趙果玫
(溫州大學(xué)數理學(xué)院，浙江溫州 325035)
Landau-Lifshitz（LL）方程描述了連續鐵磁體中磁化強度的演化，對理解非平衡磁學(xué)有著(zhù)重要意義．類(lèi)似于流體動(dòng)力學(xué)中的Navier-Stokes方程，LL方程在鐵磁物質(zhì)的動(dòng)態(tài)磁化理論中扮演了極為重要的角色，成為研究的基石．由于LL方程是一個(gè)強非線(xiàn)性偏微分方程，無(wú)法求出精確解的解析表達形式，往往通過(guò)數值模擬來(lái)了解LL方程解的特征．研究LL方程的數值算法成為國際數學(xué)界廣泛關(guān)注的熱點(diǎn)問(wèn)題之一．本文主要考慮帶有交換場(chǎng)的Landau-Lifshitz方程：
本文基于球面投影方法和外推方法，構造求解LL方程的二階Backward Difference Formula（BDF）部分投影有限元算法，使得數值解可精確地滿(mǎn)足模為1的約束．同時(shí)在時(shí)間步長(cháng)條件τ=O(h)下，從理論上證明了精確解和數值解之間具有最優(yōu)的L2誤差估計．
下面給出求解Landau-Lifshitz方程（1）的二階BDF有限元投影格式方法．
顯然，這里所構造的二階BDF投影格式（6）―（9）可以在逐點(diǎn)意義下精確地保持數值解的模為1．為證明最優(yōu)的有限元誤差估計，假設Landau-Lifshitz方程（1）存在唯一的局部強解m，滿(mǎn)足如下正則性：
