6.4
平面向量的應用 6.4.1
平面幾何中的向量方法 6.4.2
向量在物理中的應用舉例 學(xué)習目標 1.能用向量方法解決簡(jiǎn)單的幾何問(wèn)題.2.能用向量方法解決簡(jiǎn)單的力學(xué)問(wèn)題和其他實(shí)際問(wèn)題.3.培養學(xué)生運算能力，分析和解決實(shí)際問(wèn)題的能力.
知識點(diǎn)一 向量方法解決平面幾何問(wèn)題的步驟 用向量方法解決平面幾何問(wèn)題的“三步曲”：
(1)建立平面幾何與向量的聯(lián)系，用向量表示問(wèn)題中涉及的幾何元素，將平面幾何問(wèn)題轉化為向量問(wèn)題. (2)通過(guò)向量運算，研究幾何元素之間的關(guān)系，如距離、夾角等問(wèn)題. (3)把運算結果“翻譯”成幾何關(guān)系. 知識點(diǎn)二 向量方法解決物理問(wèn)題的步驟 用向量方法討論物理學(xué)中的相關(guān)問(wèn)題，一般來(lái)說(shuō)分為四個(gè)步驟：
(1)問(wèn)題轉化，即把物理問(wèn)題轉化為數學(xué)問(wèn)題. (2)建立模型，即建立以向量為載體的數學(xué)模型. (3)求解參數，即求向量的模、夾角、數量積等. (4)回答問(wèn)題，即把所得的數學(xué)結論回歸到物理問(wèn)題. 思考 物理問(wèn)題中有哪些量是向量？它們與向量的哪些運算相關(guān)？ 答案 物理中的向量：①物理中有許多量，比如力、速度、加速度、位移都具有大小和方向，因而它們都是向量.②力、速度、加速度、位移的合成就是向量的加法，因而它們也符合向量加法的三角形法則和平行四邊形法則；力、速度、加速度、位移的分解也就是向量的分解，運動(dòng)的疊加也用到了向量的加法.③動(dòng)量mv是數乘向量.④力所做的功就是作用力F與物體在力 F 的作用下所產(chǎn)生的位移 s 的數量積.
1.若△ABC 為直角三角形，則有AB→ ·BC → ＝0.( × ) 2.若向量AB→ ∥CD →，則 AB∥CD.( × ) 3.功是力 F 與位移 s 的數量積.( √ )
4.力的合成與分解體現了向量的加減法運算.( √ )
一、利用向量證明平面幾何問(wèn)題 例 1 如圖所示，在正方形 ABCD 中，E，F 分別是 AB，BC 的中點(diǎn)，求證：AF⊥DE.
證明 方法一 設AD→＝a，AB→ ＝b， 則|a|＝|b|，a·b＝0. 又DE→＝DA→＋AE→ ＝－a＋ b2 ， AF→ ＝AB → ＋BF → ＝b＋ a2 ， 所以AF→ ·DE →＝ ????b＋ a2·????－a＋ b2 ＝－ a22 －34 a·b＋b 22
?。剑?12 |a|2 ＋ 12 |b|2 ＝0. 故AF→ ⊥DE →，即 AF⊥DE. 方法二 如圖所示，建立平面直角坐標系，設正方形的邊長(cháng)為 2，則 A(0,0)，D(0,2)，E(1,0)，F(2,1)，則AF→ ＝(2,1)，DE →＝(1，－2).
因為AF→ ·DE →＝(2,1)·(1，－2)＝2－2＝0， 所以AF→ ⊥DE →，即 AF⊥DE. 反思感悟 用向量證明平面幾何問(wèn)題的兩種基本思路及步驟 (1)利用線(xiàn)性運算證明的四個(gè)步驟 ①選取基底.②用基底表示相關(guān)向量.③利用向量的線(xiàn)性運算或數量積找出相應關(guān)系.④把幾何問(wèn)題向量化. (2)利用坐標運算證明的四個(gè)步驟
?、俳⑦m當的平面直角坐標系.②把相關(guān)向量坐標化.③用向量的坐標運算找出相應關(guān)系.④把幾何問(wèn)題向量化. 跟蹤訓練 1 已知 O，A，B 是平面上不共線(xiàn)的三點(diǎn)，直線(xiàn) AB 上有一點(diǎn) C，滿(mǎn)足 2AC→ ＋CB → ＝0， (1)用OA→，OB→表示OC→； (2)若點(diǎn) D 是 OB 的中點(diǎn)，證明四邊形 OCAD 是梯形. (1)解 因為 2AC→ ＋CB → ＝0， 所以 2(OC→－OA→)＋(OB→－OC→)＝0， 2OC→－2OA→＋OB→－OC→＝0， 所以OC→＝2OA→－OB→. (2)證明 如圖，DA→＝DO→＋OA→＝－ 12 OB→＋OA→＝ 12 (2OA→－OB→).
故DA→＝ 12 OC→.即 DA∥OC，且 DA≠OC，故四邊形 OCAD 為梯形. 二、利用向量解決平面幾何求值問(wèn)題 例 2 如圖，已知|p|＝2 2，|q|＝3，p，q 的夾角為 π4 ，若AB→ ＝5p＋2q，AC → ＝p－3q，D 為 BC的中點(diǎn)，則|AD→|＝________.
答案 152 解析 由題意知 2AD→＝AB→ ＋AC → ， 因為AB→ ＝5p＋2q，AC → ＝p－3q， 所以 2AD→＝AB→ ＋AC → ＝6p－q， 所以 2|AD→|＝|6p－q| ＝ 36×?2 2? 2 －12×2 2×3cos π4 ＋32 ＝15，所以|AD → |＝ 152.
反思感悟 (1)用向量法求長(cháng)度的策略 ①根據圖形特點(diǎn)選擇基底，利用向量的數量積轉化，用公式|a| 2 ＝a 2 求解. ②建立坐標系，確定相應向量的坐標，代入公式：若 a＝(x，y)，則|a|＝ x 2 ＋y 2 . (2)用向量法解決平面幾何問(wèn)題的兩種思想 ①幾何法：選取適當的基底(基底中的向量盡量已知?；驃A角)，將題中涉及的向量用基底表示，利用向量的運算法則、運算律或性質(zhì)求解. ②坐標法：建立平面直角坐標系，實(shí)現向量的坐標化，將幾何問(wèn)題中的長(cháng)度、垂直、平行等問(wèn)題轉化為代數運算. 跟蹤訓練 2 在△ABC 中，已知 A(4,1)，B(7,5)，C(－4,7)，則 BC 邊上的中線(xiàn) AD 的長(cháng)是(
) A.2 5
B. 5 52
C.3 5
D. 7 52 答案 B 解析 ∵BC 的中點(diǎn)為 D ????32 ，6 ，AD→＝ ????－ 52 ，5 ， ∴|AD→|＝ 5 52. 三、向量在物理中的應用 例 3 一艘船以 5 km/h 的速度向垂直于對岸的方向行駛，船的實(shí)際航行方向與水流方向成30°角，則水流速度為_(kāi)_______ km/h. 答案 5 3 解析 如圖所示，船速|(zhì)v 1 |＝5 km/h，水流速度為 v 2 ，
實(shí)際航行方向 v 與水流方向 v 2 成 30°角， ∴|v 2 |＝|v 1 |tan 30°＝5 3(km/h). 反思感悟 用向量解決物理問(wèn)題的一般步驟 (1)問(wèn)題的轉化，即把物理問(wèn)題轉化為數學(xué)問(wèn)題. (2)模型的建立，即建立以向量為主體的數學(xué)模型. (3)參數的獲得，即求出數學(xué)模型的有關(guān)解——理論參數值. (4)問(wèn)題的答案，即回到問(wèn)題的初始狀態(tài)，解釋相關(guān)的物理現象. 跟蹤訓練 3 一物體在力 F 1 ＝(3，－4)，F 2 ＝(2，－5)，F 3 ＝(3,1)的共同作用下從點(diǎn) A(1,1)移動(dòng)到點(diǎn) B(0,5).在這個(gè)過(guò)程中三個(gè)力的合力所做的功為_(kāi)_______. 答案 －40 解析 ∵F 1 ＝(3，－4)，F 2 ＝(2，－5)，F 3 ＝(3,1)，
∴合力 F＝F 1 ＋F 2 ＋F 3 ＝(8，－8). 又∵AB→ ＝(－1,4)， ∴F·AB→ ＝8×(－1)＋(－8)×4＝－40， 即三個(gè)力的合力做的功等于－40.
1.在△ABC 中，若(CA→ ＋CB → )·(CA → －CB → )＝0，則△ABC(
) A.是正三角形
B.是直角三角形 C.是等腰三角形
D.形狀無(wú)法確定 答案 C 解析 (CA→ ＋CB → )·(CA → －CB → )＝CA → 2 －CB → 2 ＝0，即|CA → |＝|CB → |，∴CA＝CB，則△ABC 是等腰三角形. 2.已知 A，B，C，D 四點(diǎn)的坐標分別為(1,0)，(4,3)，(2,4)，(0,2)，則此四邊形為(
) A.梯形
B.菱形 C.矩形
D.正方形 答案 A 解析 ∵AB→ ＝(3,3)，CD →＝(－2，－2)， ∴AB→ ＝－ 32 CD→，∴AB→ 與CD →共線(xiàn). 又|AB→ |≠|CD →|，∴該四邊形為梯形. 3.當兩人提起重量為|G|的旅行包時(shí)，兩人用力方向的夾角為 θ，用力大小都為|F|，若|F|＝|G|，則 θ 的值為(
) A.30°
B.60°
C.90°
D.120° 答案 D 解析 作OA→＝F 1 ，OB→＝F 2 ，OC→＝－G(圖略)， 則OC→＝OA→＋OB→， 當|F 1 |＝|F 2 |＝|G|時(shí)，△OAC 為正三角形， 所以∠AOC＝60°，從而∠AOB＝120°. 4.在△ABC 中，D 為三角形所在平面內一點(diǎn)，且AD→＝ 13 AB→ ＋ 12 AC→ ，則 S △ ABDS △ ABC 等于(
) A. 23
B.13
C.16
D.12
答案 D
解析 因為AD→＝ 13 AB→ ＋ 12 AC→ ，所以點(diǎn) D 在 AB 邊的中位線(xiàn)上，從而有 S△ ABD ＝ 12 S △ ABC .
5.如圖，在平面直角坐標系中，正方形 OABC 的對角線(xiàn) OB 的兩端點(diǎn)分別為 O(0,0)，B(1,1)，則AB→ ·AC → ＝________.
答案 1 解析 由已知得 A(1,0)，C(0,1)， 所以AB→ ＝(0,1)，AC → ＝(－1,1). 所以AB→ ·AC → ＝1.
1.知識清單：
(1)平面幾何中的向量方法. (2)向量在物理中的應用. 2.方法歸納：化歸轉化、數形結合. 3.常見(jiàn)誤區：要注意選擇恰當的基底.
1.已知力 F 的大小|F|＝10，在 F 的作用下產(chǎn)生的位移 s 的大小|s|＝14，F 與 s 的夾角為 60°，則 F 做的功為(
) A.7
B.10
C.14
D.70 答案 D 解析 F 做的功為 F·s＝|F||s|cos 60°＝10×14× 12 ＝70. 2.已知點(diǎn) A(－2，－3)，B(19,4)，C(－1，－6)，則△ABC 是(
) A.等腰三角形
B.等邊三角形 C.直角三角形
D.等腰直角三角形 答案 C
解析 AB→ ＝(19,4)－(－2，－3)＝(21,7)， AC→ ＝(－1，－6)－(－2，－3)＝(1，－3)， AB→ ·AC → ＝21－21＝0，∴AB → ⊥AC → . 則∠A＝90°， 又|AB→ |≠|AC → |， ∴△ABC 為直角三角形. 3.點(diǎn) O 是△ABC 所在平面內的一點(diǎn)，滿(mǎn)足OA→·OB→＝OB→·OC→＝OC→·OA→，則點(diǎn) O 是△ABC 的(
) A.三個(gè)內角的角平分線(xiàn)的交點(diǎn) B.三條邊的垂直平分線(xiàn)的交點(diǎn) C.三條中線(xiàn)的交點(diǎn) D.三條高所在直線(xiàn)的交點(diǎn) 答案 D 解析 ∵OA→·OB→＝OB→·OC→，∴(OA→－OC→)·OB→＝0， ∴OB→·CA→ ＝0，∴OB⊥AC. 同理 OA⊥BC，OC⊥AB，∴O 為三條高所在直線(xiàn)的交點(diǎn). 4.在 Rt△ABC 中，斜邊 BC 長(cháng)為 2，O 是平面 ABC 內一點(diǎn)，點(diǎn) P 滿(mǎn)足OP→＝OA→＋ 12 (AB→ ＋AC → )，則|AP→ |等于(
) A.2
B.1
C. 12
D.4 答案 B 解析 ∵OP→＝OA→＋ 12 (AB→ ＋AC → )， ∴OP→－OA→＝ 12 (AB→ ＋AC → )，AP → ＝ 12 (AB→ ＋AC → )， ∴AP 為 Rt△ABC 斜邊 BC 的中線(xiàn).∴|AP→ |＝1. 5.在四邊形 ABCD 中，若AC→ ＝(1,2)，BD →＝(－4,2)，則該四邊形的面積為(
) A. 5
B.2 5
C.5
D.10 答案 C 解析 ∵AC→ ·BD →＝0，∴AC⊥BD. ∴四邊形 ABCD 的面積 S＝ 12 |AC→ ||BD →|＝ 12 × 5×2 5＝5.
6.已知點(diǎn) A(1,1)，M(x，y)，且 A 與 M 不重合，若向量AM→與向量 a＝(1,2)垂直，則點(diǎn) M 的坐標 x，y 之間的關(guān)系為_(kāi)_______________. 答案 x＋2y－3＝0(x≠1) 解析 AM→·a＝(x－1，y－1)·(1,2)＝x－1＋2y－2＝x＋2y－3＝0. 又 A 與 M 不重合，所以 x≠1. 7.一條河寬為 8 000 m，一船從 A 出發(fā)垂直航行到達河正對岸的 B 處，船速為 20 km/h，水速為 12 km/h，則船到達 B 處所需時(shí)間為_(kāi)_______ h. 答案 0.5 解析 v 實(shí)際 ＝v 船 ＋v 水 ＝v 1 ＋v 2 ，
|v 1 |＝20，|v 2 |＝12， ∴|v|＝ |v 1 | 2 －|v 2 | 2
?。?20 2 －12 2 ＝16(km/h). ∴所需時(shí)間 t＝816 ＝0.5(h). ∴該船到達 B 處所需的時(shí)間為 0.5 h. 8.已知在矩形 ABCD 中，AB＝2，AD＝1，E，F 分別為 BC，CD 的中點(diǎn)，則(AE→ ＋AF → )·BD →＝________. 答案 － 92
解析 如圖，以 A 為坐標原點(diǎn) O，以 AB 所在直線(xiàn)為 x 軸，以 AD 所在直線(xiàn)為 y 軸建立平面直角坐標系，
則 A(0，0)，B(2,0)，D(0,1)， ∴C(2,1). ∵E，F 分別為 BC，CD 的中點(diǎn)，∴E ????2， 12，F(1,1)， ∴AE→ ＋AF → ＝????3， 32，BD→＝(－2,1)，
∴(AE→ ＋AF → )·BD →＝3×(－2)＋ 32 ×1＝－92 . 9.已知 A，B，C 是直線(xiàn) l 上不同的三個(gè)點(diǎn)，點(diǎn) O 不在直線(xiàn) l 上，求使等式 x 2 OA→＋xOB→＋BC→ ＝0 成立的實(shí)數 x 的取值. 解 ∵BC→ ＝OC →－OB→， ∴x 2 OA→＋xOB→＋OC→－OB→＝0， 即OC→＝－x 2 OA→－(x－1)OB→， ∵A，B，C 三點(diǎn)共線(xiàn)， ∴－x 2 －(x－1)＝1，即 x 2 ＋x＝0，解得 x＝0 或 x＝－1. 當 x＝0 時(shí)，x 2 OA→＋xOB→＋BC→ ＝0，BC → ＝0， 此時(shí) B，C 兩點(diǎn)重合，不合題意，舍去. 故 x＝－1. 10.帆船比賽是借助風(fēng)帆推動(dòng)船只在規定距離內競速的一項水上運動(dòng)，如果一帆船所受的風(fēng)力方向為北偏東 30°，速度為 20 km/h，此時(shí)水的流向是正東，流速為 20 km/h.若不考慮其他因素，求帆船的速度與方向. 解 建立如圖所示的直角坐標系，風(fēng)的方向為北偏東 30°，速度為|v 1 |＝20 km/h，水流的方向為正東，速度為|v 2 |＝20 km/h，設帆船行駛的速度為 v，則 v＝v 1 ＋v 2 .由題意，可得向量 v 1 ＝(20cos 60°，20sin 60°)＝(10,10 3)，向量 v 2 ＝(20,0)，則 v＝v 1 ＋v 2 ＝(10,10 3)＋(20,0)＝(30,10 3)，所以|v|＝ 30 2 ＋?10 3? 2 ＝20 3(km/h).因為 tan α＝ 10 330＝33(α 為 v 和 v 2 的夾角，α 為銳角)，所以 α＝30°，所以帆船向北偏東 60°的方向行駛，速度為 20 3 km/h.
11.如圖所示，在矩形 ABCD 中，AB＝4，點(diǎn) E 為 AB 的中點(diǎn)，且DE→⊥AC→ ，則|DE →|等于(
)
A. 52
B.2 3 C.3
D.2 2 答案 B
解析 以 A 為坐標原點(diǎn)，AB 所在直線(xiàn)為 x 軸，AD 所在直線(xiàn)為 y 軸，建立如圖所示的直角坐標系.
設|AD→|＝a(a>0)，則 A(0,0)，C(4，a)， D(0，a)，E(2,0)， 所以DE→＝(2，－a)，AC→ ＝(4，a). 因為DE→⊥AC→ ，所以DE →·AC→ ＝0， 所以 2×4＋(－a)·a＝0，即 a 2 ＝8. 所以 a＝2 2，所以DE→＝(2，－2 2)， 所以|DE→|＝ 2 2 ＋?－2 2? 2 ＝2 3. 12.若點(diǎn) M 是△ABC 所在平面內的一點(diǎn)，且滿(mǎn)足 3AM→－AB→ －AC → ＝0，則△ABM 與△ABC 的面積之比為(
) A.1∶2
B.1∶3
C.1∶4
D.2∶5 答案 B 解析 如圖，D 為 BC 邊的中點(diǎn)，
則AD→＝ 12 (AB→ ＋AC → ). 因為 3AM→－AB→ －AC → ＝0， 所以 3AM→＝2AD→，所以AM→＝ 23 AD→， 所以 S △ ABM ＝ 23 S △ ABD ＝13 S △ ABC . 13.用兩條成 120°角的等長(cháng)的繩子懸掛一個(gè)燈具，如圖所示，已知燈具重 10 N，則每根繩子的拉力大小為_(kāi)_____ N.
答案 10 解析 設重力為 G，每根繩的拉力分別為 F 1 ，F 2 ，則由題意得 F 1 ，F 2 與－G 都成 60°角， 且|F 1 |＝|F 2 |，F 1 ＋F 2 ＋G＝0. ∴|F 1 |＝|F 2 |＝|G|＝10 N， ∴每根繩子的拉力都為 10 N. 14.如圖，BC，DE 是半徑為 1 的圓 O 的兩條直徑，BF→ ＝2FO →，則FD→·FE→ ＝________.
答案 － 89
解析 FD→＝FO→＋OD→，FE→ ＝FO →＋OE→，且OD→＝－OE→， 所以FD→·FE→ ＝(FO →＋OD→)·(FO→＋OE→) ＝FO→ 2 －OD → 2 ＝ 19 －1＝－89 .
15.在平面直角坐標系中，已知三點(diǎn) A(4,0)，B(t,2)，C(6，t)，t∈R，O 為坐標原點(diǎn). (1)若△ABC 是直角三角形，求 t 的值； (2)若四邊形 ABCD 是平行四邊形，求|OD→|的最小值. 解 (1)由題意得，AB→ ＝(t－4,2)，AC → ＝(2，t)， BC→ ＝(6－t，t－2)， 若∠A＝90°，則AB→ ·AC → ＝0，即 2(t－4)＋2t＝0，∴t＝2； 若∠B＝90°，則AB→ ·BC → ＝0，即(t－4)(6－t)＋2(t－2)＝0， ∴t＝6±2 2； 若∠C＝90°，則AC→ ·BC → ＝0， 即 2(6－t)＋t(t－2)＝0，無(wú)解， ∴t 的值為 2 或 6±2 2.
(2)若四邊形 ABCD 是平行四邊形，則AD→＝BC→ ， 設點(diǎn) D 的坐標為(x，y)， 即(x－4，y)＝(6－t，t－2)， ∴? ???? x＝10－t，y＝t－2，即 D(10－t，t－2)， ∴|OD→|＝ ?10－t? 2 ＋?t－2? 2 ＝ 2t 2 －24t＋104， ∴當 t＝6 時(shí)，|OD→|取得最小值 4 2. 16.一艘船從南岸出發(fā)，向北岸橫渡.根據測量，這一天水流速度為 3 km/h，方向正東，風(fēng)吹向北偏西 30°，受風(fēng)力影響，靜水中船的漂行速度為 3 km/h，若要使該船由南向北沿垂直于河岸的方向以 2 3 km/h 的速度橫渡，求船本身的速度大小及方向. 解 如圖，設水的速度為 v 1 ，風(fēng)的速度為 v 2 ，v 1 ＋v 2 ＝a.可求得 a 的方向是北偏東 30°，a 的大小是 3 km/h.設船的實(shí)際航行速度為 v，方向由南向北，大小為 2 3 km/h.船本身的速度為v 3 ，則 a＋v 3 ＝v，即 v 3 ＝v－a，由數形結合知，v 3 的方向是北偏西 60°，大小是 3 km/h.
