《數理金融理論與模型》習題解答

　《數理金融理論與模型》習題解答 第一章 金融市場(chǎng) 第一章 練習題 解答 1. 已知一家上市公司在下一年度分紅為 2 元/股，該公司業(yè)績(jì)年均增長(cháng)率為 5%，并且紅利分配以同樣的增長(cháng)率增加，并且假設每年的貼現率都為 10%，那么這家上市公司現在的股票內在價(jià)值是多少？ 解答：

　? ?? ?11 11 1 2401 1 10% 5%1nnnn nd i d i dIVi r r ir?? ?? ?? ?? ?? ? ? ? ?? ?? ? ? ?? ? ?? ?

　2. 下表給出了“2005 年記賬式(四期)國債”的基本信息，假設 2010 年 3 月 19 日觀(guān)察到的到期收益率曲線(xiàn)為水平直線(xiàn) 4%，則問(wèn)這一天“2005 年記賬式(四期)國債”的價(jià)值應該是多少？ 債券名稱(chēng)

　2005 年記賬式(四期)國債

　債券簡(jiǎn)稱(chēng)

　05 國債(4)

　債券代碼

　010504

　發(fā)行額(億元)

　339.20

　發(fā)行價(jià)(元)

　100.00

　發(fā)行 方式

　利率招標

　期限(年)

　20.00

　發(fā)行票面利率(%)

　4.11

　上市場(chǎng)所

　上海證券交易所

　計息日

　2005-05-15

　到期日

　2025-05-15

　發(fā)行起始日

　2005-05-15

　發(fā)行截止日

　2005-05-19

　發(fā)行單位

　財政部

　還本付息方式

　半年付息

　到期收益率(%)

　3.8903

　剩余期限( 年)

　15.0795

　發(fā)行對象

　在證券登記公司開(kāi)立股票和基金賬戶(hù),在國債登記公司開(kāi)立一級債券賬戶(hù)的各類(lèi)投資者。

　解答：

　? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?140.0795 0.0795 15.07951140.0795 0.0795 15.079511100*1 1 14.11% 4.11% 104.11%100* 106.251 3.8903% 1 1nnnnc c cDirtyPricer r rr r????? ??? ? ? ? ?? ? ? ? ?? ?? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ?? ??? 100* *(1 0.0795) 106.25 3.78 102.47 CleanPrice DirtyPrice c ? ? ? ? ? ?

　3. 請簡(jiǎn)要敘述利用復制技術(shù)與無(wú)套利原理對金融衍生品定價(jià)的原理與步驟，認真體會(huì )為什么由這個(gè)方法定出來(lái)的價(jià)格稱(chēng)為無(wú)套利價(jià)格。并仔細回顧本章中如何利用復制技術(shù)和無(wú)套利原理進(jìn)行衍生品定價(jià)，以及推導期權的價(jià)格性質(zhì)。

　解答：

　 見(jiàn)第二節內容

　4. 請利用構造股票和儲蓄存款組合復制遠期合約的方式，以及無(wú)套利原理證明股票遠期的定價(jià)公式，請分別就股票不支付紅利與支付紅利的情形構造組合，并給出無(wú)套利定價(jià)公式。

　解答：

　Case 1 ：無(wú)紅利支付情形：

　組合一：一個(gè)遠期合約多頭； 組合二：一份不支付紅利的標的股票多頭和存款( )·r T tK e ??? （即借款( )·r T tK e ??）； 記兩個(gè)組合的價(jià)值函數分別為1t? 和2t? ，則顯然兩個(gè)組合在 T 時(shí)刻的價(jià)值為T(mén)S K ? ，即 T 時(shí)刻的價(jià)值可以完全復制1 2T T? ? ? 。由無(wú)套利原理可知對任意 t T ? ，都有1 2t t? ?? ，即：

　( )·r T tt tf S K e ??? ?

　由于簽訂遠期合約不需要支付任何成本，當時(shí)也沒(méi)有任何收入，所以這個(gè)合約在當時(shí)的價(jià)值應該等于零，也就是說(shuō)對于任意 t T ? ，都有( )· 0r T tt tf S K e ??? ? ? ，從而可以得到遠期執行價(jià)格的定價(jià)公式為：

　( )· r T tt tK S e??

　Case 2 ：支付連續紅利 q 情形：

　組合一：一個(gè)遠期合約多頭； 組合二：( ) q T te ??份支付紅利的標的股票多頭和存款( )·r T tK e ??? （即借款( )·r T tK e ??）； 記兩個(gè)組合的價(jià)值函數分別為1t? 和2t? ，則顯然組合一在 T 時(shí)刻的價(jià)值為T(mén)S K ? 。由于股息連續累計，t 時(shí)刻的 1 份股票在 T 時(shí)刻的價(jià)值為( ) q T tTe S?，從而組合二在 T 時(shí)刻的價(jià)值為 ? ?( ) ( )*q T t q T tT Te e S K S K? ? ?? ? ? ，即 T 時(shí)刻的價(jià)值可以完全復制1 2T T? ? ? 。由無(wú)套利原理可知對任意 t T ? ，都有1 2t t? ?? ，即：

　( ) ( )·q T t r T tt tf e S K e? ? ? ?? ?

　由于簽訂遠期合約不需要支付任何成本，當時(shí)也沒(méi)有任何收入，所以這個(gè)合約在當時(shí)的價(jià)值應該等于零，也就是說(shuō)對于任意 t T ? ，都有( ) ( )· 0q T t r T tt tf e S K e? ? ? ?? ? ? ，從而可以得到遠期執行價(jià)格的定價(jià)公式為：

　? ? ( )· r q T tt tK S e? ??

　 5. 假設投資者在 2010 年 3 月 12 日簽訂一份股票遠期合約，合約的到期日為 2010 年 9 月12 日，標的股票當日價(jià)格為 5 元每股，若一年期銀行存款利率為單利 3%，則這份合約的執行價(jià)格應該是多少？若到 2010 年 7 月 12 日股票價(jià)格漲到了 6 元，而一年期銀行存款利率仍然為 3%，那么在這一天該遠期合約多頭的價(jià)值是多少？

　解答：

　2010 年 3 月 12 日：

　對應 t=0，此時(shí) S0=5，r=3%，T=0.5，從而這份遠期合約的執行價(jià)格應該是：

　0.03*0.50 0 ·5 5.0756rTK S e e ? ? ? ?

　2010 年 7 月 12 日：對應 t=1/12，此時(shí) St=6，r=3%，T-t=5/12，從而次遠期合約多頭價(jià)值為：

　( ) 0.03 5/12· 6 5.0756 0.9875r T tt tf S K e e? ? ? ?? ? ? ? ? ?

　6. 假設 2010 年 6 月 17 日的半年期與一年期無(wú)風(fēng)險利率分別為單利 2.5%與 3%，則這一天確定的 3×6 遠期單利是多少？ 解答：

　以連續復利表示的兩個(gè)即期利率為：

　? ?3121312ln 1 2.5%2.4922% r? ?? ?

　? ?6122612ln 1 3%2.9777% r? ?? ?

　則連續復利表示的 3×6 遠期利率是：

　6 312 12126 312 122.9777% 2.4922%3.4632% r? ? ?? ?? 則 3×6 遠期單利是：

　3123.4632%1231213.4782%eR??? ?

　7. 請利用復制技術(shù)和無(wú)套利原理證明歐式看漲期權與歐式看跌期權價(jià)格關(guān)于執行價(jià)格分別呈現單調遞減與單調遞增的關(guān)系。

　解答：

　只證明看漲期權：不妨設1 2K K ?

　組合一：一個(gè)執行價(jià)格為1K 看漲期權多頭 ? ?1 tC K ； 組合二：一個(gè)執行價(jià)格為2K 看漲期權多頭 ? ?2 tC K ； 則 ? ?211 T TS K ? ? ? ， ? ?222 T TS K ? ? ? 。

　分一下三種情形：1 TS K ? ，2 1 TK S K ? ? 和2 TS K ? 分別討論，均可得：

　1 2T T? ? ?

　即

　? ?1 21T T? ?? ? P ，從而 1 2t t? ?? ，即 ? ? ? ?1 2 t tC K C K ?

　8. H 公司和 L 公司都需要從銀行 B 借入期限為 3 年，本金為 1000 萬(wàn)人民幣的貸款，銀行B 向兩家公司提供的貸款利率為：

　 固定利率 浮動(dòng)利率 H 公司 5.0％ SHIBOR+0.2% L 公司 6.5％ SHIBOR+0.7%

　H 公司需要的是浮動(dòng)利率貸款，L 公司需要的是固定利率貸款。請設計一個(gè)利率互換，其中銀行 B 作為中介獲得的報酬是 0.1％的利差，而且要求雙方平分互換收益。

　解答：

　H 公司需要的是浮動(dòng)利率貸款，能夠獲得的浮動(dòng)利率是 SHIBOR+0.2% L 公司需要的是固定利率貸款，能夠獲得的固定利率是 6.5％ 總的利率是(SHIBOR+0.2%)+6.5％=SHIBOR+6.7% 如果兩公司利用各自的比較優(yōu)勢，能夠獲得的總利率是：

　(SHIBOR+0.7%)+5.0％= SHIBOR+5.7% 因此，利用比較優(yōu)勢，如果 H 公司以固定利率借款，L 公司以浮動(dòng)利率借款，然后二者進(jìn)行利率互換，可以節省 1%的總利率。這個(gè)節省下來(lái)的成本 0.1％留給銀行 B，剩下的 0.9%二者平分，即都獲得 0.45%的成本節省。

　因此，利率互換合約設計如下：

　H 公司：

　以 5.0％固定利率借款，并且向公司 L 支付 SHIBOR 的利率； L 公司：

　以 SHIBOR+0.7%浮動(dòng)利率借款，并且向公司 H 支付 x%的利率； 因此，對于公司 H，有：

　? ?0.1%2SHIBOR SHIB 0. 5% 2% O 45 R % 0. % x ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ?

　?

　x%=5.3% 對于公司 L，有：

　? ?0.1%2SHIBOR 0.7% SHIBO 6.5% 0.45 R % % x ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ?

　 ?

　x%=5.3% 其中，等式右邊：

　粉色：做利率互換之前本來(lái)應該支付的 紅色：做利率互換兩公司享受的收益 藍色：做利率互換應該交給銀行 B 的收益（總共 1%，兩公司共同承擔）

　 9. H 公司希望以固定利率借入美元，而 L 公司希望以固定利率借入歐元，而且本金用即期匯率計算價(jià)值很接近。市場(chǎng)對這兩個(gè)公司的報價(jià)如下：

　 歐元 美元 H 公司 5.0％ 9.6% L 公司 6.5％ 10.0% 請設計一個(gè)貨幣互換，銀行作為中介獲得的報酬是 50 個(gè)基點(diǎn)，而且要求互換雙方平分互換收益，匯率風(fēng)險由銀行承擔。

　解答：

　H 公司需要的是以固定利率借入美元，能夠獲得的固定利率是 9.6%

　L 公司需要的是以固定利率借入歐元，能夠獲得的固定利率是 6.5％ 由于二者的本金在同一貨幣表示下相等，因此兩公司能夠獲得的總利率是：

　9.6%+6.5％=16.1% 如果兩公司利用各自的比較優(yōu)勢，能夠獲得的總利率是：

　10%+5.0％=15% 因此，利用比較優(yōu)勢，如果 H 公司以固定利率借入歐元，L 公司以固定利率借入美元，然后二者進(jìn)行貨幣互換，可以節省 1.1%的總利率。這個(gè)節省下來(lái)的成本 0.5％留給銀行，剩下的 0.6%二者平分，即都獲得 0.3%的成本節省。

　由于匯率風(fēng)險不需要這兩家公司承擔，從而后 進(jìn)行貨幣互換之后 H 公司支付 9.3% 的美元利率，L 公司支付 6.2% 歐元利率。

　。

　因此，貨幣互換合約設計如下：

　H 公司：

　以 5.0％固定利率借入歐元，期初向 L 公司以歐元本金換取等值美元，期末再換回本金； L 公司：

　以 10％固定利率借入美元，期初向 L 公司以美元本金換取等值歐元，期末再換回本金； 并且，H 公司，L 公司和銀行（中介）之間作如下互換：

　注意：H 公司和 L 公司分別都達到了各自的目的，并且都已需要的貨幣支付，沒(méi)有匯了 率風(fēng)向。銀行作為中介，賺取了 0.5% 的的收益，但是這是 1.2% 歐元利率減去 0.7%美 美這 元利率，這 0.5% 的收益包含這匯率風(fēng)險。

　10. 請比較 CDS 與 CSO 合約的不同，并且指出兩種合約在對沖違約風(fēng)險與利差風(fēng)險方面各自的優(yōu)勢。

　解答：

　信用違約互換 CDS 的標的是違約事件（Credit Events），只要規定的違約事件發(fā)生，CDS合約的賠付機制就啟動(dòng)，同時(shí)合約終止。而信用利差期權 CSO 的標的是信用利差（Credit Spread），當到期日標的利差達到執行利差時(shí)，就會(huì )有相應的支付。

　因此，CDS 保護的是違約事件所造成的風(fēng)險，而 CSO 保護的是信用利差變動(dòng)的風(fēng)險。

　11. 見(jiàn)下圖：

　解答：

　1）直接可證； 2）直接可證；

　12. 見(jiàn)下圖：

　解答：

　? ?? ?1110111iiiD g DPr gr????? ????

　13. 見(jiàn)下圖：

　解答：

　司 公司 A ：

　P 0 =24.25，D 0 =1.1，r=8.5%，從而由? ?0101 g D DPr g r g?? ?? ?可以解得 0 00 024.25 8.5% 1.13.8%24.25 1.1Pr DgP D? ? ?? ? ?? ? 司 公司 B ：

　g=3.8%，D 0 =2，r=8.5%，從而由? ?0101 g D DPr g r g?? ?? ?可以解得 ? ? ? ?0101 1 3.8% 244.178.5% 3.8%g D DPr g r g? ? ?? ? ? ?? ? ?元/股

　第 二章 章 效用理論 1. 參考書(shū)本相關(guān)內容。

　2. b) 令

　a * = infa{ax+(1-a)z ³ y,aÎ[0,1]) ，

　s = a * x+(1-a * )z 。如果

　 s > y ，根據性質(zhì)a)，存在一個(gè)

　 s 和

　 y 組成的復合隨機計劃嚴格優(yōu)于

　 y 。這與

　 a * 的定義矛盾。類(lèi)似的，當

　 y >s時(shí)，存在一個(gè)

　 y 和

　 s 的復合隨機計劃嚴格優(yōu)于

　 y ，也即存在

　 a¢ > a * 使得

　y > a¢x+(1-a¢)y 。這也與

　 a * 的定義矛盾。因此

　s ~ y

　c)

　 ap+(1-a)r > aq+(1-a)r > aq+(1-a)s

　d) 如 果

　 ax+(1-a)y > x， 則 因 為

　 x ~ y， 有

　 ax+(1-a)y > y。

　則

　 ax+(1-a)y > ax+(1-a)y ，矛盾。類(lèi)似的同樣能證明

　x > ax+(1-a)y 也會(huì )導致矛盾。因此

　x ~ ax+(1-a)y 。

　e)

　如果

　z ~ y ，則

　ax+(1-a)z ~ x ，

　 ay+(1-a)y ~ y ，

　ax+(1-a)z ³ x ³ y ³ ay+(1-a)z 。類(lèi)似的，可以證明

　ay+(1-a)z ³ ax+(1-a)z 。

　如果

　 z > y ，則

　my+(1-m)z > y,"mÎ(0,1] 。此外，

　my+(1-m)z > x ，因為否則會(huì )有

　 y ³ x ³ my+(1-m)z從 而 導 致 矛 盾 。

　假 設

　 ax+(1-a)z > ay+(1-a)z， 則 因 為

　 a(my+(1-m)z)+(1-a)z > ax+(1-a)z > ay+(1-a)z， 存 在

　m*£1 使 得

　 a(m* y+(1-m * )z)+(1-a)z > ay+(1-a)z。由于

　 z > y ，這與性質(zhì) a)矛盾。

　如果

　 y > z ，類(lèi)似地可以證明。

　3. 假 設 字 典 序 關(guān) 系 ³ 存 在 效 用 函 數 表 示 ， 即

　(x 1 ,x 2 )³(y 1 ,y 2 )當 且 僅 當

　H(x 1 ,x 2 )³ H(y 1 ,y 2 )。

　任 取 實(shí) 數

　0£ p<q£1， 考 慮 如 下 四 個(gè) 選 擇 集 中 的 元 素

　(p,0),(p,1),(q,0),(q,1) 。根據字典序關(guān)系的定義，有

　 (p,0)<(p,1)<(q,0)<(q,1) ，且

　H(p,0)< H(p,1)< H(q,0)< H(q,1) 。定義開(kāi)區間

　 I(p)=(H(p,0),H(p,1)) ，則對于任

　意實(shí)數

　 0£ p<q£1 ，

　I(p)ÇI(q)=Æ ，因此實(shí)軸包含不可數無(wú)窮多個(gè)互不相交的開(kāi)區間。但同時(shí)，由于有理數在實(shí)數中的稠密性可知，每個(gè)

　 I(p) 中都存在有理數 Q p ，且

　Q p ¹Q q ,"p ¹ q 。這與有理數的可數性矛盾。

　4. 沒(méi)有完全解決。例如對于 von Neumann – Morgenstern 效用函數

　 u(x)= log 10 (x) ，對于隨機計劃

　x, s.t.P(x =10 2n)= 2 -n ,nÎ+ ，，即圣彼得堡形式的悖論仍然存在。

　5. 如果投資者選擇前者，體現出他風(fēng)險厭惡的特征。

　6. 期望效用遇到的挑戰可參見(jiàn)第二節。

　7.

　u 1 ¢(x) = -bx+1, u 1 ¢¢ (x) = -b, R A1=b1-bx>0, R R1=bx1-bx,dR A1dx=b 2(1-bx) 2>0,dR R1dx=b(1-bx) 2>0, x <1b

　 u 2 ¢(x)=cx, u 2 ¢¢ (x)= -cx 2, R A2=1x, R R2=1,dR A2dx= -1x 2<0,dR R2dx=0

　根據定理 2.3.2 和定理 2.3.3，效用函數

　 u 1 反映了當初始財富增加時(shí)，風(fēng)險資產(chǎn)的絕對投資量與風(fēng)險資產(chǎn)占比均下降的投資決策特征，而效用函數

　 u 2 反映了當初始財富增加時(shí)，風(fēng)險資產(chǎn)的絕對投資量增加，并且風(fēng)險資產(chǎn)投資占比不變的投資決策特征。

　8. 對于廣義冪效用函數

　u ，

　 u¢(x)= -(A+ Bx) -1/B , ¢¢ u (x) = (A+ Bx) -1/B-1 , R A =1A+ Bx, R R =xA+ BxdR Adx=-B(A+ Bx) 2<0,dR Rdx=A(A+ Bx) 2>0 根據定理 2.3.2 和定理 2.3.3，廣義冪效用函數反映了當初始財富增加時(shí)，風(fēng)險資產(chǎn)的絕對投資量增加，但風(fēng)險資產(chǎn)投資占比下降的投資決策特征。

　9. 只需計算

　 G(u) 對應的 Arrow-Pratt 絕對風(fēng)險厭惡系數

　R AG。

　 dG(u)dx= au¢(x),d2 G(u)dx 2= a ¢¢ u (x) ，所以

　R AG= -a ¢¢ u (x)au¢(x)= R Au

　 10. 利用二階隨機占優(yōu)來(lái)考察風(fēng)險厭惡個(gè)體的偏好。

　F A (r)=0*I {r<0.4}+0.4*I {0.4£r<0.6} +0.8*I {0.6£r<0.7} +1*I {r³0.7}

　F B (r)=0*I {r<0.2}+0.2*I {0.2£r<0.3} +0.4*I {0.3£r<0.7} +0.8*I {0.7£r<0.8} +1*I {r³0.8}

　由于

　 F A (r)- F B (r)dr £00xò, "x Î[0,1] ，故 A 二階隨機占優(yōu)于 B，風(fēng)險厭惡個(gè)體更偏好A。

　11. 二階單調隨機占優(yōu)等價(jià)條件敘述見(jiàn)定理 2.4.3。定理證明思路同二階隨機占優(yōu)定理證明，其中需要進(jìn)行幾處小的改動(dòng)。

　1)=>3) 由于

　 F A (r)- F B (r)dr01ò£0 ，根據定理 2.4.2 后的討論不難得到 。因此。所以 。

　3)=>1) 假設存在

　 x 0 Î(0,1) 使得

　 S(x 0 )>0 ，由于

　 S(x) 的連續性，存在

　d >0 使得

　 S(x)>0,"xÎ(x 0 - d ,x 0 + d )Ì(0,1) 。

　類(lèi)似定理 2.4.2 證明，取

　 u(x) 滿(mǎn)足

　 u¢ ³0,u¢(2)=0, ¢¢ u (x)£0 且

　 {x: ¢¢ u (x)<0}Ì(x 0 - d +1,x 0 + d +1)

　便可得到

　與 3)矛盾。

　2)=>3)

　3)=>2) 略。

　12. 數學(xué)意義參見(jiàn)書(shū)中各隨機占優(yōu)的定義。經(jīng)濟學(xué)意義：

　A 一階隨機占優(yōu)于 B——在所有偏好多而厭惡少的個(gè)體看來(lái)，A 優(yōu)于 B； A 二階隨機占優(yōu)于 B——在所有風(fēng)險厭惡的個(gè)體看來(lái)，A 優(yōu)于 B； A 二階單調隨機占優(yōu)于 B——在所有偏好多而厭惡少、且風(fēng)險厭惡的個(gè)體看來(lái)，A 優(yōu)于 B； A 三階隨機占優(yōu)于 B——在所有偏好多而厭惡少、風(fēng)險厭惡且絕對風(fēng)險厭惡遞減的個(gè)體看來(lái)，A 優(yōu)于 B。

　第三章 資產(chǎn)組合理論 第三章 練習題 解答 1. 已知兩只股票在 5 期的價(jià)格數據以及期末分紅數據如下：

　1）、分別求出兩只股票在各期的收益率，并根據這些收益率數據計算兩只股票的期望收益率與方差，以及收益率相關(guān)系數； 2）、若投資者在兩只股票上的投資比重分別為 30%和 70%，求這個(gè)投資組合在各期的收益率，并根據這些收益率數據計算該組合的期望收益率與方差。

　時(shí)間 股票 1 價(jià)格 股票 2 價(jià)格 股票 1 期末分紅 股票 2 期末分紅 0 4.56 9.42

　 1 4.22 10.44 0.20 0.45 2 4.78 10.97 0.32 0.57 3 5.63 11.98 0.43 0.61 4 5.01 11.84 0.19 0.33 5 5.95 12.58 0.40 0.45 解答：

　1）、記股票 1,2 在 k 時(shí)間的股價(jià)為 ? ?51,20 ?kkP ，(k-1,k]時(shí)間段內的收益率為 ? ?51,21 ?kkr ，則：

　收益率為：1,2 1,21 1,21,21..... 1,. ., , . . 5???? ? ? ?k kkkkP PrP 期望收益率為：1,251,21....1..5??? ??kkr

　收益率方差為：

　? ?521,221,1,212.....1.4? ??? ? ??kkr

　收益率相關(guān)系數為：

　? ?? ?5122112 1.14... .1. ? ? ?? ??? ? ? ???? k kkr r

　2）、組合 P 在股票 1、2 上面的權重為10.3 ? w ，20.7 ? w ，記該組合的到期收益率為pr ，即1 1 2 2? ? ? ?pr w r w r ，從而組合的期望收益率與方差為：

　組合期望收益率：

　? ? ? ? ? ?1 1 2 2 1 1 2 2...... ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?pE r w E r w E r w w

　組合收益方差：

　? ? ? ?22, 1, ...... ??? ??p i j i ji jr ww Cov r r

　2. 根據練習題 1 的股票價(jià)格數據與分紅數據：

　1）、分別求出兩只股票在 5 期內的離散復合收益率 y ，即這樣的 y 使得：

　? ? ? ?5511 1kky r?? ? ??

　再求出這兩只股票在 5 期內的連續復合收益率 r ，即這樣的 r 使得：

　? ?5511rkke r??? ?? 2）、若投資者在兩只股票上的投資比重分別為 30%和 70%，求這個(gè)投資組合在 5 期內的離散復合收益率和連續復合收益率。

　解答：

　1）、對于股票 1、2 收益率 ? ?51,21 ?kkr 已經(jīng)由第 1 題計算得到，則 discrete yield y 可以由下式表示：

　? ?1551,21,211 1 ......?? ?? ? ? ?? ?? ?? kky r ，對于股票 1,2 2）、對于股票 1、2 收益率 ? ?51,21 ?kkr 已經(jīng)由第 1 題計算得到，則 continuous yield r 可以由下式表示：

　? ?51,21,211ln 1 ......5?? ??? ? ?? ?? ?? kkr r ，對于股票 1,2 3. 根據練習題 1 的股票價(jià)格數據與分紅數據，以及練習題 1 計算出來(lái)的收益率數據，變換投資組合在兩只股票上的投資比重，再計算組合的期望收益率和方差，并且將這一組期望收益率與方差畫(huà)成圖像，觀(guān)察組合期望收益率與方差之間的變換關(guān)系。

　其中各個(gè)組合的投資比重如下：

　組合序號 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 股票 1 -50% -30% -10% 10% 30% 50% 70% 90% 110% 130% 150% 股票 2 150% 130% 110% 90% 70% 50% 30% 10% -10% -30% -50% 解答：

　組合 P 在股票 1、2 上面的權重為1w 和2 11 ? ? w w ，兩個(gè)權重變化如上表，記該組合的到期收益率為pr ，即1 1 2 2? ? ? ?pr w r w r ，從而組合的期望收益率與方差為：

　組合期望收益率：

　? ? ? ? ? ? ? ?1 1 2 2 2 1 1 2...... ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?pE r w E r w E r w （1w 的單調函數）

　組合收益方差：

　? ? ? ?22, 1, ...... ??? ??p i j i ji jr ww Cov r r （1w 的函數）

　每給定一個(gè)1w 可以計算一個(gè) ? ?pE r 和一個(gè) ? ?2?pr ，并可以相應畫(huà)出期望-方差圖。

　4. 有兩個(gè)收益率分別為i r 和 jr 的證券，假設這兩個(gè)證券具有相同的期望收益率和方差，并且i r 和 jr 的相關(guān)系數是 ? 。試證明由這兩個(gè)證券構成的資產(chǎn)組合達到方差最小當且僅當二者的投資權重相同，并且這個(gè)最優(yōu)投資組合與 ? 獨立。

　解答：

　不妨改記兩只股票為 1 和 2，組合 P 在股票 1、2 上面的權重為1w 和2 11 ? ? w w ，記該組合的到期收益率為pr ，即1 1 2 2? ? ? ?pr w r w r ，滿(mǎn)足1 2? ? ? ? ? ，2 2 21 2? ? ? ? ? 。

　首先，該組合能夠獲得的期望收益率只能是 ?

　其次，該組合方差為 ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ?2 2 2 2 21 2 1 2 1 1 2 122 212 22 221 2 12 2 2 2 112 22 2? ? ? ? ? ?? ?? ? ?? ??? ? ?? ?? ? ? ? ? ?? ?? ? ? ? ? ? ?? ?? ?? ? ? ?? ??? ?記pr w w www w w w w ww ww w 顯然最小值點(diǎn)就是1 212? ? ? w w w

　 5. 假設兩個(gè)資產(chǎn)的期望收益率與方差分別為：

　? ?? ?120.150.20EErr??

　 ? ?? ?2221220.100.20rr???? 若資產(chǎn)組合在這兩個(gè)資產(chǎn)上的投資權重均為 50%，計算當兩資產(chǎn)相關(guān)系數分別為1,20.40 ? ? 與1,20.60 ? ? ? 時(shí)組合的期望收益率與方差，并且將這兩組期望收益率和方差畫(huà)在 ? ? ? ?2r E r ? ? 平面上，再根據圖像解釋相關(guān)系數對組合投資的作用。

　解答：

　? ? ? ? ? ?1 1 2 20.175 ? ? ? ? ?pE r w E r w E r

　對于1,20.40 ? ? ：? ?2 2 2 2 21 2 1 2 1 1 2 12 0.0165 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?pr w w ww

　對于1,20.60 ? ? ? ：? ?2 2 2 2 21 2 1 2 1 1 2 12 0.0065 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?pr w w ww

　? ?2?pr 隨著(zhù)1,2? 遞增

　6. 自融資組合是期初投資權重之和為零的“資產(chǎn)組合”，但是自融資組合并不是一個(gè)免費的午餐，零期初投入并不代表零風(fēng)險和零收益，雖然組合可以有正的期望收益率，但是也有相應的風(fēng)險。為了理解自融資組合的含義，考慮兩個(gè)資產(chǎn)，相關(guān)系數為1,20.40 ? ? ，它們的期望收益率與方差分別為：

　? ?? ?120.200.35EErr??

　 ? ?? ?2221220.100.20rr???? 自融資組合在這兩個(gè)資產(chǎn)上的投資份額分別為如下 10 中情形：

　組合序號 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 資產(chǎn) 1 -1 0%

　-2 0%

　-3 0%

　-4 0%

　-5 0%

　-6 0%

　-7 0%

　-8 0%

　-9 0%

　-10 0%

　資產(chǎn) 2 10% 20% 30% 40% 50% 60% 70% 80% 90% 100% 計算這 10 個(gè)組合的期望收益率與方差，并且將這 10 個(gè)資產(chǎn)組合的期望收益率和方差畫(huà)在 ? ? ? ?2r E r ? ? 平面上，再根據圖像理解自融資組合的含義。

　解答：

　? ? ? ? ? ?1 1 2 2............ ? ? ? ? ?pE r w E r w E r

　? ?2 2 2 2 21 2 1 2 1 1 2 12 .............. ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?pr w w ww

　隨著(zhù)權重的變動(dòng)， ? ?pE r 增加的同時(shí)， ? ?2?pr 也在增加

　7. 已知 3 只股票的期望收益率向量為：

　深發(fā)展 星源 深振業(yè) 0.0097

　0.0157

　-0.0008

　這 3 只股票的協(xié)方差矩陣為：

　深發(fā)展 星源 深振業(yè) 深發(fā)展 0.0016

　0.0003

　0.0006

　星源 0.0003

　0.0009

　0.0009

　深振業(yè) 0.0006

　0.0009

　0.0020

　試根據這些數據計算 Markowitz 最優(yōu)資產(chǎn)組合中的 4 個(gè)參數 A、B、C、D，并且根據這些參數，計算前沿組合期望收益率分別為 0.01、0.05、0.10 和 0.30 時(shí)的組合方差。

?。?/p>

　解答：

?。裕?/p>

　8. 當假設單個(gè)資產(chǎn)收益率服從學(xué)生 t-分布 ( ) t n 時(shí)，計算 ? 置信水平下的 VaR 和 C-VaR。當組合中每個(gè)資產(chǎn)收益率都服從學(xué)生 t-分布 ( ) t n 時(shí)，且組合在每個(gè)資產(chǎn)上的投資權重為

　iw ，試計算組合 ? 置信水平下的 VaR 和 C-VaR。

　解答：

　同例 3.4.3 易知， ( )? ?? VaR t n ，其中 ( )?t n 是 t-分布的下分位數； 同例 3.4.12 可知， ? ?{ }( )1( ) { | }11

　( )1??? ???? ??? ? ? ? ? ??? ???r VaRt nVaRC VaR L E L L VaR E r Is f s ds 其中( ) ( ) t nf s 是學(xué)生 t-分布 ( ) t n 的概率密度函數，上述積分沒(méi)有顯式解，不過(guò)可以用數值積分計算得到。

　對于一系列學(xué)生 t-分布 ( ) t n 收益率資產(chǎn)構成的資產(chǎn)組合，由于 t-分布不具備可加性，其VaR 和 C-VaR 沒(méi)有顯式解，不過(guò)可以通過(guò) Monte Carlo 方法估計。

　9. 已知深發(fā)展和萬(wàn)科的收益率數據如下表，若假設這兩只股票的收益率服從正態(tài)分布，試根據這組數據計算深發(fā)展和萬(wàn)科在 1%、2.5%、5%和 10%置信度下的 VaR 和 C-VaR。

　日期 深發(fā)展 萬(wàn)科 日期 深發(fā)展 萬(wàn)科 5-Jan-07 -0.0744

　-0.0407

　30-Jan-07 0.0501

　-0.0627

　8-Jan-07 0.0237

　0.0296

　31-Jan-07 -0.0501

　-0.0941

　9-Jan-07 0.0322

　0.0203

　1-Feb-07 -0.0350

　0.0222

　10-Jan-07 0.0203

　0.1000

　2-Feb-07 -0.0498

　-0.0786

　11-Jan-07 0.0497

　-0.0425

　5-Feb-07 -0.0485

　0.0194

　12-Jan-07 0.0501

　-0.0201

　6-Feb-07 0.0497

　-0.0075

　15-Jan-07 0.0503

　0.1000

　7-Feb-07 0.0502

　0.0528

　16-Jan-07 0.0442

　0.0841

　8-Feb-07 0.0380

　-0.0026

　17-Jan-07 0.0000

　-0.1000

　9-Feb-07 -0.0372

　-0.0183

　18-Jan-07 -0.0494

　-0.0179

　12-Feb-07 0.0500

　0.0578

　19-Jan-07 0.0476

　0.0130

　13-Feb-07 0.0181

　0.0207

　22-Jan-07 0.0478

　0.0064

　14-Feb-07 0.0453

　0.0468

　23-Jan-07 0.0191

　-0.0214

　15-Feb-07 -0.0019

　0.0147

　24-Jan-07 -0.0215

　0.0591

　16-Feb-07 0.0141

　-0.0348

　25-Jan-07 -0.0175

　-0.0156

　26-Feb-07 -0.0284

　-0.0486

　26-Jan-07 0.0500

　0.0527

　27-Feb-07 -0.0500

　-0.0997

　29-Jan-07 0.0498

　-0.0296

　28-Feb-07 -0.0078

　0.0337

　解答：

　記深發(fā)展和萬(wàn)科的股票分別為股票 1 和股票 2，則由上面數據可以估計出其均值和波動(dòng)率1,2? 和1,2? ； 其次，在不同置信水平下計算標準正態(tài)分位數?Z ； 最后，利用上面數據可以計算：

　1,2 1,2 1,2 1,2........? ?? ? ? ? ? ? VaR Z

　21,2/2 1,2 1,22........1· ·????? ??? ? ? ? ??ZC VaR e

　10. 已知深發(fā)展和萬(wàn)科的收益率數據如上表，若股票收益率不服從正態(tài)分布，則請根據經(jīng)驗分布函數計算這兩只股票在 1%、2.5%、5%和 10%置信度下的 VaR 和 C-VaR。

　解答：

　首先，將每只 34 個(gè)收益率 ? ?341,21 ?kkr 數據從小到大排序，記為 ? ?341,21ˆ?kkr ，滿(mǎn)足：

　1,2 1,2 1,2 1,2 1,21 2 3 33 34ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ... ? ? ? ? ? r r r r r

　其次，為計算 10%置信度下的 VaR，只要找到第 ? ? 34 10% 3 ? ? 個(gè)收益率次序統計量1,23ˆ r，則1 11,23 0%ˆ?? ? VaR r ； 為計算 10%置信度下的 VaR，只要找到前 ? ? 34 10% 3 ? ? 個(gè)收益率次序統計量1,2 1,2 1,21 2 3, , ˆ ˆ ˆ r r r ，則1,2 1,2 1,21 10%1 2 3ˆ ˆ ˆ34?? ? ?? ?r r rC VaR ； 其他置信度下的 VaR 和 C-VaR 可以類(lèi)似計算；

　11. 利用第 10 題中深發(fā)展和萬(wàn)科的歷史收益率數據，計算最小方差投資組合 mvp 的投資權重mvpw 以及自融資組合的投資權重*w ，并且據此理解“自融資”的含義； 計算mvpr 和*r 的歷史收益率向量，并據此計算mvpr 和*r 的均值和方差； 對 1, 0.5,0,0.5,1 ? ? ? ?p分別計算組合 p 的收益率均值 ? ?? ?pE r 和標準差 ? ? ?? ?pr ，并將其畫(huà)在 ? ? ? ? ? ?? ? ? ?p pE r r 平面上。

?。?/p>

　解答：

?。ū绢}可以直接利用本章公式計算）

　12. 利用第 10 題的數據，以及第 11 題計算的mvpr 和*r 組合投資權重，計算pr 的期望收益率以及( ) zc pr 的期望收益率，其中組合1 1,2 2? ?? ??? ?Tpw 。另外，假設無(wú)風(fēng)險收益率為 1%，并構造組合1 2,3 3? ?? ??? ?Tqw 。首先，請直接計算 ? ?? ?qE r ，然后利用“零- ? 資本資產(chǎn)模型”（3.2.14）計算 ? ?? ?qE r 。

　解答：

　首先，直接計算,1 1 ,2 2......... ? ? ?? ?? ? ? ?? ?p p pE r w w

　其次，計算 ? ?? ?mvpE r 和 ? ?*E r ，從而可以利用 ? ?*? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?p mvp pE r E r E r 計算 ?p ； 再利用( )1? ??? ?p zc pD計算( )? zc p ，從而 ? ?( ) ( ) *.... ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?zc p mvp zc pE r E r E r

　再次，方法一：,1 1 ,2 2...... ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ?q q qE r w w

　最后，方法二：先計算? ?? ?2cov ,???p qpqpr rr，從而 ? ?1 ...... ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?q pq p pq fE r E r r

　 第四章 資本資產(chǎn)和套利定價(jià)模型 2.

　CAPM 屬于均衡定價(jià)模型范疇，它從投資個(gè)體的效用出發(fā)，著(zhù)眼于個(gè)體效用最大化，從而研究市場(chǎng)均衡時(shí)的定價(jià)，并給出資產(chǎn)組合的“絕對定價(jià)”。而 APT 屬于無(wú)套利定價(jià)模型范疇，它基于市場(chǎng)中不存在套利機會(huì )的假設，尋找不同資產(chǎn)價(jià)格間存在的關(guān)系，并且將所研究資產(chǎn)組合的價(jià)格用其他一些較為基礎的資產(chǎn)的已知價(jià)格表示，也就是給出資產(chǎn)組合的“相對定價(jià)”。

　 從結論上看，CAPM 與 APT 在形式上有相似之處，但是其中解釋因子的選取不同，模型所代表的經(jīng)濟含義也不同。此外，這兩個(gè)模型在實(shí)證中所獲得的支持也不相同。具體內容可參考 4.4.5 節。

　3.

　CAPM 與 APT 共同的假設包括無(wú)摩擦假設、存在無(wú)風(fēng)險資產(chǎn)假設，以及市場(chǎng)個(gè)體的同質(zhì)性假設。無(wú)摩擦假設與存在無(wú)風(fēng)險資產(chǎn)假設從數學(xué)上簡(jiǎn)化了模型，使其得到簡(jiǎn)潔而直觀(guān)的結論，而市場(chǎng)個(gè)體同質(zhì)性假設使得所建立的模型從“個(gè)體模型”轉變?yōu)?ldquo;市場(chǎng)模型”。

　 CAPM 與 APT 假設的主要不同之處在于，CAPM 對資產(chǎn)收益率分布、個(gè)體效用函數或者偏好特征做出了假設，其必要性在于 CAPM 是絕對定價(jià)模型，定價(jià)的前提在于為資產(chǎn)組合對個(gè)體帶來(lái)的效用進(jìn)行合理的刻畫(huà)。而 APT 并不需要這兩條假設，而是要求市場(chǎng)中不存在套利機會(huì )。此假設的必要性在于 APT 是相對定價(jià)模型，其定價(jià)基于無(wú)套利假設所導致的不同資產(chǎn)價(jià)格間的聯(lián)系。

　4.

　對于風(fēng)險厭惡投資者來(lái)說(shuō)，資產(chǎn)收益率向量具有單基金分離性等價(jià)于存在資產(chǎn)組合 a ,對于市場(chǎng)中任何資產(chǎn)組合 q 均成立 E[r a ]= E[r q ], Var[r a ]£Var[r q ] . 由于資產(chǎn)收益率向量獨立同分布，所有可行資產(chǎn)組合的收益率均相等，因此第一式滿(mǎn)足。然后，選擇資產(chǎn)組合 a 為各資產(chǎn)的等權重組合，則 Var[r a ]=1nVar[r 1 ] 小于任何其他資產(chǎn)組合收益率的方差。因此資產(chǎn)收益率向量滿(mǎn)足單基金分離性。

　5.

　在二次效用假設下，均值-方差模型等價(jià)于期望效用理論。取 p 1 為非 mvp 的前沿組合，p 2 為 p 1 的零協(xié)方差組合。取 l q 使得 E[ l q r p1 +(1- l q )r p2 ]= E[r q ] 。根據前沿邊界性質(zhì)定理3.2.1，組合 l q r p1 +(1- l q )r p2 位于前沿邊界上，因此其方差一定不大于與其均值相同的組合 r q ，因此 l q r p1 +(1- l q )r p2 優(yōu)于 r q 。故二基金分離性質(zhì)成立。

　6.

　CAPM 建立在 Markowitz 資產(chǎn)組合理論的基礎上，并加入了特有的假設，使得 CAPM 在資產(chǎn)組合定價(jià)方面相對于 Markowitz 資產(chǎn)組合理論更上一個(gè)臺階。其中最為關(guān)鍵的改進(jìn)之一，便是 CAPM 加入了市場(chǎng)個(gè)體同質(zhì)性的假設，將 Markowitz 理論對投資個(gè)體的組合選擇特征刻畫(huà)推廣到宏觀(guān)市場(chǎng)層面，從市場(chǎng)的角度來(lái)研究資產(chǎn)組合的定價(jià)。

　7.

　絕對定價(jià)方法與相對定價(jià)方法為資產(chǎn)定價(jià)的兩種思路。絕對定價(jià)方法從投資個(gè)體的效用出發(fā)，著(zhù)眼于個(gè)體效用的最大化，從而研究市場(chǎng)均衡時(shí)的資產(chǎn)定價(jià)。而相對定價(jià)方法基于市場(chǎng)中不存在套利機會(huì )的假設，指出在此假設下，不同資產(chǎn)價(jià)格間應當存在一定的關(guān)系。因此，資產(chǎn)的價(jià)格可以由其他一些較為基礎的資產(chǎn)的已知價(jià)格所表示，從而達到定價(jià)的目的。

　8.

　Beta 系數的定義為

　b qm =Cov[r q ,r m ]Var[r m ] 它的直觀(guān)含義是資產(chǎn)組合 q 的期望收益率關(guān)于市場(chǎng)組合的超額收益率進(jìn)行回歸所得到的因子載荷。資產(chǎn)組合的 Beta 系數衡量了系統性風(fēng)險在資產(chǎn)組合奉獻中所占比例。在相同的資產(chǎn)組合風(fēng)險之下，Beta 系數越大，表明資產(chǎn)組合的風(fēng)險更多是由市場(chǎng)因素引起的；Beta 系數越小，則表明資產(chǎn)組合的風(fēng)險更多是由非系統性的個(gè)體因素造成的。另一方面，Beta 值越大，說(shuō)明資產(chǎn)組合的價(jià)格波動(dòng)性相比于市場(chǎng)越大，反之說(shuō)明資產(chǎn)組合的價(jià)格波動(dòng)性相比于市場(chǎng)越小。

　9.

　可供參考的因子如：通脹率、國民生產(chǎn)總值、消費者信心指數等宏觀(guān)經(jīng)濟指數，以及短期利率、原油、貴金屬價(jià)格、貨幣匯率等市場(chǎng)指數。

　10.

　 Sharpe 比率：

　E[r g ]-r fs [r g ]=0.2-0.050.1=1.5

　Beta 系數：

　Cov[r g ,r m ]s2 [rm ]=0.00320.0064= 0.5

　Treynor 比率：

　E[r g ]-r fb gm=0.2-0.050.5= 0.3