點(diǎn) 考點(diǎn) 1 ：頻率與概率 一、考點(diǎn)講解：
1．頻數、頻率、概率：對一個(gè)隨機事件做大量實(shí)驗時(shí)會(huì )發(fā)現，隨機事件發(fā)生的次數（也稱(chēng)為頻數）與試驗次數的比（也就是頻率人總是在一個(gè)固定數值附近擺動(dòng)，這個(gè)固定數值就叫隨機事件發(fā)生的概率，概率的大小反映了隨機事件發(fā)生的可能性的大?。?2．概率的性質(zhì)：P（必然事件）= 1，P（不可能事件）= 0，0<P（不確定事件）<1． 3．頻率、概率的區別與聯(lián)系：頻率與概率是兩個(gè)不同的概念，概率是伴隨著(zhù)隨機事件客觀(guān)存在著(zhù)的，只要有一個(gè)隨機事件存在，那么這個(gè)隨機事件的概率就一定存在；而頻率是通過(guò)實(shí)驗得到的，它隨著(zhù)實(shí)驗次數的變化而變化，但當試驗的重復次數充分大后，頻率在概率附近擺動(dòng)，為了求出一隨機事件的概率，我們可以通過(guò)多次實(shí)驗，用所得的頻率來(lái)估計事件的概率． 二、經(jīng)典考題剖析：
【考題 1－1】（2004、成都鄲縣，3 分）某校九年級三班在體育畢業(yè)考試中，全班所有學(xué)生得分的情況如下表，那么該班共有_______人，隨機地抽取 l 人，恰好是獲得 30 分的學(xué)生的概率是_______，從表中你還能獲取的信息是__________________________
___________ （寫(xiě)出一條即可）
解：65；如：隨機抽了 1 人恰好獲得 24～26 分的學(xué)生的概率為 16
【考題 1－2】（2004、貴陽(yáng)，6 分）質(zhì)量檢查員準備從一批產(chǎn)品中抽取 10 件進(jìn)行檢查，如果是隨機抽取，為了保證每件產(chǎn)品被檢的機會(huì )均等．
（1）請采用計算器模擬實(shí)驗的方法，幫質(zhì)檢員抽取被檢產(chǎn)品；
（2）如果沒(méi)有計算器，你能用什么方法抽取被檢產(chǎn)品．
解：（1）利用計算器模擬產(chǎn)生隨機數與這批產(chǎn)品編
號相對應，產(chǎn)生 10 個(gè)號碼即可；（3）利用摸球游戲或抽簽等． 【考題 1－3】（2004、鹿泉，2 分）如圖 l－6－l 是一個(gè)經(jīng)過(guò)改造的臺球桌面的示意圖，圖中四個(gè)角上的陰影部分分別表示四個(gè)人球孔，如果一個(gè)球按圖
中所示的方向被擊出（球可以經(jīng)過(guò)多次反射人那么該球最后將落人的球袋是（）
A．1 號球袋 B．2 號球袋
C．3 號球袋 D．4 號球袋
解：B 點(diǎn)撥：球走的路徑如圖 l－6－l 虛線(xiàn)所示． 三、針對性訓練：
1、在對某次實(shí)驗次數整理過(guò)程中，某個(gè)事件出現的頻
率隨實(shí)驗次數變化折線(xiàn)圖如圖 l－6－2，這個(gè)圖中折線(xiàn)變化的特點(diǎn)是_______，估計該事件發(fā)生的概率為_(kāi)_________________.
2．(2004，南山，3 分) 如圖 l－6－5 的兩個(gè)圓盤(pán)中，指針落在每一個(gè)數上的機會(huì )均等，那么兩個(gè)指針同時(shí)落在偶數上的概率是（
?。?/p>
3．(2004，南山，3 分）擲 2 枚 1 元錢(qián)的硬幣和 3 枚 1 角錢(qián)的硬幣，1 枚 1 元錢(qián)的硬幣和至少 1 枚 1 角錢(qián)的硬幣的正面朝上的概率是（
?。?/p>
4．(2004，漢中，3 分)小紅、小明、小芳在一起做游戲時(shí)需要確定做游戲的先后順序，他們約定用“剪子、包袱、錘子”的方式確定，問(wèn)在一個(gè)回合中三個(gè)人都出包袱的概率是_________________ 5．(2004，貴陽(yáng)，3 分）口袋中有 3 只紅球和 11 只黃球，這兩種球除顏色外沒(méi)有任何區別，從口袋中任取一只球，取到黃球的概率是___________. 6． (2004，南山，5 分）周聰同學(xué)有紅、黃、藍三件 T 恤和黑、白、灰三條長(cháng)褲，請你幫他搭配一下，看看有幾種穿法． 點(diǎn) 考點(diǎn) 2 ：概率的應用與探究 一、考點(diǎn)講解：
1．計算簡(jiǎn)單事件發(fā)生的概率：
列舉法：
? ??列表畫(huà)樹(shù)狀圖
2．針對實(shí)際問(wèn)題從多角度研究事件發(fā)生的概率，從而獲給理的猜測 二、經(jīng)典考題剖析：
【考題 2－1】（2004、南寧，3 分）中央電視臺的“幸運 5 2”欄目中的“百寶箱”互動(dòng)環(huán)節是一種競猜游戲，游戲規則如下：在 20 個(gè)商標牌中，有 5 個(gè)商標牌的背面注明一定的獎金額，其余商標牌的背面是一張哭臉，若翻到哭臉，就不得獎．參與這個(gè)游戲的觀(guān)眾有 3 次翻牌的機會(huì )（翻過(guò)的牌不能再翻）．某觀(guān)眾前兩次翻牌均獲得若干獎金，那么他第三次翻牌獲獎的概率是（
?。?/p>
1 1 1 3A .
.
.
.2 5 5 6 2 0B C D 解：C 點(diǎn)撥：由于 20 個(gè)商標中共有 5 個(gè)商標注明獎金，翻 2 次均獲獎金后，只剩下 3 個(gè)注明獎金的商標，又由于翻過(guò)的牌不能再翻，所以剩余的商標總數為 18 個(gè)．因此第三次翻牌獲獎的概率為 16
.
【考題 2－2】（2004、四省區，6 分）一布袋中放有紅、黃、白三種顏色的球各一個(gè)，它們除顏色外其他都一樣，小亮從布袋中摸出一個(gè)球后放回去搖勻，再摸出一個(gè)球．請你利用列舉法（列表或畫(huà)樹(shù)狀圖）分析并求出小亮兩次都能摸到白球的概率． 解：列表如下：
答：小亮兩次都能摸到白球的概率為 19
三、針對性訓練：
1．在 100 張獎券中，有 4 張中獎，某人從中任抽 1 張，則他中獎的概率是（
?。?/p>
A、125
B、14
C、1100
D、120
2．在一所有 1000 名學(xué)生的學(xué)校中隨機調查了 100 人，其中有 85 人上學(xué)之前吃早餐，在這所學(xué)校里隨便問(wèn) 1 人，上學(xué)之前吃過(guò)早餐的概率是（
?。?/p>
A．0.8 5
B．0.085
C．0.1
D．850 3．有兩只口袋，第一只口袋中裝有紅、黃、藍三個(gè)球，第二只口袋中裝有紅、黃、藍、白四個(gè)球，試利用樹(shù)狀圖和列表法，求分別從兩只口袋中各取一個(gè)球，兩個(gè)球都是黃球的概率． 4．為了估計魚(yú)塘中有多少條魚(yú)，先從塘中撈出 100 條做上標記，再放回塘中，待有標記的魚(yú)完全混人魚(yú)群后，再撈出 200 條魚(yú)，其中有標記的有 20 條，問(wèn)你能否估計出魚(yú)塘中魚(yú)的數量？若能，魚(yú)塘中有多少條魚(yú)？若不能，請說(shuō)明理由． 5．將分別標有數字 1，2，3 的三張卡片洗勻后，背面朝上放在桌面上． ⑴ 隨機地抽取一張，求 P（奇數）
?、?隨機地抽取一張作為十位上的數字（不放回人再抽取一張作為個(gè)位上的數字，能組成哪些兩位數？恰好是“32”的概率為多少？ 第 第 1 1 課時(shí)
隨機事件的概率1 1 ．隨機事件及其概率(1) 必然事件：在一定的條件下必然發(fā)生的事件叫做必然事件．(2) 不可能事件：在一定的條件下不可能發(fā)生的事件叫做不可能事件．(3) 隨機事件：在一定的條件下，也可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事件叫做隨機事件．(4) 隨機事件的概率：一般地，在大量重復進(jìn)行同一試驗時(shí)，事件 A 發(fā)生的頻率nm總是接近于某個(gè)常數，在它附近擺動(dòng)，這時(shí)就把這個(gè)常數叫做事件 A 的概率，記作 ( ) P A ．
(5) 概率從數量上反映了一個(gè)事件發(fā)生的可能性的大小，它的取值范圍是 0 ( ) 1 P A ? ? ，必然事件的概率是 1，不可能事件的概率是 0．2 2 ．等可能性事件的概率(1) 基本事件：一次試驗連同其中可能出現的每一個(gè)結果稱(chēng)為一個(gè)基本事件．(2) 等可能性事件的概率：如果一次試驗由 n 個(gè)基本事件組成，而且所有結果出現的可能性都相等，那么每一個(gè)基本事件的概率是1n．如果某個(gè)事件 A 包含的結果有 m 個(gè)，那么事件 A 的概率：? ? P A ?mn例 例 1 1 ．1) 一個(gè)盒子裝有 5 個(gè)白球 3 個(gè)黑球，這些球除顏色外，完全相同，從中任意取出兩個(gè)球，求取出的兩個(gè)球都是白球的概率；(2) 箱中有某種產(chǎn)品 a 個(gè)正品，b 個(gè)次品，現有放回地從箱中隨機地連續抽取 3 次，每次 1 次，求取出的全是正品的概率是（
）A．33b aaCC?
B．33b aaAA?
C．33) ( b aa?
D．33b aaAC?(3) 某班有 50 名學(xué)生，其中 15 人選修 A 課程，另外 35 人選修 B 課程，從班級中任選兩名學(xué)生，他們是選修不同課程的學(xué)生的概率是多少？：
解：（1）從袋內 8 個(gè)球中任取兩個(gè)球共有 2828? C 種不同結果，從 5 個(gè)白球中取出 2 個(gè)白球有 1025? C 種不同結果，則取出的兩球都是白球的概率為1452810) ( ? ? A P（2）33) ( b aa?
（3）73250135115???CC CP
例 例 2. 甲、乙兩袋裝有大小相同的紅球和白球，甲袋裝有 2 個(gè)紅球，2 個(gè)白球；乙袋裝有 2 個(gè)紅球，n 個(gè)白球，兩甲、乙兩袋中各任取 2 個(gè)球.(1) 若 n＝3，求取到的 4 個(gè)球全是紅球的概率；(2) 若取到 4 個(gè)球中至少有 2 個(gè)紅球的概率為43，求 n.：
解：（1）記“取到的 4 個(gè)球全是紅球”為事件60110161) ( .25222422? ? ? ? ?CCCCA P A .（2）記“取到的 4 個(gè)球至多有 1 個(gè)紅球”為事件 B，“取到的 4 個(gè)球只有 1 個(gè)紅球”為事件 B 1 ，“取到的 4個(gè)球全是白球”為事件 B 2 ，由題意，得) ( .41431 ) (1B P B P ? ? ?221 12422222241212? ??? ? ???nn nnnCC CCCCCCC C) 1 )( 2 ( 322? ??n nn) 1 )( 2 ( 6) 1 () (22224222? ??? ? ??n nn nCCCCB Pnn所以) 1 )( 2 ( 32) ( ) ( ) (22 1? ?? ? ?n nnB P B P B P41) 1 )( 2 ( 6) 1 (?? ???n nn n，化簡(jiǎn)，得 7n2 －11n－6＝0，解得 n＝2，或73? ? n （舍去），故 n＝2.
1．實(shí)際生活中所遇到的事件包括必然事件、不可能事件及隨機事件．隨機事件在現實(shí)世界中是廣泛存在典型例題 小結歸納
的．在一次試驗中，事件是否發(fā)生雖然帶有偶然性，當在大量重復試驗下，它的發(fā)生呈現出一定的規律性，即事件發(fā)生的頻率總是接近于某個(gè)常數，這個(gè)常數就叫做這個(gè)事件的概率．2．如果一次試驗中共有 n 種等可能出現的結果，其中事件 A 包含的結果有 m 種，那么事件 A 的概率? ? .mP An?從集合的角度看，一次試驗中等可能出現的所有結果組成一個(gè)集合 I，其中事件 A 包含的結果組成 I 的一個(gè)子集 A，因此 ? ?? ?? ?.Card A mP ACard I n? ? 從排列、組合的角度看，m、n 實(shí)際上是某些事件的排列數或組合數．因此這種“古典概率”的問(wèn)題，幾乎使有關(guān)排列組合的計算與概率的計算成為一回事．3．利用等可能性的概率公式，關(guān)鍵在于尋找基本事件數和有利事件數．第 第 2 2 課時(shí)
互斥事件有一個(gè)發(fā)生的概率1 1 ．
不能同時(shí)發(fā)生的事件
的兩個(gè)事件叫做互斥事件．2 2 ．
必有一個(gè)發(fā)
的兩個(gè)互斥事件叫做對立事件．3 3 ．從集合的角度看，幾個(gè)事件彼此互斥，是指由各個(gè)事件所含的結果組成的集合彼此
不相交
?。录?A的對立事件 A 所含的結果組成的集合，是全集中由事件 A 所含的結果組成的集合的補集．4 4 ．由于集合是可以進(jìn)行運算的，故可用集合表示的事件也能進(jìn)行某些運算．設 A、B 是兩個(gè)事件，那么 A+B表示這樣一個(gè)事件：在同一試驗中，A 或 B 中
至少一個(gè)發(fā)生
就表示 A+B 發(fā)生．我們稱(chēng)事件 A+B 為事件 A、B 的和．它可以推廣如下：“ 1 2A A A n ? ? ?”表示這樣一個(gè)事件，在同一試驗中，, , ,1 2A A A n 中
即表示 1 2A A A n ? ? ?發(fā)生，事實(shí)上，也只有其中的某一個(gè)會(huì )發(fā)生．5 5 ．如果事件 A、B 互斥，那么事件 A+B 發(fā)生的概率，等于
?。?P(A+B)＝
P(A)+P(B)
．6.由于 A A ? 是一個(gè)必然事件，再加上 P(A+B)=P(A)+ P(B) ，故 1 P(A A) P(A) P(A) ? ? ? ? ，于是 P( A)=
1-P(A)
，這個(gè)公式很有用，?？墒垢怕实挠嬎愕玫胶?jiǎn)化．當直接求某一事件的概率較為復雜時(shí)，可轉化去求其對立事件的概率．例 例 1. 某射手在一次射擊訓練中，射中 10 環(huán)，9 環(huán)，8 環(huán)，7 環(huán)的概率分別為 0.21, 0.23, 0.25, 0.28，計算這個(gè)射手在一次射擊中：①射中 10 環(huán)或 7 環(huán)的概率；②不夠 7 環(huán)的概率.解：① 0.49；② 0.03．
例 例 2. 袋中有紅、黃、白 3 種顏色的球各 1 只，從中每次任取 1 只，有放回地抽取 3 次，求：（1）3 只全是紅球的概率．（2）3 只顏色全相同的概率．（3）3 只顏色不全相同的概率．（4）3 只顏色全不相同的概率．
解：(1)記“3 只全是紅球”為事件 A．從袋中有放回地抽取 3 次，每次取 1 只，共會(huì )出現 3 3 3 27 ? ? ? 種等可能的結果，其中 3 只全是紅球的結果只有一種，故事件 A 的概率為127P( A)? ．
(2) “3 只顏色全相同”只可能是這樣三種情況：“3 只全是紅球”(事件 A)；“3 只全是黃球”(設為事件 B)；“3 只全是白球”(設為事件 C)．故“3 只顏色全相同”這個(gè)事件為 A+B+C，由于事件 A、B、C 不可能同時(shí)發(fā)生，因此它們是互斥事件．再由于紅、黃、白球個(gè)數一樣，故不難得127P(B) P(C ) P( A) ? ? ? ， 典型例題 基礎過(guò)關(guān)
故19P( A B C ) P( A) P(B) P(C ) ? ? ? ? ? ? ．
(3) 3 只顏色不全相同的情況較多，如是兩只球同色而另一只球不同色，可以?xún)芍煌t色或同黃色或同白色等等；或三只球顏色全不相同等．考慮起來(lái)比較麻煩，現在記“3 只顏色不全相同”為事件 D，則事件 D為“3 只顏色全相同”，顯然事件 D 與 D 是對立事件．
1 81 19 9P(D) P(D) . ? ? ? ? ? ?
(4) 要使 3 只顏色全不相同，只可能是紅、黃、白各一只，要分三次抽取，故 3 次抽到紅、黃、白各一只的可能結果有1 1 13 2 16 C C C ? 種，故 3 只顏色全不相同的概率為
6 227 9? ．
1 1 ．互斥事件概率的加法公式、對立事件概率的加法公式，都必須在各個(gè)事件彼此互斥的前提下使用． 2．要搞清兩個(gè)重要公式：
1 P( A B) P( A) P(B),P( A) P( A) ? ? ? ? ? 的運用前提． 3．在求某些稍復雜的事件的概率時(shí)，通常有兩種方法：一是將所求事件的概率化成一些彼此互斥事件的概率的和；二是先去求此事件的對立事件的概率．
第 第 3 3 課時(shí)
相互獨立事件同時(shí)發(fā)生的概率
1 1 ．事件 A（或 B）是否發(fā)生對事件 B（或 A）發(fā)生的概率 沒(méi)有影響
，這樣的兩個(gè)事件叫獨立事件． 2 2 ．設 A，B 是兩個(gè)事件，則 A·B 表示這樣一個(gè)事件：它的發(fā)生，表示事件 A，B
同時(shí)發(fā)生
，類(lèi)似地可以定義事件 A 1 ·A 2 ·„„A n . 3 3 ．兩個(gè)相互獨立事件 A，B 同時(shí)發(fā)生的概率，等于每個(gè)事件發(fā)生的概率的積，即 P(A·B) ＝
P(A)P(B)
一般地，如果事件1 2 nA ,A , ,A 相互獨立，那么：P(A 1 ·A 2 „„A n )＝
. 4 4 ．n 次獨立重復試驗中恰好發(fā)生 k 次的概率：如果在一次試驗中某事件發(fā)生的概率是 P，那么在 n 次獨立重復試驗中這個(gè)事件恰好發(fā)生 k 次的概率是 1k k n kn nP (k ) C P ( P)?? ? ．
例 例 1.
如圖所示，用 A、B、C 三類(lèi)不同的元件連接成兩個(gè)系統1N 、2N ，當元件 A、B、C 都正常工作時(shí)，系統1N 正常工作，當元件 A 正常工作且元件 B、C 至少有 1 個(gè)正常工作時(shí)系統2N 正常工作，已知元件 A、B、C 正常工作的概率依次為 0.8、0.9、0.9，分別求系統1N 、2N 正常工作時(shí)的概率．
解：分別記元件 A、B、C 正常工作為事件 A、B、C， 由已知條件 0 80 0 90 0 90 P( A) . ,P( B) . ,P(C ) . ? ? ?
(Ⅰ)因為事件 A、B、C 是相互獨立的，所以，系統1N 正常工作的概率 10 80 0 90 0 90 0 648P P( A B C ) P( A) P( B) P(C ). . . .? ? ? ? ? ?? ? ? ?
故系統1N 正常工作的概率為 0.648. (Ⅱ)系統2N 正常工作的概率 小結歸納 典型例題 基礎過(guò)關(guān)
? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?21 11 1 0 90 0 10P P( A) P B C P A P B P C ,P B P B . . ,? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ?
? ? ? ?? ?21 1 0 90 0 100 80 1 0 10 0 10 0 80 0 99 0 792P C P C . . ,P . . . . . . .? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? 故系統正常工作的概率為 0.792． 例 例 2. 箱內有大小相同的 20 個(gè)紅球，80 個(gè)黑球，從中任意取出 1 個(gè)，記錄它的顏色后再放回箱內，進(jìn)行攪拌后再任意取出 1 個(gè)，記錄它的顏色后又放回，假設三次都是這樣抽取，試回答下列問(wèn)題：
?、偾笫录?A：“第一次取出黑球，第二次取出紅球，第三次取出黑球”的概率； ②求事件 B：“三次中恰有一次取出紅球”的概率. ：
解：（① 12516；② 12548
1．當且僅當事件 A 與事件 B 互相獨立時(shí)，才有 ? ? ? ? ? ? P AB P A P B ? ?
，故首先要搞清兩個(gè)事件的獨立性． 2．獨立重復試驗在概率論中占有相當重要地地位，這種試驗的結果只有兩種，我們主要研究在 n 次獨立重復試驗中某事件發(fā)生 k 次的概率：? ? ? ? 1n kk kn nP k C P P?? ?，其中 P 是 1 次試驗中某事件發(fā)生的概率，其實(shí)? ? 1n kk knC P P??正好是二項式? ? 1nP P ? ? ? ?? ?的展開(kāi)式中的第 k+1 項，很自然地聯(lián)想起二項式定理．
1．本節綜合性強，涉及的概念、公式較多，學(xué)習時(shí)應準確理解這些概念、公式的本質(zhì)內涵，注意它們的區別與聯(lián)系．例如，若獨立重復試驗的結果只有兩種（即 A 與 A ， A A ? 是必然事件），在 n 次獨立重復試驗中，事件 A 恰好發(fā)生 k 次的概率 ( ) (1 )k k n kn nP k C P P?? ? 就是二項式 [(1 ) ] n P P ? ? 展開(kāi)式中的第 1 k ? 項，故此公式稱(chēng)為二項分布公式；又如兩事件 , A B 的概率均不為 0，1 時(shí)，“若 , A B 互斥，則 , A B 一定不相互獨立”、“若 , A B 相互獨立，則 , A B 一定不互斥”等體現了不同概念、公式之間的內在聯(lián)系． 2．運用 ( ) , ( ) ( ) ( ), ( )mP A P A B P A P B P A Bn? ? ? ? ?
P(A·B)＝P(A)·P(B)等概率公式時(shí)，應特別注意各自成立的前提條件，切勿混淆不清．例如，當 , A B 為相互獨立事件時(shí)，運用公式 ( ) ( ) ( ) P A B P A P B ? ? ? 便錯． 3．獨立重復試驗是指在同樣條件下可重復進(jìn)行的，各次之間相互獨立的一種試驗，每次試驗都只有兩重結果（即某事件要么發(fā)生，要么不發(fā)生），并且在任何一次試驗中，事件發(fā)生的概率均相等． 獨立重復試驗是相互獨立事件的特例（概率公式也是如此），就像對立事件是互斥事件的特例一樣，只是有“恰好”字樣的用獨立重復試驗的概率公式計算更簡(jiǎn)單，就像有“至少”或“至多”字樣的題用對立事件的概率公式計算更簡(jiǎn)單一樣． 4．解決概率問(wèn)題要注意“三個(gè)步驟，一個(gè)結合”：
?。?）求概率的步驟是：
第一步，確定事件性質(zhì)，即所給的問(wèn)題歸結為四類(lèi)事件中的某一種． 第二步，判斷事件的運算，即是至少有一個(gè)發(fā)生，還是同時(shí)發(fā)生，分別運用相加或相乘事件． 第三步，運用公式求得．
?。?）概率問(wèn)題常常與排列組合問(wèn)題相結合． 例 例 1. 袋子中有 1 個(gè)白球和 2 個(gè)紅球． ⑴ 每次取 1 個(gè)球，不放回，直到取到白球為止．求取球次數 ? 的分布列． ⑵ 每次取 1 個(gè)球，放回，直到取到白球為止．求取球次數 ? 的分布列． ⑶ 每次取 1 個(gè)球，放回，直到取到白球為止，但抽取次數不超過(guò) 5 次．求取球次數 ? 的分布列． 和 事件 等可能事件：
( )mP An?
互斥事件：P(A＋B)＝P(A)＋P(B)，P(A·B)＝0
獨立事件：P(A·B)＝P(A)·P(B)等
n 次獨立重復試驗：
( ) (1 )k k n kn nP k C P P?? ?
⑷ 每次取 1 個(gè)球，放回，共取 5 次．求取到白球次數 ? 的分布列． 解 ：
?、?1,2,3. ? ?
? ?? ?? ?13122322331 11 ,31 12 ,31 13 .3PAAPAAPA???? ? ?? ? ?? ? ? ) 2 ( ? ? P ＝31 12312??AA ) 3 ( ? ? P ＝31 13322??AA ? 所求 ? 的分布列是
?
1 2 3 P
13 13 13
?、?每次取到白球的概率是13，不取到白球的概率是23， ? 所求的分布列是 ?
1 2 3 „ n
„ P 13 2 13 3? 22 13 3? ??? ?? ? „ 12 13 3n?? ??? ?? ? „ ⑶ ?
1 2 3 4 5 P 13 2 13 3? 22 13 3? ??? ?? ? 32 13 3? ??? ?? ? 423? ?? ?? ? ⑷1~ 5, ,3B ?? ?? ?? ? ∴ P＝( ? ＝k)＝C 5k (31)k ·(32)5－k ， 其中 0,1,2,3,4,5. k ?
∴所求 ? 的分布列是 ?
0 1 2 3 4 5 P 32243 80243 80243 40243 10243 1243
