下面是小編為大家整理的2023年中職高一數學(xué)知識點(diǎn)總結,高一數學(xué)知識點(diǎn)總結前倆章(1合集)（完整文檔）,供大家參考。
總結是對過(guò)去一定時(shí)期的工作、學(xué)習或思想情況進(jìn)行回顧、分析，并做出客觀(guān)評價(jià)的書(shū)面材料，它可使零星的、膚淺的、表面的感性認知上升到全面的、系統的、本質(zhì)的理性認識上來(lái)，讓我們一起認真地寫(xiě)一份總結吧。那么我們該如何寫(xiě)一篇較為完美的總結呢？下面是我給大家整理的總結范文，歡迎大家閱讀分享借鑒，希望對大家能夠有所幫助。
1)集合(集)：某些指定的對象集在一起就成為一個(gè)集合(集).其中每一個(gè)對象叫元素
注意：①集合與集合的元素是兩個(gè)不同的概念，教科書(shū)中是通過(guò)描述給出的，這與平面幾何中的點(diǎn)與直線(xiàn)的概念類(lèi)似。
②集合中的元素具有確定性(a?a和a?a，二者必居其一)、互異性(若a?a，b?a，則a≠b)和無(wú)序性({a,b}與{b,a}表示同一個(gè)集合)。
③集合具有兩方面的意義，即：凡是符合條件的對象都是它的元素;只要是它的元素就必須符號條件
2)集合的表示方法：常用的有列舉法、描述法和圖文法
3)集合的分類(lèi)：有限集，無(wú)限集，空集。
4)常用數集：n，z，q，r，n
子集、交集、并集、補集、空集、全集等概念
1)子集：若對x∈a都有x∈b，則ab(或ab);
2)真子集：ab且存在x0∈b但x0a;記為ab(或，且)
3)交集：a∩b={x|x∈a且x∈b}
4)并集：a∪b={x|x∈a或x∈b}
5)補集：cua={x|xa但x∈u}
注意：a，若a≠?，則?a;
若且，則a=b(等集)
集合與元素
掌握有關(guān)的術(shù)語(yǔ)和符號，特別要注意以下的符號：(1)與、?的區別;(2)與的區別;(3)與的區別。
子集的幾個(gè)等價(jià)關(guān)系
①a∩b=aab;②a∪b=bab;③abcuacub;
④a∩cub=空集cuab;⑤cua∪b=iab。
交、并集運算的性質(zhì)
①a∩a=a，a∩?=?，a∩b=b∩a;②a∪a=a，a∪?=a，a∪b=b∪a;
③cu(a∪b)=cua∩cub，cu(a∩b)=cua∪cub;
有限子集的個(gè)數：
設集合a的元素個(gè)數是n，則a有2n個(gè)子集，2n-1個(gè)非空子集，2n-2個(gè)非空真子集。
練習題：
已知集合m={x|x=m+,m∈z},n={x|x=,n∈z},p={x|x=,p∈z}，則m,n,p滿(mǎn)足關(guān)系()
a)m=npb)mn=pc)mnpd)npm
分析一：從判斷元素的共性與區別入手。
解答一：對于集合m：{x|x=,m∈z};對于集合n：{x|x=,n∈z}
對于集合p：{x|x=,p∈z}，由于3(n-1)+1和3p+1都表示被3除余1的數，而6m+1表示被6除余1的數，所以mn=p，故選b。
圓的標準方程（x—a）2+（y—b）2=r2中，有三個(gè)參數a、b、r，即圓心坐標為（a，b），只要求出a、b、r，這時(shí)圓的方程就被確定，因此確定圓方程，須三個(gè)獨立條件，其中圓心坐標是圓的定位條件，半徑是圓的定形條件。
1、直線(xiàn)和圓位置關(guān)系的判定方法一是方程的觀(guān)點(diǎn)，即把圓的方程和直線(xiàn)的方程聯(lián)立成方程組，利用判別式δ來(lái)討論位置關(guān)系。
①δ>0，直線(xiàn)和圓相交、②δ=0，直線(xiàn)和圓相切、③δ<0，直線(xiàn)和圓相離。
方法二是幾何的觀(guān)點(diǎn)，即把圓心到直線(xiàn)的距離d和半徑r的大小加以比較。
①dr，直線(xiàn)和圓相離、
2、直線(xiàn)和圓相切，這類(lèi)問(wèn)題主要是求圓的切線(xiàn)方程、求圓的切線(xiàn)方程主要可分為已知斜率k或已知直線(xiàn)上一點(diǎn)兩種情況，而已知直線(xiàn)上一點(diǎn)又可分為已知圓上一點(diǎn)和圓外一點(diǎn)兩種情況。
3、直線(xiàn)和圓相交，這類(lèi)問(wèn)題主要是求弦長(cháng)以及弦的中點(diǎn)問(wèn)題。
⑴圓心到切線(xiàn)的距離等于圓的半徑；
⑵過(guò)切點(diǎn)的半徑垂直于切線(xiàn)；
⑶經(jīng)過(guò)圓心，與切線(xiàn)垂直的直線(xiàn)必經(jīng)過(guò)切點(diǎn)；
⑷經(jīng)過(guò)切點(diǎn)，與切線(xiàn)垂直的直線(xiàn)必經(jīng)過(guò)圓心；
（1）過(guò)圓心；
（2）過(guò)切點(diǎn)；
（3）垂直于切線(xiàn)三個(gè)性質(zhì)中的兩個(gè)時(shí)，第三個(gè)性質(zhì)也滿(mǎn)足。
經(jīng)過(guò)半徑的外端點(diǎn)并且垂直于這條半徑的直線(xiàn)是圓的切線(xiàn)。
從圓外一點(diǎn)作圓的兩條切線(xiàn)，兩切線(xiàn)長(cháng)相等，圓心與這一點(diǎn)的連線(xiàn)平分兩條切線(xiàn)的夾角。
集合的運算
運算類(lèi)型交 集并 集補 集
定義域 r定義域 r
值域＞0值域＞0
在r上單調遞增在r上單調遞減
非奇非偶函數非奇非偶函數
函數圖象都過(guò)定點(diǎn)（0，1）函數圖象都過(guò)定點(diǎn)（0，1）
注意：利用函數的單調性，結合圖象還可以看出：
（1）在[a，b]上， 值域是 或 ；
（2）若 ，則 ；
取遍所有正數當且僅當 ；
（3）對于指數函數 ，總有 ；
二、對數函數
（一）對數
1．對數的概念：
一般地，如果 ，那么數 叫做以 為底 的對數，記作：
（ — 底數， — 真數， — 對數式）
說(shuō)明：○1 注意底數的限制 ，且 ；
○2 ；
○3 注意對數的書(shū)寫(xiě)格式．
兩個(gè)重要對數：
○1 常用對數：以10為底的對數 ；
○2 自然對數：以無(wú)理數 為底的對數的對數 ．
指數式與對數式的互化
冪值 真數
＝ n ＝ b
底數
指數 對數
（二）對數的運算性質(zhì)
如果 ，且 ， ， ，那么：
○1 ＋ ；
○2 － ；
○3 ．
注意：換底公式：
（ ，且 ；
，且 ；
）．
利用換底公式推導下面的結論：（1） ；
（2） ．
（3）、重要的公式 ①、負數與零沒(méi)有對數；
②、 ， ③、對數恒等式
（二）對數函數
1、對數函數的概念：函數 ，且 叫做對數函數，其中 是自變量，函數的定義域是（0，+∞）．
注意：○1 對數函數的定義與指數函數類(lèi)似，都是形式定義，注意辨別。如：
， 都不是對數函數，而只能稱(chēng)其為對數型函數．
○2 對數函數對底數的限制：
，且 ．
2、對數函數的性質(zhì)：
a>10
定義域x＞0定義域x＞0
值域為r值域為r
在r上遞增在r上遞減
函數圖象都過(guò)定點(diǎn)（1，0）函數圖象都過(guò)定點(diǎn)（1，0）
（三）冪函數
1、冪函數定義：一般地，形如 的函數稱(chēng)為冪函數，其中 為常數．
2、冪函數性質(zhì)歸納．
（1）所有的冪函數在（0，+∞）都有定義并且圖象都過(guò)點(diǎn)（1，1）；
（2） 時(shí)，冪函數的圖象通過(guò)原點(diǎn)，并且在區間 上是增函數．特別地，當 時(shí)，冪函數的圖象下凸；
當 時(shí)，冪函數的圖象上凸；
（3） 時(shí)，冪函數的圖象在區間 上是減函數．在第一象限內，當 從右邊趨向原點(diǎn)時(shí)，圖象在 軸右方無(wú)限地逼近 軸正半軸，當 趨于 時(shí)，圖象在 軸上方無(wú)限地逼近 軸正半軸．
第四章 函數的應用
一、方程的根與函數的零點(diǎn)
1、函數零點(diǎn)的概念：對于函數 ，把使 成立的實(shí)數 叫做函數 的零點(diǎn)。
2、函數零點(diǎn)的意義：函數 的零點(diǎn)就是方程 實(shí)數根，亦即函數 的圖象與 軸交點(diǎn)的橫坐標。
即：方程 有實(shí)數根 函數 的圖象與 軸有交點(diǎn) 函數 有零點(diǎn)．
3、函數零點(diǎn)的求法：
○1 （代數法）求方程 的實(shí)數根；
○2 （幾何法）對于不能用求根公式的方程，可以將它與函數 的圖象聯(lián)系起來(lái)，并利用函數的性質(zhì)找出零點(diǎn)．
4、二次函數的零點(diǎn)：
二次函數 ．
（1）△＞０，方程 有兩不等實(shí)根，二次函數的圖象與 軸有兩個(gè)交點(diǎn)，二次函數有兩個(gè)零點(diǎn)．
（2）△＝０，方程 有兩相等實(shí)根，二次函數的圖象與 軸有一個(gè)交點(diǎn)，二次函數有一個(gè)二重零點(diǎn)或二階零點(diǎn)．
（3）△＜０，方程 無(wú)實(shí)根，二次函數的圖象與 軸無(wú)交點(diǎn)，二次函數無(wú)零點(diǎn)．
5.函數的模型
一、集合有關(guān)概念
1、集合的含義：某些指定的對象集在一起就成為一個(gè)集合，其中每一個(gè)對象叫元素。
2、集合的中元素的三個(gè)特性：
1.元素的確定性;2.元素的互異性;3.元素的無(wú)序性
說(shuō)明：(1)對于一個(gè)給定的集合，集合中的元素是確定的，任何一個(gè)對象或者是或者不是這個(gè)給定的集合的元素。
(2)任何一個(gè)給定的集合中，任何兩個(gè)元素都是不同的對象，相同的對象歸入一個(gè)集合時(shí)，僅算一個(gè)元素。
(3)集合中的元素是平等的，沒(méi)有先后順序，因此判定兩個(gè)集合是否一樣，僅需比較它們的元素是否一樣，不需考查排列順序是否一樣。
(4)集合元素的三個(gè)特性使集合本身具有了確定性和整體性。
3、集合的表示：{…}如{我校的籃球隊員}，{太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋}
1.用拉丁字母表示集合：a={我校的籃球隊員},b={1,2,3,4,5}
2.集合的表示方法：列舉法與描述法。
二、集合間的基本關(guān)系
1.“包含”關(guān)系—子集
注意：有兩種可能(1)a是b的一部分，;(2)a與b是同一集合。
反之:集合a不包含于集合b,或集合b不包含集合a,記作ab或ba
2.“相等”關(guān)系(5≥5，且5≤5，則5=5)
實(shí)例：設a={x|x2-1=0}b={-1,1}“元素相同”
結論：對于兩個(gè)集合a與b，如果集合a的任何一個(gè)元素都是集合b的元素，同時(shí),集合b的任何一個(gè)元素都是集合a的元素，我們就說(shuō)集合a等于集合b，即：a=b
①任何一個(gè)集合是它本身的子集。aía
②真子集:如果aíb,且a1b那就說(shuō)集合a是集合b的真子集，記作ab(或ba)
③如果aíb,bíc,那么aíc
④如果aíb同時(shí)bía那么a=b
3.不含任何元素的集合叫做空集，記為φ
規定:空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集。
三、集合的運算
1.交集的定義：一般地，由所有屬于a且屬于b的元素所組成的集合,叫做a,b的交集.
記作a∩b(讀作”a交b”)，即a∩b={x|x∈a，且x∈b}.
2、并集的定義：一般地，由所有屬于集合a或屬于集合b的元素所組成的集合，叫做a,b的并集。記作：a∪b(讀作”a并b”)，即a∪b={x|x∈a，或x∈b}.
3、交集與并集的性質(zhì)：a∩a=a,a∩φ=φ,a∩b=b∩a，a∪a=a,a∪φ=a,a∪b=b∪a.
1、集合的概念
集合是集合論中的不定義的原始概念，教材中對集合的概念進(jìn)行了描述性說(shuō)明：“一般地，把一些能夠確定的不同的對象看成一個(gè)整體，就說(shuō)這個(gè)整體是由這些對象的全體構成的集合(或集)”。理解這句話(huà)，應該把握4個(gè)關(guān)鍵詞：對象、確定的、不同的、整體。
對象――即集合中的元素。集合是由它的元素確定的。
整體――集合不是研究某一單一對象的，它關(guān)注的`是這些對象的全體。
確定的――集合元素的確定性――元素與集合的“從屬”關(guān)系。
不同的――集合元素的互異性。
2、有限集、無(wú)限集、空集的意義
有限集和無(wú)限集是針對非空集合來(lái)說(shuō)的。我們理解起來(lái)并不困難。
我們把不含有任何元素的集合叫做空集，記做φ。理解它時(shí)不妨思考一下“0與φ”及“φ與{φ}”的關(guān)系。
幾個(gè)常用數集n、n_n+、z、q、r要記牢。
3、集合的表示方法
(1)列舉法的表示形式比較容易掌握，并不是所有的集合都能用列舉法表示，同學(xué)們需要知道能用列舉法表示的三種集合：
①元素不太多的有限集，如{0，1，8}
②元素較多但呈現一定的規律的有限集，如{1，2，3，…，100}
③呈現一定規律的無(wú)限集，如{1，2，3，…，n，…}
●注意a與{a}的區別
●注意用列舉法表示集合時(shí)，集合元素的“無(wú)序性”。
(2)特征性質(zhì)描述法的關(guān)鍵是把所研究的集合的“特征性質(zhì)”找準，然后適當地表示出來(lái)就行了。但關(guān)鍵點(diǎn)也是難點(diǎn)。學(xué)習時(shí)多加練習就可以了。另外，弄清“代表元素”也是非常重要的。如{x|y=x2}，{y|y=x2}，{(x，y)|y=x2}是三個(gè)不同的集合。
4、集合之間的關(guān)系
●注意區分“從屬”關(guān)系與“包含”關(guān)系
“從屬”關(guān)系是元素與集合之間的關(guān)系。
“包含”關(guān)系是集合與集合之間的關(guān)系。掌握子集、真子集的概念，掌握集合相等的概念，學(xué)會(huì )正確使用“”等符號，會(huì )用venn圖描述集合之間的關(guān)系是基本要求。
●注意辨清φ與{φ}兩種關(guān)系。
圓錐曲線(xiàn)性質(zhì)：
一、圓錐曲線(xiàn)的定義
1.橢圓：到兩個(gè)定點(diǎn)的距離之和等于定長(cháng)(定長(cháng)大于兩個(gè)定點(diǎn)間的距離)的動(dòng)點(diǎn)的軌跡叫做橢圓.
2.雙曲線(xiàn)：到兩個(gè)定點(diǎn)的距離的差的絕對值為定值(定值小于兩個(gè)定點(diǎn)的距離)的動(dòng)點(diǎn)軌跡叫做雙曲線(xiàn).即.
3.圓錐曲線(xiàn)的統一定義：到定點(diǎn)的距離與到定直線(xiàn)的距離的比e是常數的點(diǎn)的軌跡叫做圓錐曲線(xiàn).當01時(shí)為雙曲線(xiàn).
二、圓錐曲線(xiàn)的方程
1.橢圓：+ =1(a>b>0)或 + =1(a>b>0)(其中,a2=b2+c2)
2.雙曲線(xiàn)：- =1(a>0,b>0)或 - =1(a>0,b>0)(其中,c2=a2+b2)
3.拋物線(xiàn)：y2=±2px(p>0),x2=±2py(p>0)
三、圓錐曲線(xiàn)的性質(zhì)
1.橢圓：+ =1(a>b>0)
(1)范圍：|x|≤a,|y|≤b(2)頂點(diǎn)：(±a,0),(0,±b)(3)焦點(diǎn)：(±c,0)(4)離心率：e= ∈(0,1)(5)準線(xiàn)：x=±
2.雙曲線(xiàn)：- =1(a>0,b>0)(1)范圍：|x|≥a,y∈r(2)頂點(diǎn)：(±a,0)(3)焦點(diǎn)：(±c,0)(4)離心率：e= ∈(1,+∞)(5)準線(xiàn)：x=± (6)漸近線(xiàn)：y=± x
3.拋物線(xiàn)：y2=2px(p>0)(1)范圍：x≥0,y∈r(2)頂點(diǎn)：(0,0)(3)焦點(diǎn)：( ,0)(4)離心率：e=1(5)準線(xiàn)：x=-
1、映射
(1)映射：設a、b是兩個(gè)集合，如果按照某種映射法則f，對于集合a中的任一個(gè)元素，在集合b中都有唯一的元素和它對應，則這樣的對應(包括集合a、b以及a到b的對應法則f)叫做集合a到集合b的映射，記作f：a→b。
注意點(diǎn)：(1)對映射定義的理解。(2)判斷一個(gè)對應是映射的方法。一對多不是映射，多對一是映射
2、函數
構成函數概念的三要素
①定義域②對應法則③值域
兩個(gè)函數是同一個(gè)函數的條件：三要素有兩個(gè)相同
1、求函數定義域的主要依據：
(1)分式的分母不為零;
(2)偶次方根的被開(kāi)方數不小于零，零取零次方?jīng)]有意義;
(3)對數函數的真數必須大于零;
(4)指數函數和對數函數的底數必須大于零且不等于1;
1求函數值域的方法
①直接法：從自變量x的范圍出發(fā)，推出y=f(x)的取值范圍，適合于簡(jiǎn)單的復合函數;
②換元法：利用換元法將函數轉化為二次函數求值域，適合根式內外皆為一次式;
③判別式法：運用方程思想，依據二次方程有根，求出y的取值范圍;適合分母為二次且∈r的分式;
④分離常數：適合分子分母皆為一次式(x有范圍限制時(shí)要畫(huà)圖);
⑤單調性法：利用函數的單調性求值域;
⑥圖象法：二次函數必畫(huà)草圖求其值域;
⑦利用對號函數
⑧幾何意義法：由數形結合，轉化距離等求值域。主要是含絕對值函數
1.定義:設y=f(x)，x∈a，如果對于任意∈a，都有，則稱(chēng)y=f(x)為偶函數。
如果對于任意∈a，都有，則稱(chēng)y=f(x)為奇
函數。
2.性質(zhì)：
①y=f(x)是偶函數y=f(x)的圖象關(guān)于軸對稱(chēng),y=f(x)是奇函數y=f(x)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱(chēng),
②若函數f(x)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱(chēng)，則f(0)=0
③奇±奇=奇偶±偶=偶奇×奇=偶偶×偶=偶奇×偶=奇[兩函數的定義域d1，d2，d1∩d2要關(guān)于原點(diǎn)對稱(chēng)]
3.奇偶性的判斷
①看定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對稱(chēng)②看f(x)與f(-x)的關(guān)系
1、函數單調性的定義：
2設是定義在m上的函數，若f(x)與g(x)的單調性相反，則在m上是減函數;若f(x)與g(x)的單調性相同，則在m上是增函數。
棱錐
棱錐的定義：有一個(gè)面是多邊形，其余各面都是有一個(gè)公共頂點(diǎn)的三角形，這些面圍成的幾何體叫做棱錐
棱錐的的性質(zhì)：
(1)側棱交于一點(diǎn)。側面都是三角形
(2)平行于底面的截面與底面是相似的多邊形。且其面積比等于截得的棱錐的高與遠棱錐高的比的平方
正棱錐
正棱錐的定義：如果一個(gè)棱錐底面是正多邊形，并且頂點(diǎn)在底面內的射影是底面的中心，這樣的棱錐叫做正棱錐。
正棱錐的性質(zhì)：
(1)各側棱交于一點(diǎn)且相等，各側面都是全等的等腰三角形。各等腰三角形底邊上的高相等，它叫做正棱錐的斜高。
(3)多個(gè)特殊的直角三角形
esp：
a、相鄰兩側棱互相垂直的正三棱錐，由三垂線(xiàn)定理可得頂點(diǎn)在底面的射影為底面三角形的垂心。
b、四面體中有三對異面直線(xiàn)，若有兩對互相垂直，則可得第三對也互相垂直。且頂點(diǎn)在底面的射影為底面三角形的垂心。
數學(xué)是利用符號語(yǔ)言研究數量、結構、變化以及空間模型等概念的一門(mén)學(xué)科。小編準備了高一數學(xué)必修1期末考知識點(diǎn)，希望你喜歡。
1、集合的含義：某些指定的對象集在一起就成為一個(gè)集合,其中每一個(gè)對象叫元素.
2、集合的中元素的三個(gè)特性：
1.元素的確定性; 2.元素的互異性; 3.元素的無(wú)序性
說(shuō)明：(1)對于一個(gè)給定的集合,集合中的元素是確定的,任何一個(gè)對象或者是或者不是這個(gè)給定的集合的元素.
(2)任何一個(gè)給定的集合中,任何兩個(gè)元素都是不同的對象,相同的對象歸入一個(gè)集合時(shí),僅算一個(gè)元素.
(3)集合中的元素是平等的,沒(méi)有先后順序,因此判定兩個(gè)集合是否一樣,僅需比較它們的元素是否一樣,不需考查排列順序是否一樣.
(4)集合元素的三個(gè)特性使集合本身具有了確定性和整體性.
3、集合的表示：{ } 如{我校的籃球隊員},{太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋}
1. 用拉丁字母表示集合：a={我校的籃球隊員},b={1,2,3,4,5}
2.集合的表示方法：列舉法與描述法.
注意?。撼Ｓ脭导捌溆浄ǎ?/p>
非負整數集(即自然數集)記作：n
正整數集 n*或n+ 整數集z 有理數集q 實(shí)數集r
關(guān)于屬于的概念
集合的元素通常用小寫(xiě)的拉丁字母表示,如：a是集合a的元素,就說(shuō)a屬于集合a 記作 aa ,相反,a不屬于集合a 記作 a?a
列舉法：把集合中的元素一一列舉出來(lái),然后用一個(gè)大括號括上.
描述法：將集合中的元素的公共屬性描述出來(lái),寫(xiě)在大括號內表示集合的方法.用確定的條件表示某些對象是否屬于這個(gè)集合的方法.
①語(yǔ)言描述法：例：{不是直角三角形的三角形}
②數學(xué)式子描述法：例：不等式x-32的解集是{x?r| x-32}或{x| x-32}
4、集合的分類(lèi)：
1.有限集 含有有限個(gè)元素的集合
2.無(wú)限集 含有無(wú)限個(gè)元素的集合
3.空集 不含任何元素的集合 例：{x|x2=-5｝
1.包含關(guān)系子集
注意：
有兩種可能(1)a是b的一部分,;(2)a與b是同一集合.
反之: 集合a不包含于集合b,或集合b不包含集合a,記作a b或b a
2.相等關(guān)系(55,且55,則5=5)
實(shí)例：設 a={x|x2-1=0} b={-1,1} 元素相同
結論：對于兩個(gè)集合a與b,如果集合a的任何一個(gè)元素都是集合b的元素,同時(shí),集合b的任何一個(gè)元素都是集合a的元素,我們就說(shuō)集合a等于集合b,即：a=b
①
②真子集:如果ab,且a1 b那就說(shuō)集合a是集合b的真子集,記作a b(或b a)
③如果 ab, bc ,那么 ac
④ 如果ab 同時(shí) ba 那么a=b
3. 不含任何元素的集合叫做空集,記為
規定: 空集是任何集合的子集, 空集是任何非空集合的真子集.
1.交集的定義：一般地,由所有屬于a且屬于b的元素所組成的集合,叫做a,b的交集.
記作ab(讀作a交b),即ab={x|xa,且xb}.
2、并集的定義：一般地,由所有屬于集合a或屬于集合b的元素所組成的集合,叫做a,b的并集.記作：ab(讀作a并b),即ab={x|xa,或xb}.
3、交集與并集的性質(zhì)：aa = a, a=, ab = ba,aa = a,
a= a ,ab = ba.
4、全集與補集
(1)補集：設s是一個(gè)集合,a是s的一個(gè)子集(即 ),由s中所有不屬于a的元素組成的集合,叫做s中子集a的補集(或余集)
(2)全集：如果集合s含有我們所要研究的各個(gè)集合的全部元素,這個(gè)集合就可以看作一個(gè)全集.通常用u來(lái)表示.
(3)性質(zhì)：⑴cu(c ua)=a ⑵(c ua) ⑶(cua)a=u
1、“包含”關(guān)系—子集
注意：有兩種可能（1）a是b的一部分，；
（2）a與b是同一集合。
反之：集合a不包含于集合b，或集合b不包含集合a，記作ab或ba
2、“相等”關(guān)系（5≥5，且5≤5，則5=5）
實(shí)例：設a={x|x2—1=0}b={—1，1}“元素相同”
結論：對于兩個(gè)集合a與b，如果集合a的任何一個(gè)元素都是集合b的元素，同時(shí)，集合b的任何一個(gè)元素都是集合a的元素，我們就說(shuō)集合a等于集合b，即：a=b
①任何一個(gè)集合是它本身的子集。aía
②真子集：如果aíb，且a1b那就說(shuō)集合a是集合b的真子集，記作ab（或ba）
③如果aíb，bíc，那么aíc
④如果aíb同時(shí)bía那么a=b
3、不含任何元素的集合叫做空集，記為φ
規定：空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集。
形如y=k/x（k為常數且k≠0）的函數，叫做反比例函數。
自變量x的取值范圍是不等于0的一切實(shí)數。
反比例函數圖像性質(zhì)：
反比例函數的圖像為雙曲線(xiàn)。
由于反比例函數屬于奇函數，有f（—x）=—f（x），圖像關(guān)于原點(diǎn)對稱(chēng)。
另外，從反比例函數的解析式可以得出，在反比例函數的圖像上任取一點(diǎn)，向兩個(gè)坐標軸作垂線(xiàn)，這點(diǎn)、兩個(gè)垂足及原點(diǎn)所圍成的矩形面積是定值，為∣k∣。
上面給出了k分別為正和負（2和—2）時(shí)的函數圖像。
當k>0時(shí)，反比例函數圖像經(jīng)過(guò)一，三象限，是減函數
當k<0時(shí)，反比例函數圖像經(jīng)過(guò)二，四象限，是增函數
反比例函數圖像只能無(wú)限趨向于坐標軸，無(wú)法和坐標軸相交。
知識點(diǎn)：
1、過(guò)反比例函數圖象上任意一點(diǎn)作兩坐標軸的垂線(xiàn)段，這兩條垂線(xiàn)段與坐標軸圍成的矩形的面積為|k|。
2、對于雙曲線(xiàn)y=k/x，若在分母上加減任意一個(gè)實(shí)數（即y=k/（x±m）m為常數），就相當于將雙曲線(xiàn)圖象向左或右平移一個(gè)單位。（加一個(gè)數時(shí)向左平移，減一個(gè)數時(shí)向右平移）
方程的根與函數的零點(diǎn)
1、函數零點(diǎn)的概念：對于函數，把使成立的實(shí)數叫做函數的零點(diǎn)。
2、函數零點(diǎn)的意義：函數的零點(diǎn)就是方程實(shí)數根，亦即函數的圖象與軸交點(diǎn)的橫坐標。即：方程有實(shí)數根，函數的圖象與坐標軸有交點(diǎn)，函數有零點(diǎn)。
3、函數零點(diǎn)的求法：
（1）（代數法）求方程的實(shí)數根；
（2）（幾何法）對于不能用求根公式的方程，可以將它與函數的圖象聯(lián)系起來(lái)，并利用函數的性質(zhì)找出零點(diǎn)。
4、二次函數的零點(diǎn)：
（1）△>0，方程有兩不等實(shí)根，二次函數的圖象與軸有兩個(gè)交點(diǎn)，二次函數有兩個(gè)零點(diǎn)。
（2）△=0，方程有兩相等實(shí)根（二重根），二次函數的圖象與軸有一個(gè)交點(diǎn)，二次函數有一個(gè)二重零點(diǎn)或二階零點(diǎn)。
（3）△<0，方程無(wú)實(shí)根，二次函數的圖象與軸無(wú)交點(diǎn)，二次函數無(wú)零點(diǎn)。
歸納3
形如y=k/x（k為常數且k≠0）的函數，叫做反比例函數。
自變量x的取值范圍是不等于0的一切實(shí)數。
反比例函數圖像性質(zhì)：
反比例函數的圖像為雙曲線(xiàn)。
由于反比例函數屬于奇函數，有f（—x）=—f（x），圖像關(guān)于原點(diǎn)對稱(chēng)。
另外，從反比例函數的解析式可以得出，在反比例函數的圖像上任取一點(diǎn)，向兩個(gè)坐標軸作垂線(xiàn)，這點(diǎn)、兩個(gè)垂足及原點(diǎn)所圍成的矩形面積是定值，為∣k∣。
如圖，上面給出了k分別為正和負（2和—2）時(shí)的函數圖像。
當k>0時(shí)，反比例函數圖像經(jīng)過(guò)一，三象限，是減函數
當k<0時(shí)，反比例函數圖像經(jīng)過(guò)二，四象限，是增函數
反比例函數圖像只能無(wú)限趨向于坐標軸，無(wú)法和坐標軸相交。
知識點(diǎn)：
1、過(guò)反比例函數圖象上任意一點(diǎn)作兩坐標軸的垂線(xiàn)段，這兩條垂線(xiàn)段與坐標軸圍成的矩形的面積為|k|。
2、對于雙曲線(xiàn)y=k/x，若在分母上加減任意一個(gè)實(shí)數（即y=k/（x±m）m為常數），就相當于將雙曲線(xiàn)圖象向左或右平移一個(gè)單位。（加一個(gè)數時(shí)向左平移，減一個(gè)數時(shí)向右平移）
冪函數的性質(zhì)：
對于a的取值為非零有理數，有必要分成幾種情況來(lái)討論各自的特性：
首先我們知道如果a=p/q，q和p都是整數，則x^（p/q）=q次根號（x的p次方），如果q是奇數，函數的定義域是r，如果q是偶數，函數的定義域是[0，+∞）。當指數n是負整數時(shí)，設a=—k，則x=1/（x^k），顯然x≠0，函數的定義域是（—∞，0）∪（0，+∞）、因此可以看到x所受到的限制來(lái)源于兩點(diǎn)，一是有可能作為分母而不能是0，一是有可能在偶數次的根號下而不能為負數，那么我們就可以知道：
排除了為0與負數兩種可能，即對于x>0，則a可以是任意實(shí)數；
排除了為0這種可能，即對于x<0x="">0的所有實(shí)數，q不能是偶數；
排除了為負數這種可能，即對于x為大于且等于0的所有實(shí)數，a就不能是負數。
總結起來(lái)，就可以得到當a為不同的數值時(shí)，冪函數的定義域的不同情況如下：如果a為任意實(shí)數，則函數的定義域為大于0的所有實(shí)數；
如果a為負數，則x肯定不能為0，不過(guò)這時(shí)函數的定義域還必須根據q的奇偶性來(lái)確定，即如果同時(shí)q為偶數，則x不能小于0，這時(shí)函數的定義域為大于0的所有實(shí)數；
如果同時(shí)q為奇數，則函數的定義域為不等于0的所有實(shí)數。
在x大于0時(shí)，函數的值域總是大于0的實(shí)數。
在x小于0時(shí)，則只有同時(shí)q為奇數，函數的值域為非零的實(shí)數。
而只有a為正數，0才進(jìn)入函數的值域。
由于x大于0是對a的任意取值都有意義的，因此下面給出冪函數在第一象限的各自情況、
可以看到：
（1）所有的圖形都通過(guò)（1，1）這點(diǎn)。
（2）當a大于0時(shí)，冪函數為單調遞增的，而a小于0時(shí)，冪函數為單調遞減函數。
（3）當a大于1時(shí)，冪函數圖形下凹；
當a小于1大于0時(shí)，冪函數圖形上凸。
（4）當a小于0時(shí)，a越小，圖形傾斜程度越大。
（5）a大于0，函數過(guò)（0，0）；
a小于0，函數不過(guò)（0，0）點(diǎn)。
（6）顯然冪函數無(wú)界。
解題方法：換元法
解數學(xué)題時(shí)，把某個(gè)式子看成一個(gè)整體，用一個(gè)變量去代替它，從而使問(wèn)題得到簡(jiǎn)化，這種方法叫換元法，換元的實(shí)質(zhì)是轉化，關(guān)鍵是構造元和設元，理論依據是等量代換，目的是變換研究對象，將問(wèn)題移至新對象的知識背景中去研究，從而使非標準型問(wèn)題標準化、復雜問(wèn)題簡(jiǎn)單化，變得容易處理。
換元法又稱(chēng)輔助元素法、變量代換法。通過(guò)引進(jìn)新的變量，可以把分散的條件聯(lián)系起來(lái)，隱含的條件顯露出來(lái)，或者把條件與結論聯(lián)系起來(lái)?；蛘咦?yōu)槭煜さ男问?，把復雜的計算和推證簡(jiǎn)化。
它可以化高次為低次、化分式為整式、化無(wú)理式為有理式、化超越式為代數式，在研究方程、不等式、函數、數列、三角等問(wèn)題中有廣泛的應用。
內容子交并補集，還有冪指對函數。性質(zhì)奇偶與增減，觀(guān)察圖象最明顯。
復合函數式出現，性質(zhì)乘法法則辨，若要詳細證明它，還須將那定義抓。
指數與對數函數,初中學(xué)習方法，兩者互為反函數。底數非1的正數，1兩邊增減變故。
函數定義域好求。分母不能等于0，偶次方根須非負，零和負數無(wú)對數;
正切函數角不直，余切函數角不平;其余函數實(shí)數集，多種情況求交集。
兩個(gè)互為反函數，單調性質(zhì)都相同;圖象互為軸對稱(chēng)，y=x是對稱(chēng)軸;
求解非常有規律，反解換元定義域;反函數的定義域，原來(lái)函數的值域。
冪函數性質(zhì)易記，指數化既約分數;函數性質(zhì)看指數，奇母奇子奇函數，
奇母偶子偶函數，偶母非奇偶函數;圖象第一象限內，函數增減看正負。
形如y=k/x(k為常數且k≠0)的函數，叫做反比例函數。
自變量x的取值范圍是不等于0的一切實(shí)數。
反比例函數圖像性質(zhì)：
反比例函數的圖像為雙曲線(xiàn)。
由于反比例函數屬于奇函數，有f(-x)=-f(x)，圖像關(guān)于原點(diǎn)對稱(chēng)。
另外，從反比例函數的解析式可以得出，在反比例函數的圖像上任取一點(diǎn)，向兩個(gè)坐標軸作垂線(xiàn),高中地理，這點(diǎn)、兩個(gè)垂足及原點(diǎn)所圍成的矩形面積是定值，為?k?。
如圖，上面給出了k分別為正和負(2和-2)時(shí)的函數圖像。
當k>0時(shí)，反比例函數圖像經(jīng)過(guò)一，三象限，是減函數
當k<0時(shí)，反比例函數圖像經(jīng)過(guò)二，四象限，是增函數
反比例函數圖像只能無(wú)限趨向于坐標軸，無(wú)法和坐標軸相交。
知識點(diǎn)：
1.過(guò)反比例函數圖象上任意一點(diǎn)作兩坐標軸的垂線(xiàn)段，這兩條垂線(xiàn)段與坐標軸圍成的矩形的面積為k。
2.對于雙曲線(xiàn)y=k/x，若在分母上加減任意一個(gè)實(shí)數(即y=k/(x±m)m為常數)，就相當于將雙曲線(xiàn)圖象向左或右平移一個(gè)單位。(加一個(gè)數時(shí)向左平移，減一個(gè)數時(shí)向右平移)
二次函數
i.定義與定義表達式
一般地，自變量x和因變量y之間存在如下關(guān)系：y=ax^2+bx+c
(a，b，c為常數，a≠0，且a決定函數的開(kāi)口方向，a>0時(shí)，開(kāi)口方向向上，a<0時(shí)，開(kāi)口方向向下，iai還可以決定開(kāi)口大小，iai越大開(kāi)口就越小，iai越小開(kāi)口就越大.)
則稱(chēng)y為x的二次函數。
二次函數表達式的右邊通常為二次三項式。
ii.二次函數的三種表達式
一般式：y=ax^2+bx+c(a，b，c為常數，a≠0)
頂點(diǎn)式：y=a(x-h)^2+k[拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)p(h，k)]
交點(diǎn)式：y=a(x-x?)(x-x?)[僅限于與x軸有交點(diǎn)a(x?，0)和b(x?，0)的拋物線(xiàn)]
注：在3種形式的互相轉化中，有如下關(guān)系：
h=-b/2ak=(4ac-b^2)/4ax?，x?=(-b±√b^2-4ac)/2a
iii.二次函數的圖像
在平面直角坐標系中作出二次函數y=x^2的圖像，可以看出，二次函數的圖像是一條拋物線(xiàn)。
iv.拋物線(xiàn)的性質(zhì)
1.拋物線(xiàn)是軸對稱(chēng)圖形。對稱(chēng)軸為直線(xiàn)x=-b/2a。對稱(chēng)軸與拋物線(xiàn)的交點(diǎn)為拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)p。
特別地，當b=0時(shí)，拋物線(xiàn)的對稱(chēng)軸是y軸(即直線(xiàn)x=0)
2.拋物線(xiàn)有一個(gè)頂點(diǎn)p，坐標為
p(-b/2a，(4ac-b^2)/4a)
當-b/2a=0時(shí)，p在y軸上;當δ=b^2-4ac=0時(shí)，p在x軸上。
3.二次項系數a決定拋物線(xiàn)的開(kāi)口方向和大小。
當a>0時(shí)，拋物線(xiàn)向上開(kāi)口;當a<0時(shí)，拋物線(xiàn)向下開(kāi)口。
|a|越大，則拋物線(xiàn)的開(kāi)口越小。
一：函數及其表示
知識點(diǎn)詳解文檔包含函數的概念、映射、函數關(guān)系的判斷原則、函數區間、函數的三要素、函數的定義域、求具體或抽象數值的函數值、求函數值域、函數的表示方法等
1. 函數與映射的區別：
2. 求函數定義域
常見(jiàn)的用解析式表示的函數f(x)的定義域可以歸納如下：
①當f(x)為整式時(shí)，函數的定義域為r.
②當f(x)為分式時(shí)，函數的定義域為使分式分母不為零的實(shí)數集合。
③當f(x)為偶次根式時(shí)，函數的定義域是使被開(kāi)方數不小于0的實(shí)數集合。
④當f(x)為對數式時(shí)，函數的定義域是使真數為正、底數為正且不為1的實(shí)數集合。
⑤如果f(x)是由幾個(gè)部分的數學(xué)式子構成的，那么函數定義域是使各部分式子都有意義的實(shí)數集合，即求各部分有意義的實(shí)數集合的交集。
⑥復合函數的定義域是復合的各基本的函數定義域的交集。
⑦對于由實(shí)際問(wèn)題的背景確定的函數，其定義域除上述外，還要受實(shí)際問(wèn)題的制約。
3. 求函數值域
(1)、觀(guān)察法：通過(guò)對函數定義域、性質(zhì)的觀(guān)察，結合函數的解析式，求得函數的值域;
(2)、配方法;如果一個(gè)函數是二次函數或者經(jīng)過(guò)換元可以寫(xiě)成二次函數的形式，那么將這個(gè)函數的右邊配方，通過(guò)自變量的范圍可以求出該函數的值域;
(3)、判別式法：
(4)、數形結合法;通過(guò)觀(guān)察函數的圖象，運用數形結合的方法得到函數的值域;
(5)、換元法;以新變量代替函數式中的某些量，使函數轉化為以新變量為自變量的函數形式，進(jìn)而求出值域;
(6)、利用函數的單調性;如果函數在給出的定義域區間上是嚴格單調的，那么就可以利用端點(diǎn)的函數值來(lái)求出值域;
(7)、利用基本不等式：對于一些特殊的分式函數、高于二次的函數可以利用重要不等式求出函數的值域;
(8)、最值法：對于閉區間[a,b]上的連續函數y=f(x),可求出y=f(x)在區間[a,b]內的極值,并與邊界值f(a).f(b)作比較,求出函數的最值,可得到函數y的值域;
(9)、反函數法：如果函數在其定義域內存在反函數，那么求函數的值域可以轉化為求反函數的定義域。
函數圖象知識歸納
(1)定義：在平面直角坐標系中，以函數y=f(x),(x∈a)中的x為橫坐標，函數值y為縱坐標的點(diǎn)p(x，y)的函數c，叫做函數y=f(x),(x∈a)的圖象.c上每一點(diǎn)的坐標(x，y)均滿(mǎn)足函數關(guān)系y=f(x)，反過(guò)來(lái)，以滿(mǎn)足y=f(x)的每一組有序實(shí)數對x、y為坐標的點(diǎn)(x，y)，均在c上.
(2)畫(huà)法
a、描點(diǎn)法：
b、圖象變換法
常用變換方法有三種
1)平移變換
2)伸縮變換
3)對稱(chēng)變換
4.高中數學(xué)函數區間的概念
(1)函數區間的分類(lèi)：開(kāi)區間、閉區間、半開(kāi)半閉區間
(2)無(wú)窮區間
5.映射
一般地，設a、b是兩個(gè)非空的函數，如果按某一個(gè)確定的對應法則f，使對于函數a中的任意一個(gè)元素x，在函數b中都有確定的元素y與之對應，那么就稱(chēng)對應f：ab為從函數a到函數b的一個(gè)映射。記作“f(對應關(guān)系)：a(原象)b(象)”
對于映射f：a→b來(lái)說(shuō)，則應滿(mǎn)足：
(1)函數a中的每一個(gè)元素，在函數b中都有象，并且象是的;
(2)函數a中不同的元素，在函數b中對應的象可以是同一個(gè);
(3)不要求函數b中的每一個(gè)元素在函數a中都有原象。
6.高中數學(xué)函數之分段函數
(1)在定義域的不同部分上有不同的解析表達式的函數。
(2)各部分的自變量的取值情況.
(3)分段函數的定義域是各段定義域的交集，值域是各段值域的并集.
補充：復合函數
如果y=f(u)(u∈m),u=g(x)(x∈a),則y=f[g(x)]=f(x)(x∈a)稱(chēng)為f、g的復合函數。
1.函數的概念：設a、b是非空的數集，如果按照某個(gè)確定的對應關(guān)系f，使對于集合a中的任意一個(gè)數x，在集合b中都有唯一確定的數f(x)和它對應，那么就稱(chēng)f：a→b為從集合a到集合b的一個(gè)函數.記作：y=f(x)，x∈a.其中，x叫做自變量，x的取值范圍a叫做函數的定義域;與x的值相對應的y值叫做函數值，函數值的集合{f(x)|x∈a}叫做函數的值域.
注意：2如果只給出解析式y=f(x)，而沒(méi)有指明它的定義域，則函數的定義域即是指能使這個(gè)式子有意義的實(shí)數的集合;3函數的定義域、值域要寫(xiě)成集合或區間的形式.
定義域補充
能使函數式有意義的實(shí)數x的集合稱(chēng)為函數的定義域，求函數的定義域時(shí)列不等式組的主要依據是：(1)分式的分母不等于零;(2)偶次方根的被開(kāi)方數不小于零;(3)對數式的真數必須大于零;(4)指數、對數式的底必須大于零且不等于1.(5)如果函數是由一些基本函數通過(guò)四則運算結合而成的.那么，它的定義域是使各部分都有意義的x的值組成的集合.(6)指數為零底不可以等于零(6)實(shí)際問(wèn)題中的函數的定義域還要保證實(shí)際問(wèn)題有意義.
構成函數的三要素：定義域、對應關(guān)系和值域
再注意：(1)構成函數三個(gè)要素是定義域、對應關(guān)系和值域.由于值域是由定義域和對應關(guān)系決定的，所以，如果兩個(gè)函數的定義域和對應關(guān)系完全一致，即稱(chēng)這兩個(gè)函數相等(或為同一函數)(2)兩個(gè)函數相等當且僅當它們的定義域和對應關(guān)系完全一致，而與表示自變量和函數值的字母無(wú)關(guān)。相同函數的判斷方法：①表達式相同;②定義域一致(兩點(diǎn)必須同時(shí)具備)
值域補充
(1)、函數的值域取決于定義域和對應法則，不論采取什么方法求函數的值域都應先考慮其定義域.(2).應熟悉掌握一次函數、二次函數、指數、對數函數及各三角函數的值域，它是求解復雜函數值域的基礎。
3.函數圖象知識歸納
(1)定義：在平面直角坐標系中，以函數y=f(x),(x∈a)中的x為橫坐標，函數值y為縱坐標的點(diǎn)p(x，y)的集合c，叫做函數y=f(x),(x∈a)的圖象.
c上每一點(diǎn)的坐標(x，y)均滿(mǎn)足函數關(guān)系y=f(x)，反過(guò)來(lái)，以滿(mǎn)足y=f(x)的每一組有序實(shí)數對x、y為坐標的點(diǎn)(x，y)，均在c上.即記為c={p(x,y)|y=f(x),x∈a}
圖象c一般的是一條光滑的連續曲線(xiàn)(或直線(xiàn)),也可能是由與任意平行與y軸的直線(xiàn)最多只有一個(gè)交點(diǎn)的若干條曲線(xiàn)或離散點(diǎn)組成。
(2)畫(huà)法
a、描點(diǎn)法：根據函數解析式和定義域，求出x,y的一些對應值并列表，以(x,y)為坐標在坐標系內描出相應的點(diǎn)p(x,y)，最后用平滑的曲線(xiàn)將這些點(diǎn)連接起來(lái).
b、圖象變換法(請參考必修4三角函數)
常用變換方法有三種，即平移變換、伸縮變換和對稱(chēng)變換
(3)作用：
1、直觀(guān)的看出函數的性質(zhì);2、利用數形結合的方法分析解題的思路。提高解題的速度。
