張雷
（中鐵第四勘察設計院集團有限公司電氣化設計研究院，武漢 430063）
高速磁浮交通牽引供電系統主要由牽引變電所、饋電電纜、軌旁開(kāi)關(guān)站和長(cháng)定子直線(xiàn)同步電機等組成[1-3]。
為了提高列車(chē)運行時(shí)的加速度，高速磁浮牽引系統由傳統的1 套牽引變流器增加為2 套牽引變流器，并通過(guò)饋電電纜并聯(lián)，再由定子開(kāi)關(guān)站決定是否給定子段供電[4-6]。
由2 套變流器進(jìn)行供電的工作模式被稱(chēng)為雙端供電，是目前高速磁浮交通特有的供電方式。該方式很好地解決了單臺變流器工作時(shí)超過(guò)額定容量的問(wèn)題，提高了整個(gè)牽引供電系統的可靠性。但是雙端變流器的并聯(lián)產(chǎn)生了環(huán)流[7-8]，進(jìn)而導致變流器電流波形發(fā)生畸變；
除此之外，高速磁浮交通系統饋電電纜的損耗會(huì )隨著(zhù)里程和電流頻率的變化而變化，電機銅耗也會(huì )因為列車(chē)的牽引力變化而變化。因此在降低能耗的基礎上如何分配2 套變流器的電流是目前的研究熱點(diǎn)。
文獻[9]通過(guò)共用轉速調節器實(shí)現總負載電流控制，然后根據電流調節器和環(huán)流調節器對負載電流進(jìn)行分配，減小了線(xiàn)路中的損耗和環(huán)流；
文獻[10]通過(guò)分析電纜長(cháng)度和信號傳輸延時(shí)對控制性能的影響，提出對應的補償方法，從而提高磁浮高速運行時(shí)的控制性能；
文獻[11]以混合型逆變器供電的交流傳動(dòng)系統為對象，采用直流側獨立供電抑制零序環(huán)流，并提出了一種直流電容穩壓控制策略；
文獻[12]分析了死區效應、直流母線(xiàn)波動(dòng)以及中點(diǎn)電壓偏移這些非理想因素對環(huán)流的影響，并在此基礎上提出了直接模式控制策略，抑制了非理性因素對并聯(lián)系統導致的環(huán)流，但沒(méi)有考慮兩邊饋線(xiàn)阻抗不同對環(huán)流造成的影響；
文獻[13]針對不同的線(xiàn)路區間采用不同的電流分配比來(lái)減小饋電電纜損耗，但不能根據線(xiàn)路情況實(shí)時(shí)調節分配比。
目前的算法都是在給定運控曲線(xiàn)的基礎上通過(guò)電流分配策略來(lái)降低整個(gè)牽引系統的總能耗，并沒(méi)有考慮運控曲線(xiàn)對系統總能耗的影響。因此本文提出以最小能耗方程作為目標函數，然后通過(guò)等電流法或等電壓法去分配雙端變流器的電流，最后根據拉格朗日極值法得到高速磁浮列車(chē)的運控曲線(xiàn)。經(jīng)仿真計算發(fā)現，該方法能在滿(mǎn)足等電流和等電壓分配策略的情況下，找到符合約束條件的最小能耗點(diǎn)和其所對應的運控曲線(xiàn)，使整個(gè)系統的能耗降低。
當磁懸浮列車(chē)速度達到高速時(shí)，需要供電區間兩端牽引變電站的變流器通過(guò)各自的饋線(xiàn)在開(kāi)關(guān)站并聯(lián)匯流后向定子繞組供電，來(lái)提供更大的牽引力[14]。其雙端供電工作模式如圖1 所示。
當磁懸浮牽引供電系統采用雙端供電時(shí)，每端的變流器不用承受過(guò)大的容量，同時(shí)也保證了列車(chē)的運行安全，當一端供電故障時(shí)，還可以通過(guò)另一端的變流器為磁浮列車(chē)供電。圖1 中的定子段采用三步法的方式進(jìn)行換步，能夠保證更高的牽引能力。
圖1 雙端供電工作模式（三步法）Fig.1 Double-ended power supply mode（three-step method）
一般來(lái)講，高速磁懸浮列車(chē)的運行區間很長(cháng)，因此本文將定子段的饋電電纜做了集中參數處理。在雙端供電模式下，長(cháng)定子直線(xiàn)同步電機三相靜止坐標系下的數學(xué)模型[9]為
式中：ua1、ub1、uc1、ua2、ub2、uc2分別為雙端變流器的三相輸出電壓；
ua、ub、uc分別為三相定子電壓；
ia1、ib1、ic1、ia2、ib2、ic2分別為雙端變流器的三相輸出電流；
ia、ib、ic分別為三相定子電流；
Ψa、Ψb、Ψc分別為三相定子磁鏈；
Rs、Ls分別為定子電阻和電感；
L1、L2、R1、R2分別為雙端饋電電纜的等效電感和等效電阻。
三相靜止坐標系下，長(cháng)定子直線(xiàn)同步電機的電感會(huì )隨著(zhù)動(dòng)子的位置變化而變化，增加了控制難度。為了便于控制，本文采用等幅值變換將三相靜止坐標系下的電機數學(xué)模型轉換到d-q 坐標系下[15]。長(cháng)定子直線(xiàn)同步電機在d-q 軸的等效電路如圖2 所示。
圖2 長(cháng)定子直線(xiàn)同步電機d-q 軸等效電路Fig.2 d-q axis equivalent circuit of long-stator linear synchronous motor
則d-q 軸的電機數學(xué)模型為
式中：Ld、Lq為d、q 軸的定子繞組電感；
τ為極距；
v為列車(chē)速度；
ω為動(dòng)子角速度；
p為微分算子；
Msm為定、動(dòng)子間的互感；
im為勵磁電流；
id1、iq1和ud1、uq1分別為左側變流器d、q 軸的電流和電壓；
id2、iq2和ud2、uq2分別為右側變流器d、q 軸的電流和電壓。
式中，iq為q 軸的定子電流，其值為iq1與iq2之和。
已知高速磁浮列車(chē)的運行區間長(cháng)度為xall，運行時(shí)間為tall。假設先以恒加速度a1加速一段時(shí)間t1，再勻速運行一段時(shí)間t2，最后以恒減速度a3減速一段時(shí)間t3。當確定t1、t2、a1，即可確定高速磁浮列車(chē)的整個(gè)運控曲線(xiàn)。運控曲線(xiàn)如圖3 所示。
圖3 高速磁浮列車(chē)的運控曲線(xiàn)Fig.3 Operation control curve of high-speed maglev train
則高速磁浮列車(chē)的約束方程為
根據牛頓第二定律，高速磁浮列車(chē)的動(dòng)力學(xué)方程為
式中：Fx為列車(chē)的牽引力；
FZ為列車(chē)的阻力；
m為列車(chē)的總質(zhì)量；
a為列車(chē)的運行加速度。高速磁浮列車(chē)的阻力方程為
式中：FA、FM、FB分別為空氣阻力、磁阻力、發(fā)電阻力；
N為車(chē)輛編組數。
根據式（9）～式（13）可以得到雙端變流器的輸出瞬時(shí)功率為
式中：Lu、Ru分別為供電電纜的單位電感和單位電阻；
x為列車(chē)的位移；
P1、P2分別為雙端變流器輸出的瞬時(shí)功率。通過(guò)對雙端變流器輸出的瞬時(shí)功率積分，即可得到區間總能耗為
以式（25）為目標方程、式（15）為約束方程，通過(guò)拉格朗日條件極值法可以計算出t1、t2、a1參數，從而可以得到最小能耗下的運行曲線(xiàn)。
目前高速磁浮系統多采用等電流和等電壓策略對2 臺變流器的輸出電流進(jìn)行分配，本文也是在分配策略確定的基礎上計算最小能耗的運控曲線(xiàn)。下面將詳細介紹等電流和等電壓分配策略下運控曲線(xiàn)的計算步驟。
等電流分配策略是指雙端變流器的輸出電流相等，即iq1=iq2。當在第1 個(gè)區段時(shí)間t1內時(shí)，速度和位移分別為v=a1t、x=則q 軸給定電流為
將式（26）代入式（21）和式（22），可以計算出P1=P1（t，a1）、P2=P2（t，a1）。再根據式（25）計算出第1區間的能耗Ws1=Ws1（t1，a1）。當在第2 個(gè)區段時(shí)間t2內時(shí)，速度和位移分別為v=a1t1，x=則q 軸給定電流為
將式（27）代入式（21）和式（22），可以計算出P1=P1（t，t1，a1）、P2=P2（t，t1，a1），再根據 式（25）計 算出第2 區間的能耗Ws2=Ws2（t1，t2，a1）。則總能耗Wall=Wall（t1，t2，a1）在約束式（15）下的最小值點(diǎn)可以通過(guò)方程求得為
式中，λ為拉格朗日條件極值法的輔助系數。
等電壓分配策略是指兩端變流器的輸出電壓相等，即V1=V2。按照等電壓法分配的電流分別為I1=αI、I2=（1-α）I，則式（1）可轉換為
式中，α為等電壓分配系數。通過(guò)求解一階線(xiàn)性常微分方程式（29），可以得到分配系數α為
式中，C為常數，由α（t=0）=0 確定。第1 區間和第2 區間的雙端變流器輸出瞬時(shí)功率的計算與等電流法一樣，然后再根據式（25）計算出能耗Ws1=Ws1（t1，a1）、Ws2=Ws2（t1，t2，a1）。最后通過(guò)式（28）計算得到最小能耗對應的參數a1、t1、t2，進(jìn)而得到運控曲線(xiàn)。
將最小能耗下的等電流法和等電壓法使用MATLAB 進(jìn)行編程，并根據拉格朗日條件極值法計算出高速磁浮系統的運控曲線(xiàn)。供電電纜參數與長(cháng)定子直線(xiàn)同步電機參數如表1 和表2 所示。
表1 供電電纜參數Tab.1 Parameters of power supply cable
表2 長(cháng)定子直線(xiàn)同步電機參數Tab.2 Parameters of long-stator linear synchronous motor
基于最小能耗的等電流分配策略下的運控曲線(xiàn)如圖4 所示。由圖4（a）和圖4（b）可以看到，滿(mǎn)足區間長(cháng)度50 km 和區間耗時(shí)400 s的限制，最高速度為598 km/h；
圖4（c）表示變流器的輸出電流；
圖4（d）表示符合約束條件的（t1，t2，a1）點(diǎn)的總能耗，可以看到有最小值，且為2.27×1010J；
圖4（e）和圖4（f）分別表示2 臺變流器的輸出瞬時(shí)功率。
圖4 等電流分配策略Fig.4 Equal-current distribution strategy
基于最小能耗的等電壓分配策略下的運控曲線(xiàn)如圖5 所示。由圖5（a）和圖5（b）可以看到滿(mǎn)足區間長(cháng)度50 km 和區間耗時(shí)400 s的限制，最高速度為542 km/h；
圖5（c）和圖5（d）分別表示兩端變流器的電流，可以看到，兩側電流不相等；
圖5（e）表示變流器的輸出電壓；
圖5（f）表示符合約束條件的（t1，t2，a1）點(diǎn)的總能耗，可以看到有最小值，且為1.82×1010J；
圖5（g）和圖5（h）分別表示2 臺變流器的輸出瞬時(shí)功率。
圖5 等電壓分配策略Fig.5 Equal-voltage distribution strategy
經(jīng)過(guò)仿真計算發(fā)現，基于最小能耗的等電流分配法產(chǎn)生的總能耗要小于等電壓分配法，但最高運行速度要高于等電壓分配法；
由于將兩端變流器做了理想化處理，所以其輸出電流和電壓在有些區段超過(guò)了變流器的最大電流和電壓，后續考慮在算法的基礎上加入電流和電壓的限制，提高算法的魯棒性。
本文對高速磁浮交通牽引系統進(jìn)行等電流分配和等電壓分配，并將能耗方程作為目標函數，區間長(cháng)度和區間耗時(shí)作為約束函數，最后通過(guò)拉格朗日條件極值法計算得到高速磁浮的運控曲線(xiàn)。通過(guò)仿真計算發(fā)現，在滿(mǎn)足等電流和等電壓分配策略的情況下，所提方法能找到符合約束條件的最小能耗點(diǎn)和其所對應的運控曲線(xiàn)，從而使得整個(gè)系統的能耗降低；
除此之外，通過(guò)計算發(fā)現等電壓分配法的最小能耗要遠遠小于等電流分配法，但其最高運行速度要小于等電流分配法，因此可以在此基礎上根據線(xiàn)路的具體情況選擇不同的電流分配策略。
