考慮夾持效應的滑移式危巖三維穩定性計算方法

鄒 鵬，王思奇，羅 剛，趙永杰，李榮發(fā)

（1.西南交通大學(xué)地球科學(xué)與環(huán)境工程學(xué)院，四川成都 614202；
2.四川省國土空間生態(tài)修復與地質(zhì)災害防治研究院，四川成都 610084）

危巖體是受結構面圍限和空間力系作用的三維地質(zhì)體［1-3］。當危巖體兩側存在夾持作用以及結構面存在鎖固段（巖橋）時(shí)，傳統二維穩定性方法的計算結果存在一定的誤差。因此，可采用三維穩定性計算方法以更真實(shí)地反應其穩定性狀態(tài)。

國內外學(xué)者就邊坡三維穩定性計算方法開(kāi)展了大量研究。Hovland［4］最早提出運用三維條分法對邊坡進(jìn)行三維穩定性分析。Duncan［5］總結了24篇文獻的邊坡三維穩定計算方法，并對其計算方法和基本假定進(jìn)行了詳細描述?，F有方法可以大概分為以下6種：（1）三維Bishop法［6-8］，滿(mǎn)足滑坡條柱Y方向靜力和轉動(dòng)力矩平衡；
（2）三維Spencer法［9-11］，滿(mǎn)足滑坡條柱3個(gè)方向靜力和轉動(dòng)力矩平衡；
（3）三維Janbu法［12-13］，滿(mǎn)足滑坡條柱3個(gè)方向靜力和轉動(dòng)力矩平衡；
（4）三維Sarmar法［14-15］，滿(mǎn)足所有條塊分界面和底滑面均達到剪切極限；
（5）三維剩余推力法［16］，滿(mǎn)足滑坡條柱3個(gè)方向滿(mǎn)足靜力平衡；
（6）嚴格三維極限平衡法［17-18］，滿(mǎn)足滑坡條柱3個(gè)方向滿(mǎn)足靜力平衡。這些計算方法大多是條分法的三維拓展，即條柱法。由于條柱間未知作用力數量較多，為了使問(wèn)題靜定可解，條柱法引入不同的基本假定［9］，這些基本假定由于其不同的特性各有優(yōu)、缺點(diǎn)［19］。此外，不是所有條柱法都滿(mǎn)足6個(gè)平衡方程，即便是滿(mǎn)足6個(gè)平衡方程的嚴格三維極限平衡法［17］，其穩定性系數的解也并不唯一。對于巖質(zhì)邊坡被多組節理切割的情況，條柱法計算過(guò)程十分復雜。因此，條柱法的應用仍存在一定爭議。除條柱法外，還存在如概率分析法及數值模型分析等方法［20-22］，但這些方法均存在其不同的優(yōu)缺點(diǎn)，且需進(jìn)行復雜的計算。

文中基于空間解析幾何學(xué)和極限平衡法，同時(shí)可考慮各結構面上所有力對危巖體的影響，提出了一種可考慮周?chē)鷰r體夾持作用的滑移式危巖三維穩定性計算方法，為危巖體穩定性評價(jià)提供科學(xué)的計算方法。

1.1 規范方法

滑移式危巖體是一種常見(jiàn)的地質(zhì)災害，我國規范中一般采用將三維問(wèn)題簡(jiǎn)化為二維問(wèn)題的方式計算其穩定性。而對于楔形體滑塊《YS/T 5230-2019邊坡工程勘查規范》規定：對于巖質(zhì)邊坡被多組節理切割的情況，塊體穩定性應根據破壞的邊界條件，按空間問(wèn)題進(jìn)行分析［23］。比如，由兩組結構面切割形成潛在滑移楔形體（圖1），其可能沿結構面交線(xiàn)下滑，邊坡穩定系數按下式計算：

式中：NA、NB為潛在滑移體所受重力作用于A(yíng)、B結構面上的法向分力（kN）；
TAB為潛在滑移體所受重力在組合交線(xiàn)上的切向分力（kN）；
TA、TB為A、B結構面的面積（m2）；
cA、cB為A、B構面的黏聚力（kPa）；
φA、φB為A、B結構面上的內摩擦角（°）。

楔形體穩定性計算方法由于其計算過(guò)程簡(jiǎn)單而得到了廣泛的應用。但由于其只能計算天然和地震工況，無(wú)法計算降雨工況下楔形體的穩定性系數，所以該方法具有一定局限性。

當巖質(zhì)邊坡為斜向坡時(shí)（即底滑面傾向與坡面傾向斜交），危巖體存在視傾向滑動(dòng)可能［22］，危巖體將受到兩側巖體夾持作用。此外，背斜核部和逆沖斷層帶處的危巖體也可能受到兩側巖體夾持作用。根據危巖體空間幾何形狀，危巖體可分為3種情況：上大下小模型（圖2（a））、上小下大模型（圖2（b））和上下等大模型（圖2（c））。文中主要介紹上大下小模型的具體計算過(guò)程，其余兩種類(lèi)型可根據該過(guò)程依次類(lèi)推。

圖1 由兩組結構面切割形成潛在滑移楔形體Fig.1 Potential sliding block controlled by two sets of structural planes

圖2 危巖體模型Fig.2 Models of unstable rock mass

1.2 危巖體幾何模型

如圖3所示上大下小模型危巖體，假定危巖體受3組結構面切割而成，危巖體底部緩傾結構面傾角為θ，兩側陡傾結構面傾角為β1和β2。鎖固段（巖橋）由面BCPGF構成，裂隙面由面ABFE、面ABCD和面EFGH構成。面ADHE平行于面BCPGF并與水平面成θ角；
線(xiàn)段AE、CG、DH和BF均平行于水平面；
過(guò)BF中點(diǎn)O作垂線(xiàn)交CG于P點(diǎn)。對各結構面建立局部坐標系（表1）。

圖3 滑移式危巖體三維幾何模型Fig.3 Three-dimensional geometric model of unstable rock mass with a sliding plane

表1 結構面空間幾何形態(tài)參數Table 1 Spatial geometry parameters of structural planes

1.3 基本假定

考慮危巖體最不利條件，該模型的基本假設有：

（1）鎖固段巖石抗剪強度取巖石峰值粘聚力cf和峰值內摩擦角φf(shuō)，裂隙面抗剪強度取巖石殘余內摩擦角φr；

（2）面BCPGF、面EFGH、面ABCD、面ABFE均達到極限平衡狀態(tài)，滿(mǎn)足Mohr-Coulomb準則；

（3）由于兩側夾持效應，忽略側面和底面的轉動(dòng)作用，危巖體只沿底滑面的合力方向滑動(dòng)；

（4）假定結構面ABCD所受力的作用點(diǎn)為AB邊和BC邊中垂線(xiàn)的交點(diǎn)，結構面EFGH所受力的作用點(diǎn)為FE邊和FG邊中垂線(xiàn)的交點(diǎn)。

1.4 空間向量的等效變換

空間向量的等效變換可以看作是坐標系之間的變換，即將坐標系Φ1、Φ2先進(jìn)行轉軸變換再進(jìn)行移軸變換。該過(guò)程中所求得公式即為空間向量的變換公式。

（1）空間坐標系的轉軸變換

為了將坐標系Φ1中的向量變換至坐標系Φ0，需要補充2個(gè)輔助坐標系Φ11和Φ12（圖4）。坐標系Φ11（O1-x11y11z11）為坐標系Φ1繞x1軸順時(shí)針旋轉β1-π/2角度得到的坐標系（圖4（a）），坐標系Φ12（O1-x12y12z12）為坐標系Φ11繞z11軸逆時(shí)針旋轉δ1角度得到的坐標系（圖4（b））。坐標系Φ1和坐標系Φ11各坐標軸夾角，如表2所示，坐標系Φ11和坐標系Φ12中各坐標軸夾角，如表3所示。

圖4 坐標系Φ1、Φ11和Φ12空間幾何關(guān)系Fig.4 Spatial geometric relationship among the coordinate systems Φ1，Φ11 and Φ12

表2 坐標系Φ1坐標軸與坐標系Φ11坐標軸夾角Table 2 Angles between coordinate systems Φ1 and Φ11

表3 坐標系Φ11坐標軸與坐標系Φ12坐標軸夾角Table 3 Angles between coordinate systems Φ11 and Φ12

由表2可得從坐標系Φ1旋轉至坐標系Φ11的旋轉矩陣為：

由表3可得從坐標系Φ11旋轉至坐標系Φ12的旋轉矩陣為：

所以將坐標系Φ1中向量旋轉至與坐標系Φ0的旋轉矩陣為：

同理可得，將坐標系Φ2中向量旋轉至與坐標系Φ0坐標軸的旋轉矩陣為：

（2）空間坐標系的移軸變換

根據空間解析幾何，空間坐標系的移軸變換公式為：

式中：x、y、z為舊坐標系中坐標值；
x′、y′、z′為新坐標系中坐標值；
x0、y0、z0為新坐標系坐標原點(diǎn)在舊坐標系中的坐標值。

根據移軸式（6）求得O0點(diǎn)在坐標系Φ12和坐標系Φ22中的坐標值以及平移向量（表4）。

（3）空間向量的變換公式

由式（5）和式（6）可推導出空間向量的變換公式為：

表4 O0在坐標系Φ12和Φ22中坐標及平移向量Table 4 Coordinates of point O0 in coordinate systems Φ12 and Φ22 and translation vectors

1.5 天然工況下危巖體穩定性計算

天然工況下，只考慮重力作用，對危巖體進(jìn)行切割，將重力分配到各結構面對應的局部坐標系Φ1和Φ2，進(jìn)行受力分析并用空間向量表示（圖3），再將所有空間向量變換至主滑面坐標系Φ0?；贛ohr-Coulomb準則，計算主滑面上的抗滑力和下滑力，求出穩定性系數Fs。具體計算過(guò)程如下：

（1）計算坐標系Φ0（O0-x0y0z0）中所受的力

多面體ABCDEFGH的重力W0在坐標系Φ0中向量為W′0；

結構面ABFE的抗滑力F0，其大小為：

式中：NABFE為潛在滑動(dòng)體重力在結構面ABFE法向的分量；
φ0為結構面ABFE的內摩擦角；
c0為結構面ABFE的內聚力；
A0為結構面ABFE的面積。

其在坐標系Φ0中向量為F′0。

（2）計算坐標系Φ1（O1-x1y1z1）中所受的力

結構面ABCD的抗滑力F1，其大小為：

式中：NABCD為潛在滑動(dòng)體重力在結構面ABCD法向的分量；
φ1為結構面ABCD的內摩擦角；
c1為結構面ABCD的內聚力；
A1為結構面ABCD的面積。

其在坐標系Φ1中向量為

式中：a、b為結構面ABCD的力作用點(diǎn)的坐標。

將空間向量F1變換至坐標系Φ0：

（3）計算坐標系Φ（2O2-x2y2z2）中所受的力

同上可得，將結構面EFHG的抗滑力F2變換至坐標系Φ0的變換公式為：

（4）空間滑移式危巖體穩定性計算

x0軸方向合力Fx0為：

y0軸方向合力Fy0為：

下滑力T為：

抗滑力R為：

穩定性系數Fs為：

滑動(dòng)方向與x0軸夾角δ為：

1.6 暴雨工況下危巖體的穩定性計算

暴雨工況下，考慮最危險情況（后側與兩側結構面全部被水充滿(mǎn)），結構面抗剪能力完全喪失，只剩下靜水壓力作用。巖體的重度取飽和重度，重力的計算過(guò)程與1.5節相同。靜水壓力具體計算過(guò)程如下：

（1）坐標系Φ0（O0-x0y0z0）中所受的靜水壓力

結構面ABFE上靜水壓力Fw0在坐標系Φ0中的向量為F′w0。

（2）坐標系Φ1（O1-x1y1z1）中所受的靜水壓力

結構面ABCD上的靜水壓力Fw1在坐標系Φ1中向量為Fw1。

將空間向量Fw1變換至坐標系Φ0：

（3）坐標系Φ2（O2-x2y2z2）中所受的靜水壓力

結構面EFGH上的水壓力Fw2在坐標系Φ2中向量為Fw2。

將空間向量Fw2變換至坐標系Φ0：

（4）空間滑移式危巖體穩定性計算

x0軸方向Fx0合力為：

y0軸方向Fy0合力為：

下滑力T為：

抗滑力R為：

穩定性系數Fs與滑動(dòng)偏轉角δ同1.5節。

1.7 地震工況下危巖體的穩定性計算

地震工況下，考慮豎向和水平向的地震慣性力。計算過(guò)程與1.5節相同。根據《建筑抗震設計規范（GB 50011-2010）》［24］，地震慣性力計算公式如下：

地震水平慣性力Fhi：

地震豎直慣性力Fvi：

式中：a1為水平地震影響系數值，按表5取值；
avmax為豎向地震影響系數的最大值，取水平地震影響系數最大值的65%；
Geq為總重力荷載。

表5 水平地震影響系數最大值Table 5 The maximum value of horizontal seismic influence coefficient

（1）坐標系Φ0（O0-x0y0z0）中所受的力

由于水平和豎向地震慣性力的作用，潛在滑動(dòng)體的重力應減去豎向地震力部分，則：

水平慣性力Fh0=a1GABCDEFGH，在坐標系Φ0中向量為Fh0。

（2）坐標系Φ1（O1-x1y1z1）中所受的力

由于豎向地震慣性力的作用，該坐標系內的抗滑力F1=NABCDtanφ1+c1A1，其在坐標系Φ1中向量為F1。

將空間向量F1變換至坐標系Φ0：

（3）坐標系Φ2（O2-x2y2z2）中所受的力

該坐標系內計算方法同坐標系Φ1，可得到坐標系Φ0內空間向量F2′。

（4）空間滑移式危巖體穩定性計算

x0軸方向合力Fx0為：

y0軸方向合力Fy0為：

下滑力T為：

抗滑力R為：

穩定性系數Fs與滑動(dòng)偏轉角δ同1.5節。

陳祖煜等［9］曾在其發(fā)表文章中對楔形體問(wèn)題進(jìn)行計算，其算例考察一個(gè)如圖5所示的楔形體，其幾何形體和物理參數如表6所示，其中楔形體坡高64.89 m，巖石容重26 kN/m3。計算左、右結構面強度參數相同和不同2種工況。

圖5 楔形體穩定性分析算例Fig.5 A stability analysis example of wedge sliding body

表6 楔形體的幾何、物理參數Table 6 Parameters of geometry and geotechnical properties of wedge sliding body

當兩側結構面參數一致時(shí)，陳祖煜算法和規范算法算出的安全系數均為F=1.55，文中算法得出的安全系數為1.52。當兩側結構面參數不一致時(shí)，陳祖煜算法和規范算法算出的安全系數均為F=1.18，文中算法得出的安全系數為1.16。由此可見(jiàn)，對于給出的算例，文中計算方法的結果與規范算法和陳祖煜算法較為接近，證明文中算法的有效性和合理性。

（1）針對滑移式危巖體，采用空間解析幾何和極限平衡法，提出了一種可考慮危巖體兩側夾持效應的危巖三維穩定性計算方法。首先對危巖體圍限的結構面建立各自的坐標系，計算各坐標系的空間力系，通過(guò)矢量變換，求得主滑面的抗滑力和下滑力，最終得到危巖體整體穩定性系數。相較于二維方法，更加符合危巖體實(shí)際受力條件。

（2）危巖體兩側夾持作用和巖橋（鎖固段）抗剪作用對危巖體穩定性有利。通常，當區域最大主應力與邊坡走向一致，且巖體結構面緊閉（張開(kāi)度很?。?，可考慮側面的夾持效應。當結構面不連續，存在巖橋時(shí)，可對結構面進(jìn)行強度參數分區設置。

（3）經(jīng)典的楔形體（危巖）穩定計算方法，假設危巖體沿交線(xiàn)方向滑動(dòng)。首先將重力分解為垂直交線(xiàn)和平行交線(xiàn)的分量，然后將垂直分量投影至兩個(gè)滑動(dòng)面的法線(xiàn)方向。其實(shí)質(zhì)即為：將滑動(dòng)體自重分別分配到兩個(gè)滑動(dòng)面。文中提出方法經(jīng)退化后與該計算方法一致，可認為是本方法的一種特例。