第七講
統計初步知識
本節課新知識比較多，所以請各位老師 在備課時(shí)，多準備一些簡(jiǎn)單的例題， 注重基礎知識的講解，較難的題目可以少講。
另外，本節課的作業(yè)題較難，對于中考沖刺班的學(xué)生來(lái)說(shuō)，可以不做，把例題中的幾道題留為作業(yè)；對于聯(lián)賽班的學(xué)生來(lái)說(shuō)，可以把作業(yè)題當作例題講；
一、基礎知識
?。?，總體和樣本（概念？）
?。ǎ保┰诖_定考察對象的總體時(shí)，應注意區分具體對象和對象的某種數量指標；
例如：為了考察某校的初中畢業(yè)生數學(xué)成績(jì)，從中抽測了３０名學(xué)生的數學(xué)成績(jì)，在這個(gè)問(wèn)題中，總體指得是“某校的初中畢業(yè)生數學(xué)成績(jì)”這個(gè)數量指標，而不是“某校的所有初中畢業(yè)生”。
?。? 2 ）總體是一個(gè)確定的數字集合，而樣本是一個(gè)變化的量，也就是說(shuō)，一個(gè)總體可以有許多樣本，即使樣本容量相同時(shí)，每次抽取的情況也不會(huì )相同。
例如：
為了考察某養雞場(chǎng)里雞的生長(cháng)情況，從中抽取 5 5 只，稱(chēng)得它們的重量（單位：千克）分別為 3.3 ，3.3 ， 3.4 ， 3.1 ， 3.0 ，在這個(gè)問(wèn)題中，總體、個(gè)體、樣本及樣本容量指得是什么？
[ [ 解答] ] ：總體指的是某 養雞場(chǎng)雞的重量的全體；
個(gè)體指的是某養雞場(chǎng)每只雞的重量；
樣本指的是抽取的５只雞的重量；
樣本容量是５；
?。ǎ常┰谕粏?wèn)題中可能有多個(gè)總體．
例如：某養魚(yú)場(chǎng)有東西兩個(gè)魚(yú)塘，采用不同的喂養方法進(jìn)行試驗，為了考察魚(yú)的長(cháng)勢情況，在兩個(gè)塘中各捕撈了５條魚(yú)進(jìn)行稱(chēng)重．在這個(gè)問(wèn)題中，總體、個(gè)體、樣本及樣本容量各指的是什么？
?。劢獯穑荩嚎傮w指得是東魚(yú)塘的重量的全體和西魚(yú)塘魚(yú)的重量的全體，不能把二者放在一起看成一個(gè)整體，所以這個(gè)問(wèn)題中應有兩個(gè)總體．
同樣，在指明個(gè)體、樣本、樣本容量時(shí)應說(shuō)明是哪個(gè)總體的．
如果一個(gè)問(wèn)題中有兩個(gè)總體，一般情況下，樣本容量應當相同，其目的是為了對這兩個(gè)總體的某些特征值進(jìn)行比較．
?。?，眾數與中位數
?。ǎ保?/p>
眾數是一組數據中出現次數最多的那個(gè)數據；
?。ǎ玻?/p>
中位數是把一組數據按大小順序排列起來(lái)，處在最中間位置的那個(gè)數據（或最中間兩個(gè)數據的平均數）；
?。?，平均數與方差
?。ǎ保?/p>
平均數是反映數據的集中趨勢（集中位置）．所謂統計的方法，就是用樣本的平均數去估計總體的平均狀態(tài) — 總體的平均數．
?。ǎ玻┓讲钍欠从硺颖静▌?dòng)大小的特征數字，即從數量上刻劃樣本數據偏離平均值的大?。?/p>
?。ǎ常颖痉讲畹乃阈g(shù)平方根叫做樣本標準差．
?。?，畫(huà)頻率 分布 圖
?。? 1 ）步驟：
?、?計算這一組數據中的最大值與最小值的差（叫做這組數據的極差）； ② 決定組距與組數（組距* * 組數= = 極差）； ③ 決定分點(diǎn)； ④ 列頻率分布表； ⑤ 畫(huà)頻率分布直方圖. .
（2 2 ）一個(gè)小組的頻數指的是落在這一小組內的數據的個(gè)數；一個(gè)小組的頻率是指這個(gè)小組的頻數與數據總數的比值. .
?。ǎ常┰陬l率分布直方圖中，為了使各小長(cháng)方形的面積等于相應各個(gè)組的頻率，即組距＊小長(cháng)方形高＝頻率，所以小長(cháng)方形高＝頻率／組距；由于各組頻率的和為１，所以小長(cháng)方形的面積和也等于１．
二、例題部分
第一部分
基礎概念題
例 1.
?。ǎ玻埃埃蹦旰５韰^中考題）某校舉辦建黨８０周年歌詠比賽，六位評委給某班演出評分為：９０，９６，９１，９６，９２，９４，則這組數據中，眾數和中位數分別是＿＿＿（單位：分）．
?。劢獯穑荩?/p>
?。梗?，９３；
例 2.
?。ǎ玻埃埃蹦陱V州中考題）從一組數據中取出ａ個(gè)1x ，ｂ個(gè)2x ，ｃ個(gè)3x ，組成一個(gè)樣本，那么這個(gè)樣本的平均數是
?。ǎ?/p>
?。粒? 2 33x x x ? ?
?。拢?a b c ? ?
?。茫? 2 33ax bx cx ? ?
?。茫? 2 3ax bx cxa b c? ?? ?
?。劢獯穑荩?/p>
?。?；
例 3.
1 (2001 年，武漢市中考題) ) 甲、乙兩班舉行電腦漢字輸入速度比賽，參賽學(xué)生每分鐘輸入漢字的個(gè)數經(jīng)統計計算后填入下表：
某學(xué)生根據上表分析得出如下結論：①甲、乙兩班學(xué)生成績(jì)的平均水平相同；②乙班優(yōu)秀的
人數多于甲班優(yōu)秀的人數( ( 每分鐘輸入漢字0 ≥150 個(gè)為優(yōu)秀) ) ； ③ 甲班的成績(jì)波動(dòng)情況比乙
班的成績(jì)的波動(dòng)大．上述結論正確的是
(
)
A A ． ①②③
B B ． ①②
C C ． ①③
D D ． ②③
?。?［解答］ ：A A
提示：由 135 x x ? ?乙 甲，故 ① 正確；
由甲班中位數為 149 ，故優(yōu)秀人數最多 6 26 人，而乙班中位數為 151 ，故優(yōu)秀人數至少 7 27 人．故結論 ②也正確；由2 2S S ?乙 甲，故甲班的成績(jì)波動(dòng)情況比乙班的成績(jì)的波動(dòng)大．
例 4.
9 (1999 年，鹽城市中考題) ) 一組數據的方差為2S ，將這組數據中的每個(gè)數據都除以 2 2 ，所得到的一組新數據的方差是
( (
) )
A A ．22S
B B ．22S
C C ．24S
D.24S
］ ［解答］ ：C C
提示：運用方差的計算公式計算可得：若一組數據1x ，2x ， ……nx 的方差為2S ，則數據
1kx ，2kx , , ……nkx 的方差為2 2k S ．
例 5.
1 (2001 年，四川省眉 山中考題) )將 將 5 5 個(gè)整數從大到小排列，中位數是 4 4 ，如果這個(gè)樣本中的唯一眾數是 6 6 ，則這 5 5 個(gè)整數可能的最大的和是 __ ____ _ ．
?。?［解答］ ：
21
提示：因為中位數是 4 4 ，唯一的眾數為 6 6 ，故數據中有三個(gè)數為 6 6 ，6 6 ，4 4 ．要使它們的和最大，另兩個(gè)數為 3 3 和 和 2 2 ，故和為 21 ．
第二部分
拓展 題目
例 6.
1 (2001 年，河北省競賽題) ) 已知數據 的平均數為 的平均數為 b b ，則數 據 的平均數為
?。?/p>
?。?/p>
?。?［解答］ ：
提示：
1 1 2 2 3 31 2 3 1 2 31 [(23 ) (2 3 ) (2 3 )]3
2 33 3
x x y x y x yx x x y y y? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?=2a+3b
例 7.
9 (1999 年，江蘇省數學(xué)競賽題) ) 小林擬將 1 1 ，2 2 ， …… ，n n 這 這 n n 個(gè)數輸入電腦，求平均數．當他認為輸入完畢時(shí)，電腦顯示只輸入了n (n 一 一 1) 個(gè)數，平均數為5357，假設這n (n 一 一 1) 個(gè)數輸入無(wú)誤，則漏輸入的一個(gè)數是
( (
) )
A A ． 10
B B ． 53
C C ． 56
D D ． 67
?。?［解答］：
?。?/p>
C
提示：
因為 為 2 2 到 到 n n 的平均數為22n?， ，1 1 到( (n n 一 一 1) 的平均數為2n，從而有5 2352 7 2n n?? ? ， ，
所以3 369 717 7n ? ? ，故 n=
0 70 或 或 71 ．
又5357是 是 n n 一 一 1 1 個(gè)數的平均數，
故 故 n n 一 一 1 1 能被 7 7 整除，所以 n n =71 ．
又 又 l l 十 十 2+…+71=2556 ．
設漏輸的數為 x ．
則2556 53570 7x ?? ，解之得：
x =56 ．
例 8.
若 若 m m 、n n 均為正數，且 , , , , 則 則 y y 的取值范圍是 ______ ．
?。?［解答］ ：
0<y y ≤4
提示：將 2 m? ， 2 2 n? 看成一組數據，
則2yx ? ，
故
2y ≤16 ，又
故 故 0<y≤4 ．
例 9.
設實(shí)數 a a、 、b b、 、c c、 、d d、 、e e 適合 a a+ +b b+ +c c +d+ e =8 ，2a + +2b + +2c + +2d + +2e =16 ，那么 e e 的最大值 為 ______． ．
?。劢獯穑荩?56
提示：由題意得 ：
將 將 a a 、b b 、c c 、d d 看成一組數據，則84ex?? . .
故
即
, , 故
故 故 e e 的最大值為165．
例 10.
方程組
的實(shí)數解為 ______ ．
?。?［解答］ ：
x=1 1 ，y y =1 ， z=1
提示：將 x x 、y y 、z z 看作一組數據，則
又 ，故
所以 x x =y= = z=1 ．且適合第 3 3 個(gè)方程．所以原方程組的唯一實(shí)數解為 x x =1 ， y=1 ， z=1 ．
三、練習題部分
1. 0 (2000 年，江蘇省競賽題) ) 新華高科技股份有限公司董事會(huì )決定今年用 3 13 億資金投資發(fā)展項目，現有6 6 個(gè)項目可供選擇( ( 每個(gè)項目或者被全部投資或者不被投資) ) ，各項目所需投資
金額和預計年均收益如下表：
項目
A A
B B
C C
D D
E E
F F
投資（億元）
5 5
2 2
6 6
4 4
6 6
8 8
收益（億元）
**
**
**
**
**
1 1
如果要求所有投資的項目的收益總額不得低于 1 1 ．6 6 億元，那么當選擇的投資項目是 _______ 時(shí) ，投資的收益總額最大．
?。?［解答］ ：A A 、B B 、E E
提示：由投資 3 13 億資金，故唯一的奇數 5 5 必選．另外的選擇方案有 B B 、C C 或 或 B B 、E E
或 或 F F ．要使收益額不低于 1 1 ．6 6 億元．則只有選擇投資 A A 、B B 、E E ．
2. 某班學(xué)生有 3 3 門(mén)課供選修，選課 a a 、b b 、c c 分別可得 4 4 、5 5 、6 6 個(gè)學(xué)分，已知每人至少選了一門(mén)課，選了兩門(mén)課的學(xué)生有 1 11 人，選了三門(mén)課的學(xué)生有 2 2 人．還知道：選課 a a 與課 b b 的學(xué)生人數是 20 ，選課 a a與課 c c 的學(xué)生人數是 24 ，選課 b b 與課 c c 的學(xué)生人數是 26 ，那么這個(gè)班學(xué)生選課的平均學(xué)分是 ______. .
?。?［解答］ ：9 9 ． 05
提示：設選課 a a ，課 b b ，課 c c 、的人數分別是ax 、bx 、cx 。則
所以
, ,
即選課人次數為 35 ．
故選一門(mén)課的人數為 35 — 2×11- - 3×2=7 ．
所以這個(gè)班的人數為 7+11+2=20 ．
則平均學(xué)分為120
(4×9+5×11+6×15)=9 .05 5
3. 一次科技知識競賽，兩組學(xué)生成績(jì)統計如下：
已經(jīng)算得兩個(gè)組的人均分都是 0 80 分，請根據你所學(xué)過(guò)的統計知識，進(jìn)一步判斷這兩個(gè)組
這次競賽中誰(shuí)優(yōu)誰(shuí)次，并說(shuō)明理由．
?。?［解答］ ：
(1) 甲組的成績(jì)的眾數為 0 90 分，乙組成績(jì)的眾數為 0 70 ； 分，從成績(jì)的眾數比較看，甲組成績(jì)好些；
(2)2S 甲
=172 ，2S 乙 =256 ．因為2S 甲
< <2S 乙 ，所以甲組成績(jì)較乙組成績(jì)穩定．
(3) 甲、乙兩組成績(jì)的中位數、平均分都是 0 80 分，其中，甲組成績(jì)在 0 80 分以上的有 3 33 人，乙組成績(jì)在 在 0 80 分以上的有 6 26 人．從這一角度看甲組的成績(jì)總體較好．
(4) 從成績(jì)統計表看，甲組成績(jì)高于 0 80 分的人數為 0 20 人，乙組成績(jì)高于 0 80 分的人數為 4 24 人．所以乙組成績(jì)集中在高分段的人數多，同時(shí)乙組得滿(mǎn)分的人數比甲組得滿(mǎn)分 的人數多 6 6 人，從這一角度看，乙組的成績(jì)較好．
4. 1 (2001 年，I TI 杯數學(xué)競賽題) ) 某個(gè)學(xué)生參加軍訓，進(jìn)行打靶訓練，必須射 0 10 次．在第 6 6 、第 7 7 、第 8 8 、第 第 9 9 次射擊中，分別得了 9 9 ．0 0 環(huán)、8 8 ．4 4 環(huán)、8 8 ．1 1 環(huán)、9 9 ．3 3 環(huán)，他的前 9 9 次射擊所得的平均數高于前 前 5 5 次射擊所得的平均環(huán)數．如果他要使 0 10 次射擊的平均數超過(guò) 8 8 ．8 8 環(huán)，那么他在第 0 10 次射擊中至少要得多少環(huán) ?( 每次射擊所得環(huán)數都精確到 0 0 ．1 1 環(huán)) )
?。?［解答］ ：
由題設知，前 5 5 次射擊的平均環(huán)數小于
前 前 9 9 次的總環(huán)數至多為 8 8 ． 7×9- -0 0. . 1=78. .2 2 ．
所以第 0 10 次射擊至少得
5. 1 (2001 年，江蘇省競賽題) ) 編號為 1 1 到 到 5 25 的 的 5 25 個(gè)彈珠被分放在兩個(gè)籃子 A A 和 和 B B 中，5 15 號 彈珠在籃子
A A 中，把這個(gè)彈珠從籃子 A A 移到籃子 B B 中，這時(shí)籃子 A A 中的彈珠號碼數的平 均數等于原平均數加14，B B 中彈珠號碼數的平均數也等于原平均數加14．問(wèn)原來(lái)在籃子 A A 中有多少個(gè)彈數 ?
?。?［解答］ ：
設原來(lái)籃子 A A 中有彈珠 x x 個(gè)，則籃子 B B 中有彈珠5 (25 一 一 x x) ) 個(gè)，又設原來(lái) A A 中彈珠號碼數的平均數為 a a ，B B 中彈珠號碼的平均數為 b b ，由題意得：
由②得
由③得
將④、⑤代入 中 ① ，得
解得：x x =9 ．
即原來(lái)籃子 A A 中有 9 9 個(gè)彈珠．
6. 某次數學(xué)競賽共有 5 15 道題，下表是對于做對 n(n n =0 ，1 1 ， 2…… ， 15) 道題的人數的一個(gè)統計，如果又知其中做對 4 4 道題和 4 4 道以上的學(xué)生每人平均做對 6 6 道題，做對 0 10 道和 0 10 道 題以下的學(xué)生每人平均做對 4 4 道題．問(wèn)這個(gè)表至少統計 了多少人? ?
?。?［解答］ ：對 由統計表可知，做對 0 0 —3 3 為 道題的總人數為 7+8+10+21=46( 人) ) ，他們做對題目數的總和為7×O+8×1+10×2 2 +21×3=91( 題) ) ；
做對 12 —5 15 道題的總人數為 15+
6+
3+
1 1 =25( ( 人) ) ．
他們做對題目數的和為：
15×12+6×13+3×14+1×15=315( 題) ) ．
以1 2 15, ,........ x x x 分別表示做對 0 0 道，1 1 道，5 ……15 道題目的人數，由題意得：
. .
即
. .
. .
兩式相減得：
而
代入上式得：
因此，當11x 0 =0 時(shí)，統計的總人數0 1 15x x x ? ? ? 最少為 0 200 人
