xué)模型，采用計算機進(jìn)行仿真，得到電機熱保護器（雙金屬片保護器）與壓縮機規格是否匹配的試驗結果。
一、電機的熱保護
1.電機的發(fā)熱和冷卻。凡是載流的導體在常態(tài)下都會(huì )因自身導電回路的材料性質(zhì)及結構特征而承受不同程度的電流熱效應。任何導電構件（觸頭、母線(xiàn)、線(xiàn)圈等）都因有電阻而產(chǎn)生熱損耗，其周?chē)蔫F磁體都會(huì )在交變磁場(chǎng)的作用下產(chǎn)生渦流和磁滯損耗，支撐導體的絕緣介質(zhì)在強電場(chǎng)的作用下有介質(zhì)損耗，這些都是造成溫度升高的熱源。假設電機繞組是一個(gè)均勻發(fā)熱體。損耗的存在使得電機發(fā)熱，電機的溫度與環(huán)境溫度之差稱(chēng)為溫升，用θ表示。溫升的存在又會(huì )使電機散熱。當電機的發(fā)熱量等于其散熱量的時(shí)候，溫升達到穩定。設電機在單位時(shí)間內產(chǎn)生的熱量為Q，電機熱容量為C，電機散熱系數為A（這里的散熱系數為繞組導體的綜合散熱系數）。電機在dt時(shí)間內產(chǎn)生的熱量為Qdt。其中被電機吸收，使其溫升變化為dθ的部分為Cdθ；散發(fā)至周?chē)h(huán)境中的部分為Aθdt。由此得到電機的熱平衡方程式為Cdθ+Aθdt=Qdt，（1）式（1）兩邊除以Adt后得到的微分方程。（2）這是一階線(xiàn)性非齊次常微分方程，解式（2）得電機溫升隨時(shí)間變化的規律為θ=θs+（θi -θs），（3）式中：θi為電機的初始溫升；θs =Q/A為電機的穩定溫升，其值取決于負載的大??；=C/A是電機的發(fā)熱和冷卻時(shí)間常數。當θs>θi時(shí)，電機處于發(fā)熱過(guò)程，溫升θ隨時(shí)間t的規律如圖1所示；當θs<θi時(shí)，電機處于冷卻過(guò)程，溫升隨時(shí)間t的規律如圖2所示。
從圖1、圖2可見(jiàn)，電機無(wú)論是發(fā)熱還是冷卻，溫升θ都隨時(shí)間按指數規律變化。發(fā)熱和冷卻的快慢與電機的常數有關(guān)，越大，發(fā)熱或冷卻得越慢。從理論上講，需經(jīng)過(guò)無(wú)窮大時(shí)間溫升才能穩定。但工程上只要t≥3時(shí)，即可認為溫升已經(jīng)穩定。
1.2雙金屬片熱保護器的工作原理
雙金屬片熱保護器是由熱元件和雙金屬片等組成，如同3所示。它由兩種不同膨脹系數的金屬片焊接而成，其中膨脹系數較大的金屬片貼近熱元件。雙金屬片一端固定，另一端處于自由狀態(tài)。當熱元件由于間接加熱或直接通電流加熱時(shí)，將熱能傳遞給雙金屬片，雙金屬片受熱后溫度升高。由于兩種金屬片膨脹系數不同，結合面的伸長(cháng)要相同，迫使雙金屬片向著(zhù)膨脹系數較小的一側彎曲。雙金屬片彎曲時(shí)產(chǎn)生作用力，作用于脫扣桿的鉤子上，使之脫扣，自動(dòng)開(kāi)關(guān)斷開(kāi)，即可保護電器設備不因過(guò)載而損壞。雙金屬片彎曲時(shí)，作用于脫扣機構的動(dòng)作時(shí)間與過(guò)載電流大小有關(guān)：電流大，動(dòng)作時(shí)間就短。
由此可見(jiàn)，電機熱保護器工作時(shí)的重要參數有開(kāi)斷的平均時(shí)間、環(huán)境溫度及在次溫度下的電流和臨界脫扣電流等。圖4位熱保護器開(kāi)斷的平均時(shí)間與25℃環(huán)境溫度下電流的關(guān)系。圖5位臨界脫扣電流與保護器環(huán)境溫度的關(guān)系。
二、建立數學(xué)模型
如果將熱保護器看作是一個(gè)單獨的受熱體，又與電機繞組是串聯(lián)安裝的，那么在正常工作的時(shí)候，流過(guò)電機繞組的電流等于熱保護器的工作電流。熱保護器的工作電流流過(guò)熱元件和雙金屬片，同樣會(huì )產(chǎn)生熱損耗，可以將熱元件和雙金屬片看作是電阻。這樣，在一個(gè)相對獨立的環(huán)境下（環(huán)境溫度為電機繞組溫度）進(jìn)行熱平衡計算。
在熱保護器這個(gè)相對獨立的單元中，熱保護器有無(wú)限大的熱傳導系數，物體內部各溫度點(diǎn)在瞬時(shí)值上保持相等，其表面散熱的速度也相同。某一段時(shí)間內熱保護器工作產(chǎn)生熱量，一部分通過(guò)表面散失到空氣中，另一部分則變成熱保護器內部自身的溫升。
設熱元件和雙金屬片的發(fā)熱功率為Rac，未通電前的溫度應等于周?chē)h(huán)境溫暖，其通電后的穩態(tài)溫升基本為定值，此時(shí)發(fā)熱功率P全部由熱流q向外散發(fā)。但此前的溫升過(guò)程中，尤其是升溫初期，發(fā)熱功率首先用于熱保護器自身溫度的升高，溫度高于環(huán)境溫度以后即開(kāi)始向外散熱。在這一過(guò)程中，電流在熱保護器中產(chǎn)生的熱量P等于其蓄熱加散熱。假定升溫過(guò)程電流I和電阻Rac都是定值，其通電開(kāi)始作為計時(shí)的起點(diǎn)，且在時(shí)間增量dt內有溫度增量dT、溫升增量dτ，那么熱平衡方程為Pdt=cGdτ+KsSτdt，τs（4）
其中：P為發(fā)熱功率（W）；c為比熱容[KJ/（kg·K）]；G為導體本身的重量（g）；Ks為導體的綜合散熱系數；S為散熱表面積（m2）；τ為導體的溫升（℃）；t為電流通過(guò)的時(shí)間（s）。式（4）即為常系數一階微分方程：代入初始條件t=0時(shí)，可得該方程的解。如果在通電前，導體已經(jīng)具有某一初始溫升τ0，則可得到式（6）和式中： =P/（KsS）；T=。T是由熱保護器特性參數所確定的一個(gè)常量，有時(shí)間的量綱；τ0為通電前熱保護器溫度，可以看作環(huán)境溫度。式（6）可用圖1表示，它是一個(gè)指數上升曲線(xiàn)。剛開(kāi)始時(shí)導體溫度增長(cháng)的很快，這是因為導體相對于環(huán)境的溫差小，熱損失??；之后由于溫差不斷增大，導體溫升的速度越來(lái)越慢。
當熱保護器斷電后，開(kāi)始向空氣中散熱，根據式（4）可得熱保護器的散熱公式為作為電機的熱保護器，有兩個(gè)重要的參數就是斷開(kāi)溫度Topen和閉合溫度（即復位溫度）Tclosed。根據式（6）知，熱保護器的溫度呈指數上升，當溫度上升到斷開(kāi)溫度時(shí)，即時(shí)，熱保護器工作，斷開(kāi)電路，此時(shí)電機回路也形成開(kāi)路。由式（8）可知，熱保護器斷電后，溫度隨時(shí)間按指數規律下降，冷卻曲線(xiàn)就是發(fā)熱曲線(xiàn)的鏡像。此時(shí)為電路斷開(kāi)時(shí)的瞬時(shí)溫度。當溫度下降到閉合溫度時(shí)，即時(shí)，熱保護器動(dòng)作，接通電路，使原本開(kāi)路的電路形成回路。這樣，熱保護器又回到加熱狀態(tài)，溫度值可以根據式（7）計算，此時(shí)0為電路閉合時(shí)的瞬時(shí)溫度。如此循環(huán)往復，直到達到電機和環(huán)境溫度的熱平衡值w。
模型實(shí)現過(guò)程如下：
1）繞組與熱保護器電阻發(fā)熱功率的計算：
P直流=P直流
其中：為附加損耗系數，且，為集膚系數，為臨近系數。在實(shí)際測試中，由于繞組和熱保護器的熱元件都為標準形狀的物理體，則附加的熱損耗系數可以忽略不計，電阻可用下式計算：R=R0（1+αωθ），其中：R0為0℃時(shí)的電阻（實(shí)際情況中可以取室溫20～30℃）；αω為0℃時(shí)的電阻系數（銅為0.0043）；θ為溫度。
令電機繞組的電阻為R1，熱保護器的電阻為R2，則R1=R01（1+αω1θ），R2=R02（1+αω2θ）。
2）電機和熱保護器的電阻關(guān)系。
將保護器中的電阻看作繞組的一部分，這樣在繞組通電的同時(shí)，熱保護器的電阻也以相同的電流通過(guò)。即總電阻R= R1+ R2。
3）發(fā)熱功率的分配。
在實(shí)際的匹配試驗中，設輸入的電壓為U，電機繞組的發(fā)熱功率為P1，熱保護器的發(fā)熱功率為P2，則P1=（）2 R1，P2=（）2 R2，
4）溫升與散熱的計算： 溫升=（1-）+， 散熱=。
5）整體的數學(xué)模型。
在計算保護器散熱溫度的時(shí)候，將雙金屬片和保護器的內部溫度看作是一個(gè)整體，這樣周?chē)沫h(huán)境溫度為繞組周?chē)諝獾臏囟?。此時(shí)，利用雙金屬片的溫升公式，在0～t1時(shí)間段內，電機的溫度曲線(xiàn)為T(mén)1=τ1=τw（）+τ0，
熱保護器的溫度曲線(xiàn)與電機的溫度曲線(xiàn)一樣，呈指數上升的趨勢；
當t=t1時(shí)，熱保護器的溫度達到保護器的斷開(kāi)溫度，從t1時(shí)刻起，電機的溫度曲線(xiàn)為T(mén)2=τ2=（τw-τ1），熱保護器的溫度曲線(xiàn)也同電機一樣，呈指數下降；當t=t2時(shí)，熱保護器的溫度達到保護器的接觸溫度，從t2時(shí)刻起，電機的溫度曲線(xiàn)為T(mén)3=τ3=τw（）+τ2，熱保護器的溫度曲線(xiàn)同樣改為和電機一樣的加熱曲線(xiàn)，呈指數上升；當t=t3時(shí)，熱保護器的溫度達到保護器的接觸溫度，從t3時(shí)刻起，電機的溫度曲線(xiàn)為T(mén)4=τ4=τw（τw-τ3），熱保護器的溫度曲線(xiàn)同t1時(shí)，呈指數下降。綜上所述，電機和熱保護器循環(huán)改變溫度曲線(xiàn)，兩者的初始溫度分別為兩者改變曲線(xiàn)時(shí)的瞬間溫度，于是總結出電機的溫度公式：
從t=t2n-1時(shí)刻起，Tn=τn=（τw-τn-1）；從t=t2n-1時(shí)刻起，Tn=τn=τw（）+τn-1；
三、計算機仿真
根據本研究中設計的數學(xué)模型，結合Visual Basic的語(yǔ)言特點(diǎn)編寫(xiě)適當的應用程序。
1.用戶(hù)錄入數據界面。如圖6所示，用戶(hù)可以通過(guò)選擇列出的電機繞組材料中的某一項，程序就可以自動(dòng)生成繞組的電阻溫度系數αw、繞組材料的比熱容c等具體的參數；用戶(hù)在文本框中輸入的字符串信息在程序中可以利用VB中的val（）函數來(lái)進(jìn)行轉換；兩個(gè)按鈕控件，點(diǎn)擊“確定”按鈕，進(jìn)行下一步的內容，點(diǎn)擊“取消”按鈕，退出當前的程序界面。
2.計算機仿真。本實(shí)驗中選擇電機的特性：繞組材料為黃銅，0℃時(shí)的繞組電阻為45Ω，繞組質(zhì)量為3000g，散熱面積為1.2m2。選擇保護器的參數設定：材料A為Ni-Mo-Cu，比熱容為0.235KJ/（kg·K），質(zhì)量為80g，散熱面積為0.0015 m2，綜合散熱系數為10，電阻溫度系數為0.0041；材料B為Ni-Fe，比熱容為0.433 KJ/（kg·K），保護器電阻為5Ω，斷開(kāi)溫度為120℃，閉合溫度為90℃。試驗時(shí)電機輸入的電壓為380V，環(huán)境溫度為26℃。將這些參數輸入到參數輸入潔面后（圖6），點(diǎn)擊“確定”按鈕，得到計算機的仿真圖像見(jiàn)圖7。
在圖7中有兩個(gè)重要的點(diǎn)：1點(diǎn)是熱保護器第一次斷開(kāi)時(shí)電機的溫度；2點(diǎn)是電機最后達到熱平衡時(shí)的溫度。由前述可知，電機的溫升曲線(xiàn)為指數上升，所以只要知道熱保護器第一次斷開(kāi)時(shí)的溫度和最后的熱平衡溫度是否超出規定的絕緣等級所確定的最大允許溫度，便知電機與熱保護器是否匹配。
四、結語(yǔ)
本研究中，作者通過(guò)建立壓縮機內部溫度的數學(xué)模型，將電機的熱保護器與電機的匹配試驗采用計算機進(jìn)行仿真。將由人來(lái)檢測的壓縮機（電機）的試驗電壓、堵轉電流、殼體溫度、內部溫度等一系列枯燥而繁瑣的工作由計算機來(lái)完成。這樣既安全，又提高了工作效率，還能達到節能的目的。
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作者簡(jiǎn)介：張寧（1985—），男，遼寧遼陽(yáng)人，現工作于遼寧建筑職業(yè)學(xué)院，講師。研究方向：暖通空調。
