朱 晟
(溫州大學(xué)數理學(xué)院，浙江 溫州 325035)
1986 年，Gage 在文獻[1]中研究了平面中的曲線(xiàn)收縮流，它會(huì )把平面中的凸曲線(xiàn)光滑地收縮為一個(gè)圓點(diǎn).研究曲線(xiàn)收縮流的方法為后續研究高維曲率流提供了基礎.近年來(lái)人們對曲線(xiàn)流在演化過(guò)程中保周長(cháng)和保面積的性質(zhì)進(jìn)行了探討，有相當多的論文發(fā)表，例如文獻[2-6]等.隨著(zhù)研究的不斷深入，很多學(xué)者做了一些保長(cháng)度和保面積之間的線(xiàn)性插值曲線(xiàn)流，例如文獻[7-10]等.
Tsai 等[5]介紹了兩種曲線(xiàn)流，即保長(cháng)度流
和保面積流
在此基礎上，本文考慮了一個(gè)線(xiàn)性插值流：
其中0 ≤λ≤ 1,α≥ 1.筆者研究推導了曲線(xiàn)流（3）下幾何量的發(fā)展方程，并證明了本文的主要定理，即曲率的高階導數的有界性.
本節列出了主要定理證明中所需的發(fā)展方程和基本結論，它們的證明都是直接的.曲線(xiàn)流方程中切向量部分只影響曲線(xiàn)的參數表示，因此方程（3）等價(jià)于下面的一般形式：
有如下的發(fā)展方程.
引理1 在曲線(xiàn)流（5）下，曲率k，面積A，周長(cháng)L滿(mǎn)足方程：
利用文獻[1]的方法進(jìn)行論證.為了敘述方便，引入以下的符號：
證明：首先利用演化方程（6）有：
做變量代換，令Wμkτ′
利用k′，k，A，L的有界性以及Peter-Paul 不等式，對等式（10）右邊的最后兩項進(jìn)行放縮，可得：
和
其中：
對于等式（10）右邊的第一項直接放縮得到：
對等式（11）右邊的最后四項進(jìn)行估計：
推論1 在區間[0,T) 上，k′有界.
證明：設f(x)在區間[a,b]上一階連續可導，則任意的x1,x2∈[a,b]，有：
令x2為f2(x)的最大值點(diǎn)，1x為f2(x)的最小值點(diǎn)，則：
將k′應用在不等式（13）中得到：
定理1 在區間[0,T)上，k(l),l≥ 3有界.
證明：先求k′對時(shí)間的導數，有：
利用引理3 類(lèi)似的方法，設W=?μτk′，得：
其中，
則可以證明k(l),l≥ 4在區間[0,T)有界.證畢.
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