初中數學(xué)“單元教學(xué)”的智性實(shí)踐

趙輝

[摘? 要] 實(shí)施單元整體性的教學(xué)，能有效地促進(jìn)學(xué)生掌握系統性、結構性的知識，促進(jìn)學(xué)生形成良好的認知結構. 在初中數學(xué)教學(xué)中，教師要引導學(xué)生從“關(guān)聯(lián)”入手、從“次序”入手、從“脈絡(luò )”入手、從“本質(zhì)”入手，引導學(xué)生建構“目標結構”“內容結構”“過(guò)程結構”“策略結構”等. 以整體性、結構性、關(guān)聯(lián)性等的視角進(jìn)行教學(xué)，就是要幫助學(xué)生建立知識的連續、方法的聯(lián)系，實(shí)現學(xué)習方法、策略、路徑的有效循環(huán). 整體性的數學(xué)單元教學(xué)有助于提升學(xué)生的自主學(xué)習、建構、創(chuàng )造、整合數學(xué)知識的能力.

[關(guān)鍵詞] 初中數學(xué);單元教學(xué);智性實(shí)踐

數學(xué)知識是一個(gè)層次性、結構性的統一體. 在初中數學(xué)教學(xué)中，教師可以以單元為單位，實(shí)施單元整體性的教學(xué). 這里的“單元”，既包括教材中的單元，也包括教師根據數學(xué)知識的特質(zhì)重組、重構的單元. 單元應當成為教師教學(xué)的基本單位. 通過(guò)實(shí)施單元整體性的教學(xué)，促進(jìn)學(xué)生掌握系統性、結構性的知識，促進(jìn)學(xué)生形成良好的認知結構. 那么，作為一名初中數學(xué)教師，如何實(shí)施基于單元的整體性、結構性的教學(xué)呢？筆者認為，可以從以下四個(gè)方面入手：

從“關(guān)聯(lián)”入手，引導學(xué)生建構“目標結構”

教學(xué)目標是教師教學(xué)的出發(fā)點(diǎn)和歸宿. 傳統的數學(xué)教學(xué)，往往采用“課時(shí)”教學(xué)的方式，以知識“點(diǎn)”為基本單位. 這樣的一種教學(xué)，教學(xué)目標往往比較小，通常是聚焦于“這一節課”. 而實(shí)施單元整體性的教學(xué)，要求教師在教學(xué)中要胸中有全局、有整體、有系統. 為此，教師要從“關(guān)聯(lián)”入手，來(lái)引導學(xué)生建構“目標結構”[1].

從“關(guān)聯(lián)”入手，要求教師要站在本體性知識立場(chǎng)，而不是站在教材立場(chǎng)，更不是站在某一個(gè)知識“點(diǎn)的立場(chǎng)”來(lái)解讀、編織數學(xué)知識. 從“關(guān)聯(lián)”入手，能讓教師有效地設計出提升學(xué)生數學(xué)學(xué)習力的目標結構. 目標是整個(gè)教學(xué)的起點(diǎn)、原點(diǎn)，也是教師教學(xué)的一根主心軸、主心骨. 目標應當貫穿于學(xué)生數學(xué)學(xué)習的始終. 清晰的整體性的目標，能有效地組織教學(xué)，突出單元教學(xué)的層次性、整體性、融合性.

如教學(xué)“全等三角形”（人教版八年級上冊），根據全等三角形的認識、全等三角形的性質(zhì)以及判定等相關(guān)知識之間的密切關(guān)聯(lián)，教師在教學(xué)中要從整體上設定目標，引導學(xué)生認識全等三角形、了解全等三角形、思考全等三角形、探究全等三角形. 為此，我們將“全等三角形的性質(zhì)”“全等三角形的判定”等相關(guān)內容整合起來(lái)，引導學(xué)生建構了這樣的目標結構：從具體實(shí)例中研究全等三角形的性質(zhì)，建構三角形的判定定理并用以解決實(shí)際問(wèn)題;引導學(xué)生觀(guān)察、操作、探究、歸納，讓學(xué)生能積極主動(dòng)地應用平移、軸對稱(chēng)、旋轉等方式進(jìn)行探究，培養學(xué)生的轉化思想. 在這樣的目標結構中，一方面著(zhù)眼于知識，另一方面著(zhù)眼于技能，它們能共同幫助學(xué)生積累相關(guān)的數學(xué)基本活動(dòng)經(jīng)驗. 同樣，在這樣的目標結構中，我們滲透、融入了主要的數學(xué)思想. 從關(guān)聯(lián)入手，要求教師要提煉共同的因素、因子作為目標的組成部分. 只有這樣，目標之于學(xué)生的學(xué)習才具有針對性、實(shí)效性.

從知識關(guān)聯(lián)入手，設計整體性的數學(xué)教學(xué)目標，進(jìn)而讓目標對學(xué)生的數學(xué)學(xué)習具有指導性、啟發(fā)性，讓目標真正發(fā)揮目標之作用. 借助于目標結構，有助于學(xué)生把握數學(xué)單元中的核心知識，有助于學(xué)生進(jìn)行自主性、自能性的數學(xué)學(xué)習. 借助于目標結構，學(xué)生的數學(xué)學(xué)習能從膚淺走向深刻、從低階走向高階.

從“次序”入手，引導學(xué)生建構“內容結構”

實(shí)施單元整體性的教學(xué)，不僅要進(jìn)行單元性的目標設定，更要進(jìn)行結構性、層次性的內容設定. 盡管數學(xué)知識之間存在著(zhù)密切的關(guān)聯(lián)，但還是有先后（主要是指邏輯先后）的順序的. 因此，教師在教學(xué)中，要遵循一定的“次序”，引導學(xué)生建構“內容結構”[2]. 通過(guò)把握學(xué)習內容的次序，引導學(xué)生的數學(xué)學(xué)習拾級而上，從無(wú)序到有序逐步深化發(fā)展. 借助于“序”的教學(xué)，能將數學(xué)知識串接成線(xiàn)、連線(xiàn)成片、連片成體. 比如教學(xué)“三角形”（人教版八年級下冊）這一部分內容，這一部分內容比較繁雜. 為此，教師在教學(xué)中可以設計一定的版塊來(lái)進(jìn)行有“序”性的教學(xué). 比如筆者在教學(xué)這部分時(shí)，就將這部分內容按照“邊”“角”兩部分展開(kāi)教學(xué)，將教材單元中的相關(guān)內容進(jìn)行整合. 這樣的一種整合，是基于知識序基礎上的，是為了學(xué)生更好地認識三角形而設計的. 比如在研究“邊”的過(guò)程中，筆者引入了中線(xiàn)、角平分線(xiàn)、中位線(xiàn)、高等內容，研究了三角形三邊關(guān)系、三角形的穩定性等內容，一部分是教材的內容，另一部分是筆者補充介紹、引導學(xué)生探究思考的內容;比如在研究“角”的過(guò)程中，筆者引導學(xué)生探究?jì)冉呛?、外角和等知識. “邊”的知識和“角”的知識是三角形這部分內容的基礎性知識. 借助于學(xué)習這些知識，為學(xué)生后續研究“全等三角形”等相關(guān)內容奠定了堅實(shí)的基礎. 在實(shí)施各個(gè)版塊內容教學(xué)時(shí)，教師同樣要注重知識的序、注重學(xué)生認知的序. 只有關(guān)注序，學(xué)生的數學(xué)學(xué)習才會(huì )如同呼吸一樣自然. 在數學(xué)教學(xué)中，教師要深入研究數學(xué)知識的序，以便引導學(xué)生有序地學(xué)習，從而致力于助推學(xué)生將相關(guān)的碎片化的數學(xué)知識連成線(xiàn)、結成網(wǎng)、筑成塊、構成體.

初中數學(xué)教學(xué)，從根本上說(shuō)，也就是要處理兩個(gè)方面的問(wèn)題，這就是“選材”和“立序”. “選材”解決的是學(xué)生“學(xué)什么”的問(wèn)題，而“立序”解決的是學(xué)生“怎樣學(xué)”的問(wèn)題. 只有處理好“材”與“序”，才能有效地引導學(xué)生的數學(xué)認知發(fā)展，推動(dòng)學(xué)生的數學(xué)學(xué)習進(jìn)程，幫助學(xué)生鞏固相關(guān)的數學(xué)知識結構.

從“脈絡(luò )”入手，引導學(xué)生建構“過(guò)程結構”

引導學(xué)生的數學(xué)學(xué)習，不僅要把握數學(xué)知識結構，更要把握學(xué)習結構[3]. 對于不同數學(xué)知識，有時(shí)候是有一條隱性的脈絡(luò )潛藏其中. 作為教師，要從“脈絡(luò )”入手，引導學(xué)生把握數學(xué)知識之線(xiàn)索、脈絡(luò ). 同時(shí)，不同的數學(xué)知識有時(shí)候還有一種相同的學(xué)習結構，比如“猜想-驗證”學(xué)習結構，比如“條件-探究”學(xué)習結構等. 從“脈絡(luò )”入手，可以著(zhù)手引導學(xué)生建構“過(guò)程結構”.

從脈絡(luò )入手，引導學(xué)生數學(xué)學(xué)習，要求充分發(fā)揮學(xué)生的想象力. 借助于想象，學(xué)生能感受、體驗到數學(xué)知識的脈絡(luò )、靈魂. 比如教學(xué)“扇形的面積”這一部分內容時(shí)，筆者引導學(xué)生借助于扇形中的弧長(cháng)公式進(jìn)行嚴密的推導，建構扇形的面積公式. 但在實(shí)際應用的過(guò)程中，筆者發(fā)現學(xué)生對這些公式難以快速從記憶內存中調出來(lái). 為此在教學(xué)中，筆者引導學(xué)生回顧圓的面積公式、圓環(huán)的面積公式，引導學(xué)生對圓、圓環(huán)等同時(shí)展開(kāi)動(dòng)態(tài)想象. 通過(guò)動(dòng)態(tài)想象，學(xué)生認識到，所謂“扇形面積”，其實(shí)就是“以圓弧為底、半徑為高、圓心為頂點(diǎn)的三角形的面積”;所謂“圓的面積”，其實(shí)就是“以圓的周長(cháng)為底、半徑為高、圓心為頂點(diǎn)的三角形的面積”;所謂“圓環(huán)的面積”，其實(shí)就是“以?xún)葓A的周長(cháng)為上底、外圓的周長(cháng)為下底、兩圓之間的距離為高的梯形的面積”. 借助于這樣的一種動(dòng)態(tài)想象，學(xué)生感悟、體驗到“曲線(xiàn)圖形”中的“化曲為直”的想象思路. 借助于這樣的一種思路，學(xué)生就能將相關(guān)的數學(xué)知識整合起來(lái)思考，他們的學(xué)習興趣盎然、興味盎然. 從數學(xué)學(xué)科知識的內在脈絡(luò )入手，能打通學(xué)生的數學(xué)思維. 借助于動(dòng)態(tài)想象，學(xué)生能有效地理解數學(xué)知識的本質(zhì). 他們在解決相關(guān)問(wèn)題時(shí)就不會(huì )再依賴(lài)于教師，而是能進(jìn)行自主性、自能性數學(xué)學(xué)習. 可以這樣說(shuō)，在整個(gè)初中幾何教學(xué)中，教師都應當引導學(xué)生動(dòng)態(tài)想象，動(dòng)態(tài)想象是發(fā)展學(xué)生的空間觀(guān)念的基礎.

從脈絡(luò )入手，引導學(xué)生圍繞相關(guān)數學(xué)知識進(jìn)行思考、想象，不僅能將相關(guān)數學(xué)知識整合起來(lái)，而且能幫助學(xué)生積累豐富的數學(xué)學(xué)習經(jīng)驗，幫助學(xué)生積累數學(xué)研究方法經(jīng)驗等. 如在上述教學(xué)中，當學(xué)生有了動(dòng)態(tài)想象的意識，在學(xué)習相關(guān)的幾何知識時(shí)，就會(huì )積極主動(dòng)地去想象，動(dòng)態(tài)想象就會(huì )成為學(xué)生的一種自覺(jué)意識、成為學(xué)生數學(xué)學(xué)習的常態(tài).

從“本質(zhì)”入手，引導學(xué)生建構“策略結構”

學(xué)生數學(xué)學(xué)習的關(guān)鍵是形成一定的方法、策略與路徑. 相比較于數學(xué)知識乃至于數學(xué)思想方法，數學(xué)策略、路徑的結構更具有遷移性. 研究表明，一個(gè)善于學(xué)習的人就是善于總結學(xué)習思想方法策略路徑的人. 從數學(xué)知識的“本質(zhì)”入手，引導學(xué)生建構“策略結構”，能讓學(xué)生形成“高觀(guān)點(diǎn)”[4]. 立足于“高觀(guān)點(diǎn)”，學(xué)生能超越單一的知識內容層面的限制，而將不同的數學(xué)知識整合起來(lái)，形成整體性的具有遷移性質(zhì)的策略、方法等. 這樣的策略、方法等有助于學(xué)生的數學(xué)學(xué)習.

比如“方程”這一部分內容是初中數學(xué)的重要組成部分. 初中階段的方程主要有“一元一次方程”“二元一次方程組”“一元二次方程”“分式方程”等相關(guān)內容. 特定的方程對于學(xué)生來(lái)說(shuō)有特定的要求. 其中，“一元一次方程”是基礎性的方程，其他所有的方程最終都要轉化成“一元一次方程”. 如“二元一次方程組”要求引導學(xué)生通過(guò)“消元”來(lái)轉化成“一元一次方程”;“分式方程”要求引導學(xué)生通過(guò)“去分母”來(lái)轉化成“一元一次方程”;“一元二次方程”要求引導學(xué)生通過(guò)“降次”來(lái)轉化成“一元一次方程”等. 盡管解這些方程的方法、策略不同，但其中蘊含的數學(xué)思想方法是相同的，都是應用了“轉化”的數學(xué)思想方法. 這種共通的思想，在方程這一部分內容的教學(xué)中，教師要重點(diǎn)引導學(xué)生“設元”“設參”，引導學(xué)生建構方程. 我們在教學(xué)中千萬(wàn)不能小看“設元”“設參”，它貫穿于學(xué)生方程學(xué)習的始終. 可以這樣說(shuō)，對于解決問(wèn)題來(lái)說(shuō)，設元、設參等比寫(xiě)等量關(guān)系更重要，它是方程的本質(zhì). 從學(xué)科知識的本質(zhì)入手，不僅能提升學(xué)科知識的教學(xué)效能，更能將相關(guān)的學(xué)科知識整合起來(lái). 從數學(xué)知識的“本質(zhì)”入手，能有效地引導學(xué)生建構“策略結構”. 從數學(xué)的視角來(lái)看，方程僅僅是一個(gè)工具. 重要的是要引導學(xué)生在解決問(wèn)題時(shí)能借助于“元”“參數”等進(jìn)行具體分析. 無(wú)論是在“二元一次方程組”還是“一元二次方程”“分式方程”，尤其是對于后續將要學(xué)習更高次數、更多元的方程來(lái)說(shuō)，這樣的一種“設元”“設參”具有重要的思想方法策略意義和價(jià)值. 這樣的一種方程思維，將會(huì )深刻地影響著(zhù)學(xué)生的方程這部分內容的學(xué)習.

從本質(zhì)入手，引導學(xué)生進(jìn)行“策略結構”的建構，要求教師在每一節課中要有意識地滲透. 在數學(xué)知識的本質(zhì)上花費一定的時(shí)間是值得的，它能讓學(xué)生的數學(xué)學(xué)習事半功倍. 學(xué)生對數學(xué)知識本質(zhì)的理解，將會(huì )深刻地影響著(zhù)、決定著(zhù)學(xué)生的后續學(xué)習. 在數學(xué)教學(xué)中，策略結構會(huì )超越知識內容的局限，有著(zhù)廣泛的遷移力. 借助于統一策略，能將相關(guān)的數學(xué)知識進(jìn)行有效的統整.

在初中數學(xué)教學(xué)中實(shí)施單元整體性的數學(xué)教學(xué)，教師要以數學(xué)知識結構為依據和基礎，以相關(guān)的課程理念為指導，對學(xué)生的數學(xué)學(xué)習進(jìn)行有效的統整. 單元整體性的數學(xué)教學(xué)，能幫助學(xué)生實(shí)現從傳統的“知識點(diǎn)”的學(xué)習向“知識結構”“認知結構”“方法結構”“策略結構”等的學(xué)習遷移轉變. 從整體性、結構性、關(guān)聯(lián)性的視角進(jìn)行教學(xué)，就是要幫助學(xué)生明確知識的連續性、方法的聯(lián)系，實(shí)現學(xué)習方法、策略、路徑的有效循環(huán). 不難看出，整體性的數學(xué)教學(xué)有助于提升學(xué)生的自主學(xué)習、建構、創(chuàng )造、整合數學(xué)知識的能力.

參考文獻：

[1]陶琳. 探討初中數學(xué)整體單元的教學(xué)設計[J]. 數理化解題研究，2021（02）：35-36.

[2]鮑順智. 初中數學(xué)單元整體教學(xué)策略[A]. 教育部基礎教育課程改革研究中心，2020.

[3]張偉俊. 初中數學(xué)章節起始課教學(xué)存在的問(wèn)題與策略[J]. 教學(xué)與管理，2019（25）：56-58.

[4]顧大權. 數學(xué)活動(dòng)的特征、設計與組織原則[J]. 教學(xué)與管理，2020（28）：43-45.