卷積應該是一個(gè)很容易理解的概念。如果從純粹數學(xué)上講，可能不容易，但把物理聯(lián)系起來(lái)，就容易了。
在振動(dòng)學(xué)中有一個(gè)著(zhù)名的杜哈美積分 (Duhamel"s Integral)，講的是對于受迫振動(dòng)，我們可以將強迫力時(shí)程分解為一系列的脈沖的疊加，如果已知系統在單個(gè)脈沖下的響應，并注意到 s 時(shí)刻的脈沖只對時(shí)間 t >s 的響應有影響，那么整個(gè)系統在 t 時(shí)刻的響應就等于所有 t 時(shí)刻以前的脈沖各自單獨作用下的疊加。因為采用了疊加原理，系統必須是線(xiàn)性的。
用 h(u) 表示系統在單位脈沖作用下 u 時(shí)刻的響應。那么 s 時(shí)刻的脈沖在系統 t (t >s) 時(shí)刻產(chǎn)生的影響就等于 h(t-s)，將所有s(=0~t) 加起來(lái)，就得到整個(gè)系統在 t 時(shí)刻的響應。對于離散時(shí)間，就是相加；對于連續時(shí)間，變成積分。
這是一個(gè)工科學(xué)生對卷積的簡(jiǎn)單理解。
卷積應用于很多學(xué)科，下面簡(jiǎn)單講兩個(gè)在概率論中的應用：。
一個(gè)是隨機變量的和，另一個(gè)是更新過(guò)程中的更新定理。
1 隨機變量的和
兩個(gè)隨機變量的和的概率分布，可以表達成一個(gè)卷積積分。n 個(gè)隨機變量的和的概率分布，就是 n 重卷積。
2 更新過(guò)程中的更新定理
更新過(guò)程中一個(gè)比較棘手卻非常重要的量，是在給定時(shí)間內事件發(fā)生數的平均值 E[N(t )]，它也可以表示成它自身與更新間隔時(shí)間的概率密度函數的卷積，推導方法和前面強迫振動(dòng)是一樣的。不過(guò)，這個(gè)時(shí)候人們通常叫它 II 型 Volterra 積分方程。為什么要用一個(gè)新名詞呢？如果借用前面振動(dòng)學(xué)的概念，是因為這個(gè)時(shí)候脈沖響應函數和響應函數是同一個(gè)函數。
前面幾位大俠似乎沒(méi)有講到一個(gè)問(wèn)題，即如何處理卷積。實(shí)際上，我們很少直接求解卷積。很多時(shí)候，我們發(fā)現，用 Fourier 或 Laplace 變換是一個(gè)更為簡(jiǎn)單的辦法。這主要是因為，采用變換后，卷積變成了代數乘積。在振動(dòng)學(xué)中，脈沖響應函數的變換改稱(chēng)為頻響函數，而在概率論中，概率密度函數的 Fourier 變換稱(chēng)為特征函數，Laplace 變換稱(chēng)為矩生成函數。對于離散時(shí)間（時(shí)間 序 列 ）
或 離 散 隨 機 變 量 ， 我 們 多 采 用 它 們 的 生 成 函 數 (generating function)，在信號處理中，又叫 z 變換。
正是因為采用了 Fourier 變換，中心極限定理的證明成為一件不是那么難的事情。
嚴格數學(xué)的解釋?zhuān)ù嬖谛裕?，請讀曹大俠之大話(huà)卷積。
積 大話(huà)卷積
關(guān)于卷積的背景問(wèn)題其實(shí)并不那么簡(jiǎn)單，有人覺(jué)得卷積與傅里葉分析密切相關(guān)，可你是否知道他們之間到底是什么關(guān)系？卷
積的本質(zhì)到底是什么？在這里從數學(xué)的角度展示卷積的強大威力。
要了解卷積的本質(zhì)，首先要清楚傅里葉分析到底在說(shuō)什么？它的核心問(wèn)題是什么？傅里葉級數大家耳熟能詳，不需要我啰嗦了，然而你對傅里葉級數了解到何種程度？如果你僅僅局限于微積分里那點(diǎn)可憐的概念，恐怕你連傅里葉級數的毛也沒(méi)摸著(zhù)，你只是知道了傅里葉級數的簡(jiǎn)單定義而已。
要想真正了解傅里葉級數，就必須熟悉實(shí)變函數，因為在傅里葉分析中，一個(gè)最基本也是最重要的問(wèn)題是：
傅里葉級數是否？ 收斂？按什么方式收斂？
這個(gè)問(wèn)題在微積分里是無(wú)法搞清楚的，事實(shí)上，即使是一個(gè)連續函數，其傅里葉級數也可能在某些點(diǎn)發(fā)散，我們甚至可以構造出 Riemann 可積函數，其傅里葉級數是處處發(fā)散的。如果你辛辛苦苦把一個(gè)函數展開(kāi)成傅里葉級數，卻發(fā)現它并不收斂，其內心是一種什么感受？大概如同從沒(méi)有電梯的二十層樓上屁顛屁顛地跑下來(lái)卻發(fā)現沒(méi)帶汽車(chē)鑰匙。眾所周知，Riemann 可積函數是一種性質(zhì)比較好的函數（相對于積分區間幾乎處處連續，啥叫幾乎處處？微積分是不能告訴你的，想知道嗎？老老實(shí)實(shí)跟我學(xué)實(shí)變函數），即使是這樣的函數都不能保證傅里葉級數的收斂性，可見(jiàn)問(wèn)題有多么嚴重。傅里葉分析是門(mén)比較古老的學(xué)問(wèn)，但其中存在的許多問(wèn)題直到上個(gè)世紀中葉依然是大家關(guān)注的話(huà)題，也正
是傅里葉分析中存在的諸多問(wèn)題懸而未決，促使人們尋求新的方法，這正是泛函分析的萌芽之一。
賣(mài)了半天的關(guān)子，到底想說(shuō)啥？稍安勿躁，一點(diǎn)耐心都沒(méi)有我還怎么講？我們就從收斂性問(wèn)題說(shuō)起，假設 f 是以 2π 為周期的可積函數（以什么為周期不是最重要的），其傅里葉展開(kāi)為：
也可以寫(xiě)成指數形式：
其中，
俺無(wú)法寫(xiě)出積分上下限，反正你們都知道是個(gè)長(cháng)度為 2π 的積分區間，現在的問(wèn)題是如何判斷右端的級數是收斂的。
知道這叫什么吧？它稱(chēng)為級數的部分和，我們的目標是把這個(gè)部分和表示出來(lái)，以便于判斷該部分和是否收斂。試圖把這個(gè)
級數的和求出來(lái)是徒勞的，你能做到的話(huà)，天下就是你的了，不過(guò)，我們可以把系數的積分式帶進(jìn)級數，將得到：
還記得三角公式吧？知道方括號里的和怎么求嗎？如果不會(huì )，你還有機會(huì )，用指數形式的級數再試一次：
最后，這個(gè)和式會(huì )算嗎？如果還不會(huì )，你就剩下一個(gè)機會(huì )了，用你那聰明的腦袋對著(zhù)南墻狠狠撞他十二下，就能喚起你中學(xué)時(shí)代的美好記憶了。
則
明白為什么要定義卷積了嗎？
現在的問(wèn)題就變成了判斷上述積分是否收斂到 f(x )，事情似乎變得簡(jiǎn)單了，令人無(wú)奈的是，上述積分未必收斂到 f(x )！那么，什么樣的函數具有收斂的傅里葉級數呢？按何種方式收斂？這個(gè)問(wèn)題暫且放在一邊，我們知道很多情況下不收斂就夠了，因為要說(shuō)清楚這個(gè)問(wèn)題的話(huà)，需要超出經(jīng)典微積分的范疇。如此說(shuō)來(lái)，對于傅里葉級數不收斂的函數豈非無(wú)能為力？人類(lèi)就是偉大，有的是辦法，S_k(x )不收斂，可以考慮部分和的平均，結果令人喜出望外，部分和的算術(shù)平均居然幾乎處處收斂！這個(gè)算術(shù)平均是什么呢？再來(lái)算一次。
將 D_k(x ) 帶入可以算出
于是
我們再次得到了一種卷積，Fejer 定理告訴我們，上述積分幾乎處處收斂到 f(x )。
人們將 D_k 稱(chēng)為 Dirichlet 核，將 F_m 稱(chēng)為 Fejer 核，上述卷積又稱(chēng)為帶核的積分。事情到此結束了？非也，這才僅僅是開(kāi)始，一門(mén)影響深遠的理論—積分算子理論從此拉開(kāi)了帷幕。
