習題一、基礎概念
1．解：
設1 2 3 4 5, , , , X X X X X 為總體樣本 1）511 51~ (1, )
( , , ) (1 )i ix xiX B p f x x p p??? ??
55 5 ( 1 )11(1 ) ,5x xiip p x x??? ? ??
2）? ?? ??5515 515 1!!) , , (
) ( ~??????? ? exexx x f P Xiixi ix i? 3）51 5511 1~ ( , )
( , , ) , , 1,...,5( )iX U a b f x x a xi b ib a b a?? ? ? ? ?? ?? 所以51 51, , 1,...,5( ) ( , , )0,a xi b ib a f x x?? ? ??? ? ???其他
4）
? ? ?????? ?? ?? ?????5122 / 55125 121exp 221) , , (
) 1 , ( ~2iiixx e x x f N Xi??? ? 2.解：
由題意得：
i 0 1 2 3 4 個(gè)數 6 7 3 2 2 f xi
0.3 0.35 0.15 0.1 0.1 因為0110,( ) ,1,n k kkx xkF x x x xnx x??? ???? ???? ??，所以40, 00.3,0 10.65,1 2( )0.8,2 30.9,3 41, 4xxxF xxxx? ??? ??? ? ??? ???? ????
3．解：
它近似服從均值為 172，方差為 5.64 正態(tài)分布，即 (172,5.64) N
4．解：
? ?
55-5
510 / 2- -????????? ? ? ?????????? ? ? kXk P kXP k X P? ??
因 k 較大 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ?- 5 5 5 (1 5 ) 2 5 1 0.95 0.95P X k k k k k kk? ? ?? ?? ? ?? ? ?? ? ? ? ?? ? 0 1 0.9
0.8
0.7
0.6 0.5
0.4 0.30.2 0.1
1
2
3
4 x y
,5 1.65, 0.33 k k ? ? 查表 5．解：
? ?-5250.8 53.8 1.1429 1.7143 (1.7143) ( 1.14296.3/6XP X P ??? ? ? ? ? ? ?? ?? ?? ?? ?）
0.9564 (1 0.8729) 0.8293 ? ? ? ? 6．解：
? ? ? ? ? ?~ (20,0.3), ~ (20,0.2), ~ (0,0.5),0.3 0.3 0.3Y N Z N Y Z Y Z NP Y Z P Y Z P Y Z?? ? ? ? ? ? ? ? ?設 與 相互獨立， 0.30.4243 0.42430.5 0.5 0.51 (0.4243) (1 (0.4243)) 2 2 (0.4243)Y Z Y ZP P? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ?? ? ?? ? ? ? 2 2 0.6628 0.6744 ? ? ? ? 7.解：
10 10 102 2 21 1 1~ (0,4), ~ (0,1),21 1 1 1 0.05, 0.954 4 4 4 4 4iii i ii i iXX N Nc c cP X P X P X? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ?則 查卡方分位數表 c/4=18.31,c=73.24
8．解：
由已知條件得：
(1, ), 1 ( )i XY B p p F ? ? ?
由iX 相互獨立，知iY 也相互獨立，所以1( , ), 1 ( ).ni XiY B n p p F ??? ?? 9.解: 1) ) 1 ( ,) 1 (,2p Np DX ESnp NpnDXX D Np EX X E ? ? ??? ? ? ?
2) ??? ? ? ? ? ? ? DX ESn nDXX D EX X E2, ,
3) ? ? ? ?12,12,2222a bDX ESna bnDXX Db aEX X E?? ??? ??? ?
4) 1 ,1,2? ? ? ? ? ? DX ESn nDXX D EX X E ?
10.解：
1) ? ?2 2 212) 1 ( ) 1 ( ) 1 ( ) 1 ( ? ? ? ? ? ? ? ? ? ???n DX n ES n S n E X X Enii 2)? ?2 222 4 22 21( 1) ( 1)( 1) ,
~ ( 1)niin S n SD X X D n S D n ? ?? ??? ? ? ?? ? ? ? ?? ?? ??
? ?2412( 1)niiD X X n ??? ? ? ?? 11.解：
?? ? ? ? ?nX Edt e dy e y dy e y X nE Y Enn DY X E EY N X n Y n N Xty y2) (,2) 1 (222222| |21) () , 11, 0 ( ), 1 , 0 ( ~ ), / 1 , 0 ( ~ ) 102022 2?? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ??? ??? ??? ?? ?? ? ?? 令 ?? ? ? ? ?2 1 1,2) 1 (222222| |21), 1 , 0 ( ~ ) 21 102022 2? ?? ? ? ? ? ?? ?? ? ?? ??? ??? ??? ?? ?niiniitx xX EnXnEdt e dx e x dx e x X EN X
12.解：
1) ? ?222 42/XE X E X En n?? ?? ? ?? ? ? ?? ?? ? ? ?24 41 0 0.12/ 2/X XD En n n n? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? 40 n ? ?
2)
2 22 201 1, 22/ 2/ 2 2u uX Xu E u e du u e dun n? ?? ??? ??? ???? ?? ? ?? ?
2 222 20 0220 02 22 22 2 22 2 2 22 2 2 2(1) ,
0.1,2/2 2 80010, 254.6, 255u uutue du ue duue d e dtXE X En n nn n n? ?? ? ???? ?? ??? ??? ??? ????? ?? ? ??? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ?? ? 3) ? ? ? ?1 1 12 2 2/n X nP X P X Pn?? ?? ??? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ?? ?? ? 0.9752 1 0.95,2 2 21.96, 15.36, 162n n nnu n n? ? ? ? ? ?? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? 13.解：
? ? ? ?? ?1 12 221 1 1 1 11 1,n ni ii iY XY X a X na X an b b n bEY EX a S Sb b? ?? ?? ? ? ? ? ?? ?? ?? ? ?? ? 14．解：
1）1 2 3 4 5~ (0,2), ~ (0,3) X X N X X X N ? ? ? 3 4 5 1 2~ (0,1), ~ (0,1)2 3X X X X XN N? ? ? 且1 22X X ?和3 4 53X X X ? ?相互獨立 1 11 1, , 2.2 3c d n ? ? ? ? 2）
? ?23 4 52 2 2 21 2~ (2), ~ (1)3X X XX X ? ?? ??
? ?? ?2 21 22 23 4 523~ (2,1), , 2, 123X XF c m nX X X?? ? ?? ? 15.解：
設1(1, )pF n ??? ，即 ( ) 1 ( ) 1 P F p P F p ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
( ) ( ) 12 ( ) 2( ) 12P T P T pP T ppP T? ???? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? 122112( )( ) (1, )pp pt nt n F n?????? ?? ? ? 16．解：
? ?? ? ? ?? ?? ? ? ?? ?? ? ? ?1 2 1 21 2 1 22 2 2 2 21 2 1 2 1 22 21 2 1 22 2 2 21 2 1 2 1 2 1 221 22 21 2 1 2~ (0,2), ~ (0,2), ~ (0,1), ~ (0,1)2 2( ) ~ (1),( ) ( ) ~ (2)2 2 2221 0.1,2X X X XX X N X X N N NX X X X X XX X X X tP t PX X X X X X X XX X tPX X X Xc? ?? ?? ?? ? ??? ? ? ?? ?? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ??? ?? ? ? ?? ?? ? ?? ?? ??0.9 (1,2)8.532tF ? ? 17.證實(shí)：
1）
2 21 1 12 22121221 1( ) 0, ( ) , (0, )1( 1)1( 1)1 11n n nnnn nE X X D X X X X Nn nnS nX XnX X nnt nn S nSn? ?????? ? ???? ?? ? ? ? ? ??????? ? ?? ??又
2）2 21 1 11 1( ) 0, ( ) , (0, )n n nn nE X X D X X X X Nn n? ?? ? ?? ?? ? ? ? ? ?
3）2 21 1 11 1( ) 0, ( ) , (0, )n nE X X D X X X X Nn n? ?? ?? ? ? ? ? ?
18. 解：
? ? ? ?? ? 62 , 47 . 61 , 96 . 1 25 . 0 , 975 . 0 25 . 0, 95 . 0 1 25 . 0 2 25 . 0/25 . 0 25 . 0975 . 0? ? ? ? ? ?? ? ? ???????????? ? ? ? ?n n u n nn nnXn P X P??? ? 19.解 [ , ]0,1, [ , ]( ) , ( ) ,0, [ , ]1,X U a bx ax a b x af x F x a x b b ab ax a bx b? ???? ?? ?? ? ? ? ? ?? ??? ???? ?? 1(1) ( )(1 ( )) ( )nf x n F x f x?? ? ? 111( )1( ) , [ , ]0, [ , ]1( ) , [ , ]( ) ( ( )) ( )0, [ , ]nnnnb an x a bb a b ax a bx an x a bf x n F x f x b a b ax a b???? ???? ? ?????? ???? ? ? ????? 20.解：
? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?5 5(1) (1)1 1515 5 55 55 5(5)1 110 1 10 1 10 1 1 10121 1 121 (1 ( 1)) 1 (1 1 (1)) 1 (1) 0.57851215 15 1.5 (1.5) 0.9332 0.70772i ii iiiiii iP X P X P X P XXPXP X P X P? ??? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ?? ?? ? ?? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ?? ?? ??? ? 21. 解：
1)因為21~ (0, )miiX N m ???，從而1~ (0,1)miiXNm ???
2221~ ( )m nii mXn ???? ??，所以121~ ( )miim nii mn Xt nm X???? ???? 2）因為2 2211~ ( )miiX m ????，2 2211~ ( )m nii mX n ???? ?? 所以2121~ ( , )miim nii mn XF m nm X??? ??? 3)因為21~ (0, )miiX N m ???，21~ (0, )m nii mX N n ??? ?? 所以2212( )~ (1)miiXm????，2212( )~ (1)m nii mXn???? ?? 故 2 222 21 11 1~ (2)m m ni ii i mX Xm n?? ??? ? ?? ? ? ??? ? ? ?? ? ? ?? ?
22.解：
由 Th1.4.1 (2)
? ? ? ?, 95 . 0 47 . 321), 1 ( ~122222????????????????S nP nS n 查表: n 1 21,n 22 ? ? ?
23.解：
由推論 1.4.3(2)
05 . 0 95 . 0 1 39 . 2 1 39 . 2 ), 14 , 19 ( ~222122212221? ? ?????????? ? ??????????SSPSSP FSS 24.解：
1) ? ?? ? 94 . 0 05 . 0 99 . 0 57 . 37 85 . 10) 20 ( ~ ), 1 , 0 ( ~ ), , 0 ( ~22012 22220122? ? ? ? ?? ?????? ??????????? ???????? ?PXXNXN Xii iiii
2) ? ?895 . 0 1 . 0 995 . 0 58 . 381965 . 11 ), 19 ( ~192222222012? ? ?????????? ? ??????? ?SPSX Xii 25. 解：
1) ? ? 4532 . 0 7734 . 0 2 2 1 ) 75 . 0 ( 2 1431435 / 20803 80 ? ? ? ? ? ? ? ? ??????? ? ???????????? ? ? U PXP X P 2) ? ? ? ? 05 . 0 1 975 . 0 2 1 064 . 2 1 064 . 25 / 2674 . 7803 80 ? ? ? ? ? ? ? ???????????? ? ? T PXP X P 26.解：
1)8413 . 0 120472 . 4472 . 4??????????????????????? ??????? ?? ?? a XPa XP a X P 2)2 2 2 2 2 22 2 2 2 223 1 32 2 2 2 2 2 2SP S P S P S P? ? ? ? ?? ??? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? 22199.5 28.5 0.95 0.05 0.9SP?? ?? ? ? ? ? ?? ?? ? 3)
3676 . 3 , 328 . 120, 1 . 020, 9 . 02012020 /1? ? ???????????????????? ? ?????????????????????????????????cc cT PcT Pc SXPc SXP cXSP? ?? 27．解：
22cov( , )( , )( ) ( )1( ) ( )1cov( , ) ( )1( , )1i ji ji ji ji j i j i ji jX X X Xr X X X XD X X D X XnD X X D X XnX X X X E X X X X X X X Xnr X X X Xn??? ?? ? ?? ??? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ?? 28.解：
? ?2 2 21212) 1 ( 2 ) 1 ( , ) 1 (, 21), 2 , 2 ( ~?? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ??????n ES n ET S n Y Y TX YnY N X X YY Yniinii i n i i令
習題二、參數估量 1． 解：
矩估量 ? ?1 3.40.1 0.2 0.9 0.8 0.7 0.76 6X ? ? ? ? ? ? ?
? ? ? ?1 111 1ln ln( 1) lnn nni ii iniiL x xL n x? ?? ?? ?? ??? ? ? ? ? ?? ?? ? ?? ?? 121ln ln 01ˆ 1 0.2112lnniiniid nL xdnx?? ????? ? ? ??? ? ? ??? 3077 . 012 1ˆ ,212) 1 ( ) 1 (1101021???? ?????? ? ? ? ???XXXxdx x EX ????? ???
所以1 211 2ˆ ˆ , 11lnniiX nXX? ??? ?? ??? ? ? ? ? ??? ?? ?? ??，1 2ˆ ˆ 0.3079, 0.2112 ? ? ? ?
2．解：
1）
3077 . 0 2ˆ,21? ? ? ? X X EX ?? 11 1ln 0nniLnL? ???? ?? ? ?? 無(wú)解，依定義：21ˆmaxii nX ?? ??
2）矩法：21 1ˆ ˆ1.2, 0.4722 12EX DX? ?? ? ? ?
極大似然估量：2 2ˆ ˆ1.1, 0.18332 12EX DX? ?? ? ? ?
3．
1）解：
矩法估量：11 1ˆ, EX XX??? ? ?
最大似然估量：
11 1,ln lnnii in n xx nii iL e e L n L x??? ? ????? ??? ? ? ?? ? 2111ˆln 0,niniiid n nL xd Xx?? ???? ? ? ? ??? 2)解：
~ ( ) X P ?
矩估量：X X EX ? ? ?1ˆ, ? ? 最大似然估量：
1,ln lnix nxnniii iL e e L n nx xx x? ?? ?? ?? ??? ? ?? ? ? ??? 2ˆln 0,d nxL n Xd?? ?? ? ? ? ? 3）解：
矩估量：? ?2,2 12b a a bEX DX? ?? ?
聯(lián)立方程：
? ?2*2*2*221ˆ 32ˆ3a X Mb X Ma bXb aM?? ???? ???????????? ? ??
極大似然估量：依據定義，1 1ˆˆ min , maxi ii n i na X b X? ? ? ?? ? 4) 解：
矩估量：
00ln EX dx xx??????? ??，不存在 2 21 11,ln ln 2 lnn nnii ii iL L n xx x?? ?? ?? ? ? ?? ? ?
ln 0nL? ??? ??，無(wú)解；故，依據定義，(1)ˆX ? ?
5)解：
矩法：
( )/0( ) (1) (2)x txEX e dx t e dt? ??? ? ? ???? ??? ? ?? ? ? ? ? ? ?? ?
X ? ? ? ? ?
2 2 2 20( ) (1) 2 (2) (3)tEX t e dt ? ? ? ?? ????? ? ? ? ? ? ? ?? 2 2 2 2 2212 2 ( )iM Xn? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? 22 22 2 2 2 *2* *1 11ˆˆ ,iM X X X MnX M M?? ?? ? ? ? ?? ? ?? 即2 2* 2 * 21 11 11 1ˆˆ ( ) , ( )n ni ii iX M X X X M X Xn n? ?? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? 極大似然估量：
? ?( )/11 1 1exp ,ln lninx ninL e nx n L n nx? ??? ? ?? ? ? ?? ? ??? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ?? ?? 2ln 0, ln ( ) 0n n nL L x ?? ? ? ? ?? ?? ? ? ? ? ? ?? ? ? 無(wú)解，依定義有：(1) (1)ˆˆ ,L LX X X X ? ? ? ? ? ? ? ?
7)解：
矩法：
2 22 23 2 2230 0 04 2 2 2(2)x xtx x xEX e dx e d te dt X? ?? ?? ? ? ? ? ? ??? ?? ??? ??? ? ? ? ? ?? ? ?
ˆ2MX ?? ?
極大似然估量：
222 2223 31 14 4iix nxn nii ii ixL e x e? ?? ? ? ?? ?? ??? ? ? ?? ?? ? ? ?? ? ? ?? ?
222ln ln4 3 ln ln lniixL n n n x ? ??? ? ? ? ??? 2233 2ˆln 2 0,3iL ixnL xn?? ? ??? ? ? ? ???? 8)解：
矩法：
2 22 2 2 22 22 2 02 22 2 22 2 30( 1) (1 ) [(1 ) ] (1 )(1 ) (1 )1 2 21x x xx x xxxd dEX x xd dd dq Xdq dq q? ? ? ? ? ?? ?? ? ?? ?? ? ??? ? ???? ? ? ? ? ? ?? ?? ? ? ? ??? ? ?? 2ˆMX? ?
極大似然估量：
2 2 2 21( 1) (1 ) (1 ) ( 1)ln 2 ln ( 2 )ln(1 ) ln( 1)inx n nx ni iiiL x xL n nx n x? ? ? ?? ?? ??? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ?? 2 2 2ˆln 0,1Ln nx nLX?? ? ?? ?? ? ? ?? ? 4 解：
1 111 211 2( , , ) (1 ) (1 )ln ( , , ) ln (1 )ln(1 )n ni ii i i iy y ny ynninL p y y y p p p pL p y y y ny p n y p? ????? ?? ? ? ?? ? ? ?? 1 2( , , ) 0(1 )ny p dL p y y y ndp p p?? ?? ˆ pY ?
記0 01, ; 0,i i i iy x a y x a ? ? ? ? 則 (1, )iY B p ；
5.解：
1,ln lninx n nxiL e e L n nx? ?? ? ? ?? ??? ? ? ?? 711 1 20000ˆln 0, , 201000 1000i iid nL nx X xvd X?? ??? ? ? ? ? ? ?? 1ˆ0.05X? ? ?
6 解：
因為其壽命服從正態(tài)分布，所以極大似然估量為：2 211ˆ ˆ , ( )niix xn? ? ??? ? ?? 依據樣本數據得到：2ˆ ˆ 997.1, 17235.811 ? ? ? ? 。
由此看到，這個(gè)星期生產(chǎn)燈泡能使用 1300 小時(shí)概率為 0 7.解：
由 3.2)知 ? ? . 1 50 / 1 * 4 2 * 3 10 * 2 20 * 1 17 * 0ˆ? ? ? ? ? ? ? XL? 所以平均每升氺中大腸桿菌個(gè)數為 1 時(shí)，出現上述情況概率最大。
8 1）解：
? ?0.950.95, 0.95ˆ( ) 0.95,x Ap x A pAA U ?? ?? ????? ?? ?? ?? ?? ? ? ??? ? ? ? 0.95ˆˆ , x A U X ? ? ? ? ?
2）解：
2 2ˆ ˆ , x S ? ? ? ? ，122( 1)( 1)xun Sn???????? 0.95ˆ( ) 0.95,AA u S XS???? ? ? ?
9 解：
由極大似然估量原理得到 4 41 1 11 ;3 6 1049762 0; 3 0pp p?? ?? ? ? ?? ? ? ?當 時(shí)，當 時(shí)， 當 時(shí)， ˆ1 ? ? ?
10 解：
ˆ? 應該滿(mǎn)足：
? ? ? ? ? ? ? ?1 2 1 20,11 1ˆ, ; max , ; max ;0 , ;1 ,n nn n i ii iL x x x L x x x f x f x? ?? ??? ?? ?? ?? ?? ?? ? 0,10.511max 1,2nniix? ??? ?? ?? ??? ?? ?? ?? ?? 結果取決于樣本觀(guān)察值 ? ?1 2,nx x x
11.解：
2 2 2 2 21 11 1 1 1 5ˆ ˆ ( ) ( ) , ( ) ( )6 3 36 9 18E D ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
2ˆ ( 2 3 4 )/5 2 E ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 2 23 3 11 4 1ˆ ˆ ˆ ( ) ,4 16 4E D D ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
1 2ˆ ˆ , ? ? 無(wú)偏，3ˆ ? 方差最小 所以：2 3 1ˆ ˆ ˆ D D D ? ? ? ? ?
12、1）解：
? ?212 2 2 2 2 2 21 111ˆ [1 2( 1)2 ] [2( 1)( ) 2( 1) ]ni i i iiE Eknx x x x n nk k? ? ? ? ? ??? ????? ? ? ? ? ? ? ? ??2( 1) k n ? ? ?
2）1, 21 10,nkk k ii i ixn ny x x x Nn n n?? ?? ? ? ?? ? ? ?? ?? ??令 222( 1)2( 1)122( 1)xnnix nE y e dxn nnk n?? ??? ????? ????? ? ? ??? ? ??
13．解：
22 2 2 2 2 2 2 2 2( ) E X cS EX cES DX E X c cn?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 1cn? ? 14 證實(shí)：
? ?? ?1, 1,1 1( )( )n nk kk k i k k ii i i ix yn nx x y y x yn n n n? ? ? ?? ?? ? ? ? ?? ? 21, 1, 1, 1,2 2 2 2( 1) ( 1)( 1)n n n nk i k i k kk k i k k i k k i k k ii in y x n x y x ynx yn n n n? ? ? ? ? ? ? ?? ??? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ?2 22 22( 1) ( 1)2( 1) ( 1)( 2) ( 1) ( 1)i in nE x x y y Exy ExEyn nn Exy n n ExEy n nExy ExEyn n n? ?? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? 1 ( 1) ( 1)ˆ( ) cov( , )1n nEZ n Exy ExEy Exy ExEy X Y Zn n n? ?? ? ? ? ? ? ?? 15．1）解：
? ?22 2 2 2 21 11 1 1( ) ( ( )) ( )1 1 1n ni i ii iES E X X E X nX EX nEXn n n? ?? ? ? ? ? ?? ? ?? ? 22 2 2 21[ ( ) ]1n nn n?? ? ? ?? ?? ? ? ? ?? ??? ? 2S ? 是2? 無(wú)偏估量 2）解：
? ?22 2 4 2 2 2 421 2 22( 1), ,1 1nD S n DS E S DSn n? ? ??? ? ?? ? ? ? ? ?? ?? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?22 2 2 2 2 2 2 41 1 1222 2 2 2 2 2 2 42 2 22 1( )2( )1nE S D S E SnE S D S E Sn? ? ? ?? ? ? ??? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? 能夠看出 ? ?22 22E S ? ? 最小。
16．解：
11 1(1)0 01 110 044 3 (1 ) (1 )34 4(1 ) (1 )3 1n nn nx x nE X n dx t tdtnt tdt t tdtn??? ?? ??? ??? ? ? ?? ?? ? ? ? ? ?? ??? ?? ?? ? ? ?11( ) ( )0 04 4 4 4 4( )3 3 3 3 3 1n nn nx x n nE X EX n dx t tdtn?? ??? ??? ? ? ? ??? ? (1) ( )3,4 4nEX EX?? ? ?
2122 2 2 2 2 2(1)0 01 1 1 13 1 3 (1 ) 3 [ ]3 5 2 10x xEX dx t t dt?? ? ?? ?? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ?? ?? ? 2122 2 4 2 2( )0 01 33 3 35 5nx xEX dx t dt?? ? ?? ?? ?? ? ? ?? ?? ?? ? 2 22 2 2(1) (1) (1) (1)34 16 16( ) 16( )10 16 5D X DX EX E X? ?? ? ? ? ? ? ?
22 2 2 2( ) ( ) ( ) ( ) (1)4 16 16 16 3 9 3( ) ( ) 43 9 9 9 5 16 15 5n n n nD X DX EX E X D X?? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
( )43nX 比較有效 17.解：
21 22, 2 D D ? ? ? ? ?
1 1 2 2 1 2 1 2 1 2 2 1( ( ) 1 1 E c c c c c c c c c c ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ）
， ，
? ? ? ?22 2 2 2 2 21 1 2 2 1 2 1 1( 2 2 2 1 D c c c c c c ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ）
? ?22 21 1 1 11 2 12 1 3 2 1 min2 1 212*3 3 3c c c cc c c? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? ? ， 18.解：
11! !ixnn nxii iL e ex x? ???? ??? ??? ln ln ln !iL n nx x ? ? ?? ? ? ?
? ? ln , ( ) ,d nx n nL n x c EX EXd? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?
T X ? 是有效估量量，1( )DTc n??? ? 19.解：
1 11L ,ln ln ( 1) lni inn n niix x L n x ? ? ? ?? ??? ? ? ? ?? ? ? 1 1 1ln ln ln , lni i id nL x n x T xd n n ? ? ?? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ?? ?? ? ? 1 1 11 1 100 0 01ln ln ln lniE X x x dx xdx x x x dx? ? ? ???? ?? ? ? ? ??? ? ? 1ET??
注意：1011lnln 0xxx x xx x? ?? ???? ? ?? ? ? ? ??
T 是有效估量量，221( ) 1( )gDTc n n??? ???? ? ?? 20．1）解：
11(1 ) (1 ) ,ln ln ( )ln(1 )inx n nx niL p p p p L n p nx n p? ??? ? ? ? ? ? ? ?? 1ln ,1 1d n nx n nL x T Xdp p p p p? ? ?? ? ? ? ? ?? ?? ?? ? 1 11 1 1(1 p) (1 p)n nk k kk k kdEX EX kp p k p qdq?? ?? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? 201 11nkkd d pp q pdq dq p p p?? ? ? ???
2）T 是有效估量量， ? ?1nc pp? ?? 2 22( ) ( ) 1 ( ) 1( ) ,(1 p ( )0,(nc p g p g pI p DTn p c npDX qDXn np??? ? ?? ? ? ??? ? ? ??））
T X ? 是相合估量量。
21.解：
1ln ln,1 1innx nxiL? ?? ?? ??? ?? ? ??? ?? ?? ? ? ? ? ? ? ln ln ln ln 1 ln L n nx ? ? ? ? ? ? ?
? ?ln 1ln ,ln 1 1 lnd n n nxL xd n? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?? ?? ?? ? ? ? ? ?? ?? ?? ?? ? ? ?? ?ln 1,1 lnT X g? ? ??? ?? ?? ?? ? ?? ?11 120 00ln ln ln ln 1 ,1 1 1 ln 1 lnlnx xx xx xEX EX dx x dx? ? ? ? ? ? ? ?? ?? ? ? ? ? ??? ?? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ?? ? ? ?? ?? ? T 是有效估量量
22.1）解：
? ? ? ?111 12 2ln ln (n )ln(1 )xi xinxi n xiiLL xi xi? ?? ?? ?? ???? ? ? ??? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ??? ? n1ln1 (1 ) n1ˆTxi xid nL xidxin?? ? ? ? ???? ?? ? ? ?? ?? ?? ?? ?? ??? 2）
? ? ? ?1 10 0 1 1, 1 0 12 2E xi E xi E xin n? ?? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? 所以1 1E xi E xin n? ? ?? ?
ˆT= ? 是有效估量量 3）
n c( ) 1c( ) , ( )(1 ) (1 )In?? ?? ? ? ?? ? ?? ? 1 (1 )DT 0,(n )c( ) n? ???? ? ? ??
所以，T 也是相合估量量。
23.解：
1 1 12 2 211 2 1 2 0 97722 20 0456 1 0 9544, , , ( ) . .. , . .c u u unp? ? ?? ?? ?? ? ?? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? 24. 解：
? ?0.95 0.952.125 0.95, 1.65, 15 1.7532X t?? ? ? ? ? ? ，n=16,s=0.0171, =0.1,1-
0.95 0.950.01 0.011) 0.01, 2.1209, 2.129116 16X b a X ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? =
? ? ? ?0.95 0.950.0171 0.01712) 15 2.1175, 15 2.132516 16X t b X t ? ? ? ? ? ? =
所以（1）
? ? 1.1212.129 ， （2）
? ? 2.1152.135 ，
25.解：
? ?0.952.705 0.975, 15 2.1312X t?? ? ? ? ，n=16,s=0.029, =0.05,1-
? ? ? ?0.975 0.9750.029 0.02915 2.6896, 15 2.720416 16X t b X t ? ? ? ? ? ? =
所以 ? ? 2.68952.7025 ，
26．解：
221221 12 222 2 , , 4 l c n nl l n?? ?? ?? ?? ??? ?? ?? ? ? ?? ?? ? 27.解：
0.9751.96 65.4 3.4 2 , 5.88, 3457, 35 c n n nnn???? ? ? ? ? ? ? ?
28.解：
ln Y X ? 服從 ( ,1) N ? 正態(tài)分布，根據正態(tài)分布均值 ? 區間估量，其置信區間為12Y u???
；由題意，從總體 X 中抽取四個(gè)樣本為：
1 2ln0.5 0.69314718, ln1.25 0.22314355 y y ? ?? ? ?
3 4ln0.8 0.22314355, ln2 0.69314718 y y ? ?? ? ?
其中，0.9754, 1, 1.96, 0 n u Y ? ? ? ? ? ，代入公式，得到置信區間為 ( 0.98,0.98) ?
2）YEX Ee ? ， ( ,1) Y N ? ，得到置信區間為1 10.98 0.98 0.48 1.482 2( , ) ( , ) e e e e e e? ? ??
29.解：
2 6 2 6A B1 20.14125, 0.1392, 8.2510 , 5.2104, 5, 0.05x y S Sn n ?? ?? ? ? ?? ? ? 2 6W W 0.9756.5710 , 0.00255, (7) 2.365, 0.0022, 0.0063 S S t a b?? ? ? ?? ?
所以 [ 0.0022,0.0063] ?
30.解：
2 2A B 1 20.5419, 0.6065, 10, 0.05 S S n n ? ? ? ? ? ?
2 2A A2 2B B0.975 0.0250.2217, 3.6008(9,9) (9,9)S SS Sa bF F? ? ? ?
所以 [0.2217,3.6008]
31．解：
0.975 0.0252 22 2( 1) ( 1)11, 9, 0.05, 7.431, 21.0722(8) (8)n S n SS n a b ?? ?? ?? ? ? ? ? ? ?
32．解：
60 40.5714, 0.05,105 7p X ? ? ? ? ? ?
? ? ? ?0.975 0.9751 14 40.4763, 0.66657 71 1X X X Xa bn n? ?? ?? ? ? ? ? ?? ?
所以 [7.431,21.0722]
33．解：
設1 1( ,..., ), ( ,..., )n nx x x X X X ? ? ，先驗分布密度221( )2yh y e???， 當初 y ? ? ，樣本概率密度分布為2211( )( )221 11 1( ) ( ; ) ( )2 2niiix yn n x ynii if x y f x y e e? ???? ??? ??? ? ?? ?
相關(guān)參數 ? 后驗分部為2 22( ) 1 ()2 1 2 2( ) ( ; )( ) ( ) ( ; )( )ix y n nx yynh y f x yy x h y f x y e e eg x?? ?? ? ? ??? ? ? ?
? 后驗分部為 1( , )1 1nxx Nn n?? ?，相關(guān) ? Bayes 估量量 ˆ1nXn? ?? 34．解：
設1 1( ,..., ), ( ,..., )n nx x x X X X ? ? ，先驗分布密度 ( ) h e??? ???
當初 y ? ? ，樣本概率密度分布為 1 11( ) ( ; )!( )!ix nxn nni ni iiiif x y f x y e exx? ?? ?? ?? ??? ? ?? ?? 相關(guān)參數 ? 后驗分部為1( ) ( ) 11( ) ( ; )( ) ( ) ( ; )( )( )!nxn n nxniih y f x yy x h y f x y e eg xx? ? ? ??? ??? ? ? ? ??? ? ? ?? ? 后驗分部為 ( 1, ) x nX n ? ? ? ? ? ，相關(guān) ? Bayes 估量量1ˆnXn?????
35．解：
設1 1( ,..., ), ( ,..., )n nx x x X X X ? ? ， 先驗分布密度1 112 2( ) (1 ) h p? ?? ??? ?
當初 p y ? ，樣本概率密度分布為：
11 1( ) ( ; ) (1 ) (1 )in nx n nx nii if x y f x y p p p p? ?? ?? ? ? ? ?? ? 相關(guān)參數 p 后驗分部為 1 2(1 )n nx np p? ? ? ? ?? ,這是因為 1 2( ) ( ; )( ) ( ) ( ; ) (1 ) (1 )( )n nx nh y f x yy x h y f x y p p p pg x? ???? ? ? ? ? ? 后驗分部為 1 2( , ) p x n nX n ? ? ? ? ? ?
相關(guān) p Bayes 估量量11 2ˆnpnX?? ???? ? 36．解：
?。?）
10 101 110 10 10 100101 10 10 101 1 1( ; ,..., ) ( ; ) (1 ) (1 )i ii i i i i ix xx x x xii i iL p x x f x p C p p p p C? ???? ? ?? ?? ? ? ? ?? ? ?
110 10(10 ) 10( 10 )ln ( ; ,..., ) 01 (1 )nd x x x pL p x xdp p p p p? ?? ? ? ?? ? 解出1110T X ? ，100( ) ( ) 10 (1 )( )10 1c p g p p pI pn p? ?? ? ?? （2）設1 1( ,..., ), ( ,..., )n nx x x X X X ? ?
先驗分布密度 ( ) 1 h p ?
當初 p y ? ，樣本概率密度分布為 1 10101 1( ) ( ; ) (1 ) (1 )i i in nx x x nx n nxii if x y f x y C y y y y? ?? ?? ? ? ? ?? ?
相關(guān)參數 ? 后驗分部為
10( ) ( ; )( ) ( ) ( ; ) (1 )( )nx n nxh y f x yy x h y f x y y yg x??? ? ? ?
0 1 y ? ?
p 后驗分部為 (1 ,10 1) p x nX n nX ? ? ? ? ，相關(guān) p Bayes 估量量21ˆ10 2nXT pn?? ?? （3）比較估量量1 2, T T ,有：11 1( ) ( ) ( )10 100D T D X D X ? ?
當初 10 n ? ，21 10( ) ( ) ( )10 2 102nXD T D D Xn?? ??1( ) D T ?
所以，T 2 優(yōu)于 T 1
習題三、假設檢驗 1.解：
2~ (4.55,0.108 ), 5, 0.05 X N n ? ? ?
0 0 1 0 1 /2 0.975: , : , 1.96 H H u u?? ? ? ??? ? ? ?
1 /21.96*0.108/ 5 0.0947 c un???? ? ?
04.364 4.55 0.186 x c ? ? ? ? ? ?
拒絕0H ，總體均值有顯著(zhù)性改變 ? ?2 2 2 2 2 2 2 20 0 1 0 0 0 2 0 1: , : , / / H H K s c s c ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 或
2 2 2 20.025 0.97511( ) 0.03694, (5) 0.83, (5) 12.83,niiS Xn? ? ??? ? ? ? ?? 2 2 2 21 0.025 2 0.975 0(5)/5 0.166, (5)/5 2.567, / 3.167 2.567 c c S ? ? ? ? ? ? ? ? ?
拒絕0H ，總體方差有顯著(zhù)性改變 2.解：
0 0 1 0: , : , 100. 0.05. H H ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
? ?0 0 0.050, *100/ 25 1.65*100/5 32.9,950 1000 50K x c c u unx c????? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? 拒絕0H ，元件不合格 3.解：
0 0 1 01) : 500, : . 0.05, 9 H H n ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
2500.89, 34.5, 5.8737 x s s ? ? ?
? ?0 0 1 /20, ( 1) 2.3060*5.8737/3 4.5149,0.8889sK x c c t nnx c????? ? ? ? ? ? ?? ? ?? 接收0H ，機器工作正常 2 2 2 2 2 20 0 1 02) : 5.5 , : 5.5 , 500. 0.05, 9 H H n ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
? ? ? ?2 2 2 2 20 0 1 0 2500.89, 34.5, / / x s K s c s c ? ? ? ? ? ? ?
2 2 2 20.025 0.975 1 0.025 2 0.975(5) 2.70, (5) 19.02 (5)/9 0.3, (5)/9 2.11, c c ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
2 20 0/ 1.0138 . S K ? ? ?
20 ,5.5 . H 接受 可以認為方差為
4．解：
0 0 1 0: 3.25, : 3.25, 0.269, 20. 0.05. 3.399 H H n x ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
? ?0 0 1 0.95, *0.269/ 20 1.65*0.269/ 20 0.0992, K x c c u un????? ? ? ? ? ? ?
03.399 3.25 0.149 . x c ? ? ? ? ? ?
拒絕0H ，目前雞蛋售價(jià)顯著(zhù)高于往年 5.解：
2 2 2 2 2 20 0 1 0: 0.048 , : 0.048 , 0.05, 8 H H n ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
? ?2 2 20 01.4213, 0.0055, / , x s K s c ? ? ? ? ?
2 2 2 20.95 0.95 0(7) 14.07, (7)/7 2.0096, / 2.3988 . c S c ? ? ? ? ? ? ? ?
拒絕0H ，顯著(zhù)變大 6.解：
0 0 1 01) : 2000, : , 130. 0.05, 251950,, 148H H nx s? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?0 00, ( 1) 1.7109*1950/5 50.64,50 .sK x c c t nnx c???? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? 接收0H ，合格 2 2 2 2 2 20 0 1 02) : 130 , : 130 , 2000. 0.05, 9 H H n ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
? ?2 2 2 2 2 20 0 1 0.9511950, 148 , / , ( 1) (8)/8 1.93841x s K s c c nn?? ? ??? ? ? ? ? ? ? ?? 2 20 0/ 1.2961 s K ? ? ? 接收0H ，合格 7.解：
? ?0 1 0~ ( ,4), : 1; : 2.5, 2 , 9. X N H H K X n ? ? ? ? ? ? ? ?
? ?1 2 12 1 9 9 1.5 1 (1.5) 0.0668.2 2XP X P ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ?? ?? ? ? ?2.5 2 2.52 2.5 9 9 0.752 2( 0.75) 1 (0.75) 0.2266.XP X P ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?? ?? ??? ? ? ?? ?
8.解：
? ?0 10 0.05~ ( ,4), : 15; : 15,2 3.3015 , 1.65* .X N H HK X c c un n n? ? ??? ?? ? ? ? ? ? ? ? 3.30 2 3.3015 13 13nP X P Xn n? ?? ?? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ?? ?? ?? ?? ? 20.9513 131.65 1 1.65 0.05,2 2( 1.65) 0.95, 1.65 1.65,2 3.30, 3.3 11X XP n n P n nn n u n n? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? 9.解：
1 0(1) ? ? ?
0 0 1 1 0: ; : ; H H ? ? ? ? ? ? ? ?
00 0 1( | ) P X c c un??? ? ? ??? ? ? ? ? ?
1 0 10 1 1 10 0( | ) ( | )XP X c P n u n?? ? ?? ? ? ? ? ?? ??? ?? ? ? ? ? ? ? ? ?
? ?? ?221 0 1 0 01 1 1 1 1 1 20 01 0u u n u u n n u u? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ??? ?? ?? ? ? ? ? ?? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? 1 00 0 1 1 0(2): ; : ; H H? ?? ? ? ? ??? ? ? 00 0( | ) P X c c un??? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
? ?? ?0 1 10 1 10 0220 1 0 1 01 1 1 1 1 20 01 0( | ) ( | )XP X c P n u nu u n u u n n u u?? ? ? ? ? ?? ? ?? ? ? ? ? ?? ?? ? ? ? ?? ?? ?? ? ? ? ?? ?? ? ? ? ? ? ? ? ?? ?? ? ? ? ? ? ? ?? 10.解：
? ?2 2 2 20 1 0~ (0, ), : 9; : 3.319, 4 , 17 X N H H K s n ? ? ? ? ? ? ? ?
222~ ( ).nsn ??
? ?? ?2 22 222 217 17 4 17 17 44 9 7.304 0.0259 9 9 917 17 44 3.319 1 20.488 1 0.75 0.253.319 3.319s sP s P PsP s P? ?? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ?? ? 11.解：
0 1 0 213: 1; : 2, , 2.4H H K X nX? ?? ?? ? ? ? ?? ?? ? 1 21 21,0 , 11 ( ;1) 1. ~ (0,1), ( , )0,x xf x X U f x x ?? ? ?? ? ? ??時(shí)，其他 212 1 2 1 23 1431 ( , ) 0.25 0.75ln0.75.4xxP X f x x dx dxX? ??? ?? ? ? ? ? ?? ?? ??? 1 2 1 21 22 ,0 1 4 ,0 , 12 ( ;2) . ( , )0, 0,x x x x x xf x f x x ?? ? ? ? ? ?? ? ?? ?? ?時(shí)，其他 其他 212 1 2 1 23 143 9 92 ( , ) ln0.75.4 16 8xxP X f x x dx dxX? ??? ?? ? ? ? ? ?? ?? ??? 12 解：
20 0 1 1 1 0~ ( , ), : ; : ,( ) X N H H ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
? ?001/ / /X c cP X c Pn n n?? ? ? ?? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ??? ? ? ?? ? ? ? ? ?1 1 0 0, ,/cu c u K X cn n? ????? ?? ? ? ? ?
0 0 1 0: ; : H H ? ? ? ? ? ?
? ? ? ?00 0/ / /X c cP X c P X c Pn n n?? ? ? ? ?? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ??? ? ? ?? ? ? ? ? ?0 0, ,/cu c u K X cn n? ????? ? ? ? ?
13. 解：
2~ ( , ) X N ? ?
2 2 2 20 0 1 0(1) : ; : ,( ) H H ? ? ? ? ? ? ? 已知
2 2 2202 2 20 0, , ( )s ns nsH c n ?? ? ?? ?? ? ?? ?? ?0在 成立下 拒絕域選擇為K
2 22 21 12 20 01( ). ( )ns sP nc nc n nn? ?? ? ?? ?? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?0K
2 2 2 20 0 1 0(2) : ; : ,( ) H H ? ? ? ? ? ? ? 未知
? ?? ? ? ?22202 202 22 20 02 201, , ( 1)1 1, ,n s sH c nn s n sH? ?? ?? ?? ?? ? ?? ? ? ?? ?? ?? ?? ? ?0在 成立下 拒絕域選擇為K 未知在 成立時(shí) ? ?? ?? ?? ?2 22 201 11 1n s n sP n c P n c ?? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ?22 2 21 1 1201 11 ( 1) ( 1), ( 1)1 1sn c n c n nn n? ? ?? ? ??? ? ?? ?? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ?? ?? ?? ?0K
14 解：
2 21 2 0 1 2 1 1 2~ ( , ), ~ ( , ), : ; : , 1 5, 2 4 X N Y N H H n n ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
2 21 1 2 21 /2 1 21 2( 1) ( 1)2.3238, ( 2) 2.36462wn s n ss t n nn n? ?? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ?0 1 /2 1 2 1 2, ( 2) 1/ 1/ 3.6861,wK x y c c t n n s n n? ?? ? ? ? ? ? ? ?
03.5 , , . x y c H ? ? ? 接受 認為沒(méi)有差別
15 解：
2 21 2 0 1 2 1 1 2~ ( , ), ~ ( , ), : ; : , 1 5, 2 5 X N Y N H H n n ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
2 21 1 2 21 21 2( 1) ( 1)2.2136, ( 2) 1.86,2wn s n ss t n nn n?? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ?0 1 /2 1 2 1 2, ( 2) 1/ 1/ 1.6, 3.5wK x y c c t n n s n n x y c? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
接收0H ，認為甲比乙強度要高 16 解：
2 2 2 2 2 21 2 0 1 2 1 1 2 1 22 2~ ( , ), ~ ( , ), : ; : , 8, 90.0955, 0.0261X YX N Y N H H n ns s? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ?
2 20 1 22 2, ( 1, 1) 0.2684, 3.6588 .X XY Ys sK c c F n n F cs s?? ?? ? ? ? ? ? ? ? ?? ?? ? 接收0H ，認為乙精度高 17 解:：
2 21 1 2 2 0 1 2 1 1 2 1 2~ ( , ), ~ ( , ), : ; : , 8 . X N Y N H H n n n ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
? ?221 /211, 320, 102200, 319.69, ( 1) 2.36461nZ ZiZ X Y z s z z s t nn? ??? ? ? ? ? ? ? ? ??? ? ?0 1 /2, ( 1) 2.3646 319.69 2.8284 2138,ZK z c c t n s n? ?? ? ? ? ? ? ? ?
320 z c ? ?
接收，認為無(wú)顯著(zhù)差異 18.解：
2 21 1 2 2 0 1 2 1 1 2 1 2~ ( , ), ~ ( , ), : ; : , 4 . X N Y N H H n n n ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
? ?221 /211, 1.15, 9.0233, 3.0039, ( 1) 3.18241nZ ZiZ X Y z s z z s t nn? ??? ? ? ? ? ? ? ? ??? ? ?0 1 /2, ( 1) / 3.1824 3.0039/ 2 4.78, 1.15ZK z c c t n s n z c? ?? ? ? ? ? ? ? ? ?
0 1 2, . H ? ? ? 接受 認為
2 2 2 2 2 21 1 2 2 0 1 2 1 1 2 1 22 22 202 2~ ( , ), ~ ( , ), : ; : , 41.5467, 6.4367, 1 2X XX YY YX N Y N H H n n ns ss s K c cs s? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ?? ? ? ? ?? ?? ?或 /2 1 2 1 /2 1 21 ( 1, 1) 0.0648, 2 ( 1, 1) 15.4392, c F n n c F n n? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?
22 20 1 220.2403, , .XYsF Hs? ? ? ? ? 接受 認為
19.解：
0 0 1 0~ (1, ), : 0.02; : 0.02, 200. 0.05 X B p H p p H p p n ? ? ? ? ? ? ?
? ?0 00 0 1(1 ), 1.65 0.0099 0.0163,p pK x p c c un? ??? ? ? ? ? ? ?
0 00.01 , , 0.02. x p c H p ? ? ? ? 拒絕 不能認為
00 02) ( ) 1 ( ) 1 ( )/ 200 / 200x p cP x p c P x p c Ps s?? ? ? ? ? ? ? ? ?
0.0163(1 ) 0.2078,1 1 0.6711 / 200 0.2078/ 200n cs x xn s? ? ? ?? ? ? ?? ? ?? ?? ? ? ??? ? ? ?
20.解：
0 0 1 0: ( ) ( ), ( ) ( ), 200. 0.10 H F x F x H F x F x n ? ? ? ? ?
4001ˆ, 0.805.jjH X jn? ??? ? ??若 成立
? ?ˆ1ˆ ˆ, , 1,2,3,4;!jj jp P x j e j p jj j?? ???? ? ? ? ? ?
ˆ0.8050 1 0 2 143 2 4 3 500.8050.4471, 0.805* 0.3599, * 0.144920.805 0.805* 0.0389, * 0.0078, 1 0.0014,3 4jjp e e p p p pp p p p p p? ? ??? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?? ? ?252 2 21 0.95002.1596 ( 1) (4) 9.848, ~ ( ), 0.805.j jnjjnpm rnpH X P??? ? ?? ????? ? ? ? ? ? ???不拒絕 認為 且 21.解：
? ?20 0 1 08 82201 1: ~ ( , ), ( ) ( ), ( ) ( ), 100. 0.05, 2.1 1ˆ ˆ , 11.0024, 0.0010188 8j j j jj jH X N F x F x H F x F x n rH X x x? ? ?? ? ? ? ?? ?? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ?若 成立 ˆ 11.0024ˆ 0.00319, ~ (0,1)ˆ 0.00319X XN???? ?? ?
0 810.93 11.0024 11.09 11.00242.2689, , 2.74520.00319 0.00319x x? ?? ? ? ? ? ? ?1 1 0 8 8 7282 2 21 0.951( ) ( ) 0.0386, , ( ) ( ) 0.0140;13.825 ( 1) (5) 11.07j jnjjp x x p x xnpm rnp??? ? ????? ?? ? ?? ?? ??? ? ? ? ? ? ?? 20 ,~ ( , ). H X N ? ? 拒絕 不能認為
22.解：
0 0 1 000: ( ) ( ), ( ) ( ), 10, 100. 0.051ˆ , 0.1.NjjH F x F x H F x F x N nXH p jN N???? ? ? ? ?? ? ??若 成立
0 0 10 1 1 9 2 2 80 10 1 10 2 103 3 7 10 10 0 103 10 10 10(1 ) , 0,1, ,10;ˆ ˆ ˆ (1 ) 0.3487, (1 ) 0.3874, (1 ) 0.1937ˆ ˆ (1 ) 0.0574, (1 ) 10 ,j j N jj Np C p p jp C p p p C p p p C p pp C p p p C p p??? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?2102 2 21 0.9505.1295 ( 1) (9) 16.92j jnjjnpm rnp??? ? ????? ? ? ? ? ? ?? 0 ,~ (10,0.1). H X B 不拒絕 認為
23.解：
0 1: ( ) ( ), : ( ) ( ), 10, 100. 0.05X Y X YH F x F x H F x F x N n ? ? ? ? ? ?
23, 45, 68, min( , ) 23 (68) 25 n n n n n s n n s ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ?
0 ,. H B 拒絕 認為 的畫(huà)面好
24.解：
0 1: ( ) ( ), : ( ) ( ),. 0.05, 12,X Y X YH F x F x H F x F x n m ? ? ? ? ? ?
0.975150112, ~ (150,300), ~ (0,1), 2.194 1.96300TT T N U N u u?? ? ? ? ?
0 ,. H 拒絕 認為指標分布不相同
25．解：
0 1: ( ) ( ), : ( ) ( ),. 0.05, 9, 9X Y X YH F x F x H F x F x n m ? ? ? ? ? ?
1 2 073, (9,9) 66, (9,9) 105, , T t t T K ? ? ? ?
0 ,. H 接受 認為勞動(dòng)生產(chǎn)率相同
26.解：
0 1: ( ) ( ), : ( ) ( ),. 0.05, 6, 8,X Y X YH F x F x H F x F x n m ? ? ? ? ? ?
1 2 049, (6,8) 32, (6,8) 58, , T t t T K ? ? ? ?
0 ,. H 接受 認為來(lái)自同一總體
27.解：
0 0 1 0: ( ) ( ), : ( ) ( ), 109, 0.05, H F x F x H F x F x n ? ? ? ? ?
22, 0,1,2, ( ; ) (1 ) , ~ (2,1 )x x xx f x p C p p X B p?? ? ? ? 令
2 22 21 1(1 ) (1 )i i i in nx x x x n nx nxi iL C p p p p C? ?? ?? ? ? ?? ? ? ?2ln 2 ln ln(1 ) lnixL n nx p nx p C ? ? ? ? ? ?
0 1 22 10*0 53*1 46*2ˆ ˆ 0, 1 . 1.33, 0.33491 2 109ˆ ˆ ˆ 0.1121, 0.4454, 0.4424,d n nx nx xp x pdp p pp p p? ? ?? ? ? ? ? ? ? ??? ? ? ? ?2102 2 21 0.950ˆ0.9134 ( 1) (9) 3.8414ˆj jnjjnpm rnp??? ? ????? ? ? ? ? ? ?? 0 ,. H 不拒絕 認為與模型相符
28.解：
? ?0 12102 2 21 0.950: ( , ) ( ) ( ), : ( , ) ( ) ( ), 2, 2, 0.05,ˆ62.64 ( 1) (1) 3.84ˆX Y X Yj jnjjH F x y F x F x H F x y F x F x r snpm rnp???? ? ???? ? ? ? ??? ? ? ? ? ? ?? 0 ,. H 拒絕 認為聾啞與性別相關(guān)
29.解：
0 1: ( , ) ( ) ( ), : ( , ) ( ) ( ), 3, 3, 0.05,X Y X YH F x y F x F x H F x y F x F x r s ? ? ? ? ? ?
? ?2102 2 21 0.950ˆ13.59 ( 1) (4) 9.488ˆj jnjjnpm rnp??? ? ????? ? ? ? ? ? ?? 0 ,. H 拒絕 認為療效與年齡相關(guān)
30．解 由題意知，0 10.03, 0.12, 0.05, 0.1 p p ? ? ? ? ? ?
代入式子 01( ) 1( )L pL p??? ? ???? ( ) L p 選擇式子 ( ) ( ) ( )(1 ) (1 )d np d npL P X d P Unp p np p?? ?? ? ? ? ?? ? 計算求得 66, 4 n d ? ? ，于是抽查方案是：抽查 66 件產(chǎn)品，假如抽得不合格產(chǎn)品 4 X ? ，則接收這批產(chǎn)品，不然拒絕這批產(chǎn)品。
31.解：
?。?）解方程組 01( ) 1( )LL? ?? ?? ? ????
得? ?20 1u un? ??? ?? ??? ? ?? ??? ? 1 0u ucu u? ?? ?? ? ???
?。?）若2? 未知，用*2M 估量2? ，從而得出公式? ?2*20 1u u Mn? ?? ?? ??? ? ?? ??? ?1 0u ucu u? ?? ?? ? ???
習題四 回歸分析
1 解：利用最小二乘法得到正規方程：
10 1ˆˆ ˆxyxxlly x?? ??????? ??其中2 21 1,n nxy i i xx ii il x y nxy l x nx? ?? ? ? ?? ? 代入樣本數據得到：1 0ˆ ˆ0.0589, 24.6286 ? ? ? ?
用 R 所以：樣本線(xiàn)性回歸方程為：
ˆ 24.6286 0.0589 y x ? ?
2 證實(shí)：
1）
因為21 1ˆ,xxNl?? ?? ?? ?? ?，所以 ? ?1 1ˆ0,1xxl N? ??? 222( 2)ESn ??? 又因為：
，? ?222ˆ 2( 2)nn????? 故 。
? ?? ?? ?1 122ˆ2ˆ 22xxlt nnn? ????????所以：， ? ?1 1ˆ2ˆxxl t n? ???? ? ? 1 1ˆ1 p c ? ? ? ? ? ? ? ，1 1ˆ1ˆ ˆxxc lp? ??? ?? ??? ?? ? ?? ?? ?? ? ? ?12ˆ2xxt nl???? c= ， ? ?112ˆˆ2xxt nl????? ? 所以：
命題得證。
2）同理得證。
3 解：利用最小二乘法得到正規方程：
10 1ˆˆ ˆtyttlly t?? ??????? ??其中2 21 1,n nty i i tt ii il t y nty l t nt? ?? ? ? ?? ? 代入樣本數據得到：
1 0ˆ ˆ0.0472, 0.3145 ? ? ?? ?
所以：樣本線(xiàn)性回歸方程為：
ˆ 0.3145 0.0472 y t ? ?
拒絕域形式為：
??21ˆc ? ?
? ?20.95ˆ 1,6, 0.0058ttFc cl?? ? 而21ˆ0.0022 ? ? ，所以是顯著(zhù)。
4 解：
1）利用最小二乘法得到正規方程：
10 1ˆˆ ˆxyxxlly x?? ??????? ??其中2 21 1,n nxy i i xx ii il x y nxy l x nx? ?? ? ? ?? ? 1 0ˆ ˆ2.0698, 3.0332 ? ? ?? ?
所以：樣本線(xiàn)性回歸方程為：
ˆ 3.0332 2.0698 y x ? ? ，22ˆ 0.002015ES? ? ?
2）第二題已證：1? 置信區間為 ? ?112ˆˆ2xxt nl????? ? ，所以代入值計算得到：? ?12.1825, 1.9571 ? ? ? ? ，0? 置信區間為 ? ?20121ˆˆ 2xxxt nn l?? ??? ? ?，代入數值計算得到：
? ?02.95069,3.1160 ? ? 。
?。?）12ˆ( 2),xxc t nl???? ?經(jīng)過(guò)計算，顯著(zhù) 。
?。?）? ?221(0,( 1 ) )xxx xy Nl n??? ?
? ?2ˆ 1( ) 1 (0,1)( )xxx x y ys x Nl n s x ?? ?? ? ? 令 ，
222ˆ ˆ ( 2)( 2), ( 2)ˆ ( )n y yn t ns x??? ?? ?? ?
1 12 2ˆ ˆ ˆ ˆ ( ( ) ( 2), ( ) ( 2)) y y s x t n y s x t n? ?? ?? ?? ? ? ? ?
5)解方程：
1 12 2ˆ ˆ ˆ ˆ ( ) 1.68 ( ) 1.08 y s x t y s x t? ?? ?? ?? ? ? ? ，
? 最后求得：
x (0.7802,0.8172)
5 證實(shí)：
? ? ? ?? ? ? ?? ?0 1 0 0 1 1 1 0 1 1ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆcov , E y x ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
21 1 0 1 1 1 1 0 1ˆ ˆ ˆ ˆ( ) E y x y x ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
2 21 1 0 1 1 1 0 1ˆy xE y x ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
? ?2 21 1ˆx E ? ? ? ? ?
22 2 2 21 1 1 1ˆ ˆ ˆ( )xxE D El?? ? ? ? ? ? ? ?
若要? ?0 1ˆ ˆcov , 0 ? ? ? ，那么 0 x ? 。
6 解：
1）最小化殘差平方和：2 20 1[ ( )]E i iS y x x ? ? ? ? ? ?? 0 1? ? 求 ， 的偏導數
? ? ? ?2 20 1 0 10 12 ( ) 0 2 ( ) ( ) 0E Ei i i i iS Sy x x y x x x x ? ? ? ?? ?? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ?? ?，0 1ˆ ˆ,xyxxlyl? ? ? ? 得到：
2）證實(shí)：
? ? ? ? ? ?2 22 21 1 1 1ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ( ) ( ) 2 ( )n n n ni i i i i i i i i ii i i iy y y y y y y y y y y y y y? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?
? ?0 11ˆ ˆˆ ˆ ˆ ( ) ( ) ( ) 0nxyi i i i i iixxly x x y x x y y y yl? ??? ? ? ? ? ? ? ? ??其中：
將其代入，得到
? ?22 21 1ˆ ˆ ( ) ( )n ni i i ii iy y y y y y? ?? ? ? ? ? ?? ? 3）20ˆ~ (0, ),iN y ? ? ? ? ，20 0ˆ~ ( , ) Nn?? ? ?
同理，易得21 1ˆ~ ( , )xxNl?? ? ?
7 解：1）令 , v x y a bv ? ? ? ，依據最小二乘法得到，正規方程：
10 1ˆˆ ˆvyvvlly v?? ??????? ??，最終得到1 0ˆ ˆ1.1947, 106.3013 ? ? ? ?
所以：樣本線(xiàn)性回歸方程為：
ˆ 106.3013 1.1947 y x ? ? ， 0.8861 R ?
2）令 ln , v x y a bv ? ? ?
10 1ˆˆ ˆvyvvlly v?? ??????? ??，得到1 0ˆ ˆ1.714, 106.3147 ? ? ? ?
所以：樣本線(xiàn)性回歸方程為：
ˆ 106.3147 1.714ln y x ? ? ， 0.9367 R ?
3）令1, v y a bvx? ? ?
10 1ˆˆ ˆvyvvlly v?? ??????? ??，得到1 0ˆ ˆ111.4875, 9.833 ? ? ? ??
所以：樣本線(xiàn)性回歸方程為：
ˆ 111.4875 9.833 y x ? ? ， 0.987 R ?
綜上，3R 相關(guān)最大
8 解：
? ? ? ?1 2 3 1 2 1 2 31 0, , , 2 1 , ( , ) , , ,1 2T TTY y y y X ? ? ? ? ? ? ?? ?? ?? ? ? ? ?? ?? ?? ? Y X ? ? ? ?
222T T T TES Y X Y Y Y X X X ? ? ? ? ? ? ? ? ?
20ES???? ? ?1ˆT TX X X Y ???
1 1 2 3 2 2 31 1ˆ ˆ( 2 ), ( )6 6Y Y Y Y Y ? ? ? ? ? ? ? ?
9 解：
由多元線(xiàn)性模型得：? ?2140,Y XI? ?? ?? ? ?????? ? ? ? ? ? ?0 1 2 1 2 1 2, , , , , ,T T Tn nY y y y ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
? ?11 41 491 45 581 51 621 52 711 59 621 62 741 69 71ˆ1 72 741 78 791 80 841 90 851 92 941 98 911 103 95T TX X X X Y ??? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ? ? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ? 代入數值得到：1 2ˆ 15.9384 0.5223 0.4738 y x x ?? ? ?
用 R 分析得 Call: lm(formula = y ~ x1 + x2, data = weight)
Residuals:
Min
1Q
Median
3Q
Max
-2.7400 -1.1550 -0.1893
0.8862
3.9542
Coefficients:
Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)
(Intercept) -15.93836
3.85644
-4.133
0.00166 **
x1
0.52227
0.08532
6.121 7.51e-05 *** x2
0.47383
0.12243
3.870
0.00261 **
--- Signif. codes:
0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1
Residual standard error: 1.81 on 11 degrees of freedom Multiple R-Squared: 0.9905,
Adjusted R-squared: 0.9887
F-statistic: 570.5 on 2 and 11 DF,
p-value: 7.757e-12 一樣得到：1 2ˆ 15.9384 0.5223 0.4738 y x x ?? ? ?
10 解：
用 R 分析得 Call: lm(formula = y ~ x1 + x2, data = demand)
Residuals:
Min
1Q
Median
3Q
Max
-8.4750 -5.3674 -0.4031
4.1193
9.9523
Coefficients:
Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)
(Intercept) 111.69182
23.53081
4.747
0.00209 ** x1
0.01430
0.01113
1.284
0.24000
x2
-7.18824
2.55533
-2.813
0.02603 *
--- Signif. codes:
0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1
Residual standard error: 7.213 on 7 degrees of freedom Multiple R-Squared: 0.8944,
Adjusted R-squared: 0.8643
F-statistic: 29.65 on 2 and 7 DF,
p-value: 0.0003823
得到回歸方程：1 2ˆ 111.6918 0.0143 7.1882 y x x ? ? ?
11 解：
? ? ? ? ? ?0 1 2 1 2 1 2, , , , , ,T T Tn nY y y y ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
1 22 2 21 11 1 1TnnX x x xx x x? ?? ??? ?? ?? ?
? ?1ˆT TX X X Y ???
2）? ? ? ? ? ?2 22 21 1 1 1ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ( ) ( ) 2 ( )n n n ni i i i i i i i i ii i i iy y y y y y y y y y y y y y? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?11ˆˆ ˆ ˆ ( ) 0nT Ti i iix x x x y y y y ???? ? ? ??其中:y=x ，將其代入，得到
? ?22 21 1ˆ ˆ ( ) ( )n ni i i ii iy y y y y y? ?? ? ? ? ? ?? ?
12 解：1)令21 2, x x x x ? ? ， 用 R 分析得：
Call: lm(formula = y ~ x1 + x2, data = demand)
Residuals:
1
2
3
4
5
6
7
8
1.18333 -1.55238 -0.80714
0.61905
0.92619
0.01429 -0.21667 -0.16667
Coefficients:
Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)
(Intercept)
3.41667
0.90471
3.777
0.01294 *
x1
2.72619
0.60377
4.515
0.00631 ** x2
-0.39048
0.08293
-4.708
0.00530 ** --- Signif. codes:
0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1
Residual standard error: 1.075 on 5 degrees of freedom Multiple R-Squared: 0.816,
Adjusted R-squared: 0.7424
F-statistic: 11.08 on 2 and 5 DF,
p-value: 0.01453 求得回歸方程為：2ˆ 3.4167 2.7262 0.3905 y x x ? ? ?
2) 拒絕域形式為：
??21ˆc ? ?
? ?20.95 21ˆ 1,6ˆxxFcl?? ? ? 而 ，所以是顯著(zhù)。
3)將 5.5 x ? 代入回歸方程，得到 ˆ 6.5982 y ?
13 解 ? ? ? ? ? ?1 2 1 2 1 2, , , , ,T T TnY y y y ? ? ? ? ? ? ? ? ?
11 12 121 22 2Tnnx x xXx x x? ?? ??? ? 222T T T TES Y X Y Y Y X X X ? ? ? ? ? ? ? ? ?
20ES????，得到 ? ?1ˆT TX X X Y ???
習題五 方差分析和試驗設計
1.解：
?、儆肦單原因方差分析表以下：
Df
Sum Sq
Mean Sq
F value
Pr(>F)
A
4
227680
56920
3.9496
0.02199 * Residuals
15
216175
14412
--- Signif. codes:
0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1
因為 p=0.02199<0.05,所以認為不一樣日期生產(chǎn)質(zhì)量有顯著(zhù)差異。
?、谟?SPSS 分析得：
方差起源 自由度 平方和 均方 F值 P值 原因A 誤差 4 15 227680 216175 56920 14412 3.9496
0.02199 *
ANOVA 質(zhì)量
Sum of Squares df Mean Square F Sig. Between Groups 227680.000 4 56920.000 3.950 .022 Within Groups 216175.000 15 14411.667
Total 443855.000 19
因為 p=0.022<0.05,所以認為不一樣日期生產(chǎn)質(zhì)量有顯著(zhù)差異。
?。?解：
?、儆?R 單原因方差分析表以下：
Df
Sum Sq
Mean Sq
F value
Pr(>F) A
3
0.0083467
0.0027822
2.4264
0.1089 Residuals
14
0.0160533
0.0011467
因為p=0.1089>0.05,所以認為不一樣日期生產(chǎn)質(zhì)量無(wú)顯著(zhù)差異。
?、谟?SPSS 分析得：
ANOVA 得率
Sum of Squares df Mean Square F Sig. Between Groups .008 3 .003 2.426 .109 Within Groups .016 14 .001
Total .024 17
因為 p=0.109>0.05,所以認為不一樣催化劑下平均得率無(wú)顯著(zhù)差異。
3. 解：
用SPSS雙原因方差分析表以下：
方差起源 自由度 平方和 均方 F值 P值 原因A 誤差 3 14 0.0083467 0.0160533 0.0027822 0.0011467 2.4264
0.1089
Tests of Between-Subjects Effects Dependent Variable:沖擊值
Source Type I Sum of Squares df Mean Square F Sig. Model 1127.938 a
6 187.990 213.962 .000 X 1067.157 4 266.789 303.649 .000 Y 60.782 2 30.391 34.590 .001 Error 5.272 6 .879
Total 1133.210 12
a. R Squared = .995 (Adjusted R Squared = .991)
因為0.000<0.05,0.001<0.05，所以認為含銅量和試驗溫度會(huì )對鋼沖擊值產(chǎn)生顯著(zhù)差異。
4.解：
用R方差分析以下：
Df
Sum Sq
Mean Sq
F value
Pr(>F) M
3
2.750
0.917
0.5323
0.6645282 B
2
27.167
13.583
7.8871
0.0023298 ** M:B
6
73.500
12.250
7.1129
0.0001922 *** Residuals
24
41.333
1.722 --- Signif. codes:
0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1
因 為*0 . 6 6 4 5 0 . 0 5 , 0 . 0 0 2 3 3 0 . 0 5 , 0 . 0 0 1 9 2 0 . 0 5M B M Bp p p ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
所以操作工之間差異顯著(zhù)；機器之間差異不顯著(zhù)；它們交互作用顯著(zhù)。
方差起源 自由度...
