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        2023高數極限概念(4篇)

        發(fā)布時(shí)間:2024-10-31 12:15:45   來(lái)源:心得體會(huì )    點(diǎn)擊:   
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        2023高數極限概念(4篇)

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        高數極限概念篇一

        典型例題分析

        客觀(guān)題

        例 1 設f(x)在點(diǎn)x0可導,a,b為常數,則limf(x0?a?x)?f(x0?b?x)?xab?x?0?()

        f?(x0)aabf?(x0)

        b(a?b)f?(x0)

        c(a?b)f?(x0)

        d

        答案 c

        f(x0?a?x)?f(x0?b?x)lim??x?0?x[f(x0?a?x)?f(x0)]?[f(x0?b?x)?f(x0)]?lim? ?x?0?x

        f(x0?b?x)?f(x0)f(x0?a?x)?f(x0)?blim

        ?alim

        ?x?0?x?0b?xa?x

        ?(a?b)f?(x0)

        例2(89303)設f(x)在x?a的某個(gè)鄰域內有定義,則f(x)在x?a處可導的一個(gè)充分條件是()1????f(a?2h)?f(a?h)(a)limh?f?a???f(a)?存在(b)lim存在h?0h???hh????(c)limf(a?h)?f(a?h)2hh?0存在(d)limf(a)?f(a?h)h存在h?0答案 d

        解題思路

        (1)對于答案(a),不妨設

        1h??x,當h???時(shí),?x?0,則有

        ?1?f(a??x)?f(a)???limh?f?a???f(a)??lim存在,這只表明f(x)在x?a處h????x?0h??x???右導數存在,它并不是可導的充分條件,故(a)不對.?(2)對于答案(b)與(c),因所給極限式子中不含點(diǎn)a處的函數值f(a),因此與導數概念不相符和.例如,若取

        ?1,x?af(x)??

        0,x?a?則(b)與(c)兩個(gè)極限均存在,其值為零,但limf(x)?0?f(a)?1,從而f(x)在x?ax?a處不連續,因而不可導,這就說(shuō)明(b)與(c)成立并不能保證f?(a)存在,從而(b)與(c)也不對.(3)記?x??h,則?x?0與h?0是等價(jià)的,于是 limf(a)?f(a?h)hh?0??limf(a?h)?f(a)hh?0?limf(a?h)?f(a)?h

        h?0?x所以條件d是f?(a)存在的一個(gè)充分必要條件.例3(00103)設f(0)?0,則f(x)在點(diǎn)x?0可導的充要條件為()?x?0?limf(a??x)?f(a)?f?(a)(a)lim1h1h2h?0f(1?cosh)存在(b)lim1h1hh?0f(1?e)存在

        h(c)limh?02f(h?sinh)存在(d)limh?0?f(2h)?f(h)?存在

        答案 b

        解題思路

        (1)當h?0時(shí), 1?coshhh?02limf(1?cosh)h2h?0?lim2f(1?cosh)?f(0)h2?1.所以如果f?(0)存在,則必有

        ?limf(1?cosh)?f(0)1?coshh?0?lim1?coshh2h?0若記u?1?cosh,當h?0時(shí),u?0,所以

        f(1?cosh)?f(0)f(u)?f(0)lim?lim?f?(0)h?0h?01?coshu于是

        ?limf(1?cosh)h2h?0?12f?(0)

        1h2這就是說(shuō)由f?(0)存在能推出limh?0f(1?cosh)存在.?h0,而不是u?0,因此 但是由于當h?0時(shí),恒有u?1?cos?1f(x)?f(0)f??(0)?limlim2f(1?cosh)存在只能推出存在,而不能推出f?(0)h?0hx?0x存在.?

        (2)當h?0時(shí), 1?e??h?o(h),于是

        hlimf(1?e)hhh?0?limf(?h?o(h))?f(0)hh?0??limf(?h?o(h))?f(0)?h?o(h)

        h?0 由于當h?0時(shí), ?h?o(h)既能取正值,又能取負值,所以極限limf(?h?o(h))?f(0)?h?o(h)h?0存在與limf(h)?f(0)hh?0?f?(0)存在是互相等價(jià)的.因而

        極限lim1hh?0hf(1?e)存在與f?(0)存在互相等價(jià).(3)當h?0時(shí), 用洛比塔法則可以證明limlimf(h?sinh)h2h?0,所以 6hf(h?sinh)?f(0)h?sinh?lim?lim?h 3h?0h?0h?sinhhh?03h?sinh?1由于h?0,于是由極限limf(h?sinh)?f(0)h?sinhh?0?limh?sinhh3h?0?h存在未必推出h?sinh(4)f(x)在點(diǎn)x?0可導一定有(d)存在,但(d)存在不一定f(x)在點(diǎn)x?0可導.h?0limf(h?sinh)?f(0)也存在,因而f?(0)未必存在.例 4(98203)函數f(x)?(x?x?2)|x?x|有()個(gè)不可導點(diǎn)

        (a)0(b)1(c)2(d)3

        答案 c

        解題思路 當函數中出現絕對值號時(shí),不可導的點(diǎn)就有可能出現在函數的零點(diǎn),因為函數零點(diǎn)是分段函數的分界點(diǎn).因此需要分別考察函數在點(diǎn)x0?0,x1?1,x2??1考察導數的存在性.解 將f(x)寫(xiě)成分段函數:

        23?(x2?2?(xf(x)??2?(x?(x2??x?2)x(1?x),?x?2)x(x?1),?x?2)x(1?x),?x?2)x(x?1),2222x??1,?1?x?0,0?x?1,1?x.(1)在x0?0附近,f(x)寫(xiě)成分段函數:

        22?x(x?x?2)(x?1),x?0?23 f(x)?(x?x?2)|x?x|??22??x(x?x?2)(1?x),x?0容易得到

        f(x)?f(0)22?f?(0)?lim?lim(x?x?2)(x?1)?2

        ??x?0x?0xf(x)?f(0)22f??(0)?lim?lim(x?x?2)(1?x)??2

        ??x?0x?0x由于f??(0)?f??(0),所以f?(0)不存在.(2)在x1?1附近,f(x)寫(xiě)成分段函數:

        2?x(1?x)(x?x?2)(1?x),x?1?23f(x)?(x?x?2)|x?x|??

        2??x(1?x)(x?x?2)(x?1),x?1f(x)?f(1)2?f?(1)?lim?limx(1?x)(x?x?2)??4

        ??x?1x?1x?1f(x)?f(1)2f??(1)?lim?limx(1?x)(x?x?2)??4

        ??x?1x?1x?1由于f??(1)?f??(1),所以f?(1)不存在.(3)在x2??1附近,f(x)寫(xiě)成分段函數:

        2?x(1?x)(x?x?2)(x?1),x??1?23f(x)?(x?x?2)|x?x|??

        2??x(1?x)(x?x?2)(x?1),x??1f??(?1)?limf(x)?f(?1)?x??1x?0x?1由于f??(?1)?f??(?1)?0,所以f?(?1)存在.x??1??f??(?1)?limx?1f(x)?f(?1)??limx??1?x(x?1)(x22?x?2)?0

        ?limx(x?1)(x?x?2)?0

        綜合上述分析,f(x)有兩個(gè)不可導的點(diǎn).例5(95103)設f(x)具有一階連續導數,f(x)?f(x)?(1?|sinx|),則f(0)?0是f(x)在x?0處可導的()

        (a)必要但非充分條件

        (b)充分但非必要條件

        (c)充分且必要條件

        (d)既非充分也非必要條件

        答案 c

        分析 從f(x)在x?0的導數定義著(zhù)手.將f(x)?f(x)?(1?|sinx|)?f(x)?f(x)?|sinx| 解

        f(x)?f(0)f(x)?f(0)f(x)|sinx|?f(0)|sin0|?lim?limf??(0)?lim

        x?0x?0x?0x?0x?0x?0

        ?f?(0)?f(0)

        f(x)?f(0)f(x)|sinx|?f(0)|sin0|f(x)?f(0)?lim?limf??(0)?lim

        ???x?0x?0x?0x?0x?0x?0?f?(0)?f(0)

        于是推知f??(0)?f??(0)的充分必要條件是f(0)?0.??? 例6(92103)設函數f(x)?3x?x|x|,則使f32(n)(0)存在的最高階數n?().(a)0

        (b)1(c)

        2(d)3

        答案 c

        解題思路 應先去掉f(x)中的絕對值,將f(x)改寫(xiě)為分段函數

        ?2x3 f(x)?3x?x|x|??3?4x32x?0x?0x?0x?0

        ?2x3 解 由f(x)?3x?x|x|??3?4x32

        ?6x2得f?(x)??2?12xx?0x?0

        ?12x且f??(x)???24x又f??(0)?limx?0??12 f???(x)??x?0?24x?0x?0x?0

        f(x)?f(0)x?0?limx?02x?0?3x?0?0,f??(0)?limf(x)?f(0)?x?0x?0?limx?04x?0?3x?02?0

        所以f?(0)存在.f???(0)?limf?(x)?f?(0)?x?0x?0??limx?06x?0?x?012x??0 ?0?0 f???(0)?limf?(x)?f?(0)x?02?limx?0x?0x?0所以f??(0)存在.f????(0)?limf??(x)?f??(0)?x?0x?0??limx?012x?0?x?0??12

        x?0即f????(0)?f????(0).因而使fx?0f????(0)?limf??(x)?f??(0)?24

        x?0(n)(0)存在的最高階數是2.x?0?lim24x?0

        例7 f(x)?cos|x|?x2|x|存在的最高階導數的階數等于()

        a

        0

        b 1

        c 2

        d 3 答案 c 解題思路 注意cos|x|?cosx,所以只需考察x|x|在點(diǎn)x?0的情況.例8(96203)設??0,f(x)在區間(??,?)內有定義,若當x?(??,?)時(shí),恒有f(x)?x,則x?0必是f(x)的()

        (a)間斷點(diǎn),(b)連續而不可導的點(diǎn),(c)可導的點(diǎn),且2f"(0)?0

        (d)可導的點(diǎn),且f"(0)?0

        答案

        c

        解 由題目條件易知f(0)?0,因為

        |所以由夾逼定理

        f(x)?f(0)x|?|f(x)xf(x)x|?|x2x|

        2lim|x?0f(x)?f(0)x|?lim|x?0|?lim|x?0xx|?0

        于是f?(0)?0.?1?e?x?,x?0, 則f?(0)為()

        例9(87103)設f(x)??x?0,x?0.?

        1(a)0

        (b)

        (c)1

        (d)?1

        2答案

        (c)

        解題思路

        因f(x)為分段函數,故它在分段點(diǎn)處的導數應按導數的定義,又由于是未定式,可用洛必達法則求極限.200型解

        1?e f?(0)?lim?x2f(x)?f(0)x?0u?limx?0x?0xx?0?0?lim1?ex?x2x?02?x

        2當u?0時(shí),e ?1與u是等價(jià)無(wú)窮小,所以當x?0時(shí),1?e與x是等價(jià)無(wú)窮小.因而

        2lim1?ex?x2x?02?1

        12,則?x?0時(shí),f(x)在x0處的微分dy與

        例10(88103)設f(x)可導且f?(x0)??x比較是()的無(wú)窮小.(a)等價(jià)(b)同階(c)低階(d)高階

        答案 b

        解題思路

        根據y?f(x)在x?x0處的微分的定義:dy?f?(x0)?x.?x12 解 lim?lim?,可知dy與?x是同階的無(wú)窮小.?x?0?x?x?0?x21??xsin,x?0

        例11(87304)函數f(x)??在x?0處()x?x?0?0,dy

        (a)連續,且可導

        (b)連續,不可導

        (c)不連續

        (d)不僅可導,導數也連續

        答案 b

        解題思路

        一般來(lái)說(shuō),研究分段函數在分段點(diǎn)處的連續性時(shí),應當分別考察函數的左右極限;在具備連續性的條件下,為了研究分段函數在分界點(diǎn)處可導性,應當按照導數定義,或者分別考察左右導數來(lái)判定分段函數在分段點(diǎn)處的導數是否存在.因此,本題應分兩步:(1)討論連續性;(2)討論可導性.解(1)討論函數在點(diǎn)x?0處的連續性

        1?0?f(0),可知函數f(x)在點(diǎn)x?0處是連續的.由于limf(x)?limxsinx?0x?0x

        (2)討論函數在點(diǎn)x?0處的可導性

        1xsin?0f(x)?f(0)1x?lim?limsin

        由于lim不存在,所以,函數f(x)在點(diǎn)

        x?0x?0x?0x?0xxx?0處不可導.??x

        例12 設f(x)????p必須滿(mǎn)足()p1sin01x,x?0,x?0 在點(diǎn)x?0可導,但是f?(x)導數在點(diǎn)x?0不連續,則

        a0?p?1

        b1?p?2

        c0?p?2

        d1?p?答案 b

        解題思路

        (1)當p?1時(shí),下述極限不存在: x因此f?(0)不存在.當p?1時(shí), x?0limf(x)?f(0)xsin?limx?0p1x?limxp?1sin1

        x?0xxx所以f?(0)?0.x?0limf(x)?f(0)xsin?limx?0p1x?limxp?1sin1?0

        x?0xx這就是說(shuō),只有當p?1時(shí), f?(0)才存在,所以選項a,c可以被排除.(2)當p?1時(shí)

        0,x?0?? f?(x)??11p?1p?2sin?xcos,x?0?pxxx?當且僅當p?2?0,即p?2時(shí),limf?(x)?0?f?(0),所以當且僅當1?p?2時(shí),x?0f(x)在點(diǎn)x?0可導,但是f?(x)在點(diǎn)x?0不連續.例13(95403)設f(x)可導,且滿(mǎn)足條件limf(1)?f(1?x)2x12x?0??1,則曲線(xiàn)y?f(x)在(1,f(1))處的切線(xiàn)斜率為()(a)2,(b)?2,(c),(d)?1

        答案 b

        解 記?u??x,則有

        f(1)?f(1?x)1f(1??u)?f(1)1lim?lim?f?(1)x?02x2?u?0?u2

        例1

        4設y?ln(1?2x),則y

        (a)(10)?()

        9!(1?2x)10

        (b)?9!(1?2x)10

        (c)10!?2910(1?2x)

        (d)?9!?21010(1?2x)

        答案 d

        解題思路

        求高階導數的一般方法是: 先求出一階、二階、三階導數;找出規律,即可寫(xiě)出高階導數.?2y??, 1?2x?21y???(?2)(?1)?(?2)(?1)(?2)

        22(1?2x)(1?2x)y????(?2)(?1)(?2)(?2)?2(1?2x)3

        y(10)??9!?21010(1?2x).例17

        (90103)設函數f(x)有任意階導數,且f?(x)?f(x),則f(n)(x)?(n?1),(n?2).n?1(a)n!f(x)(b)nf(x)(c)f2n(x)(d)n!f2n(x)

        答案 a

        解題思路 這是一個(gè)求高階導數的問(wèn)題,涉及到求抽象函數的導數.解

        由f(x)有任意階導數且f?(x)?f(x),可知

        2f??(x)?f(x)3????2f(x)?f?(x)?2f(x)?f????f(x)??2f(x)??3?2f(x)?f?(x)?3!f2(n)n?12(x)?2f(x),(x)

        34依此由歸納法可知 f(x)?n!f(x)

        注意(1)當n?1,n?2時(shí)雖然(b)也正確,但當n?2就不正確了,所以將(b)排除之;

        ?222(2)在求導數f(x)時(shí),可將函數f(x)看成是由y?t與t?f(x)復合而成的,??????(t)??f?(x)?2t?f?(x)?2f(x)?f?(x).?(初學(xué)者可能會(huì )這樣做:?f(x)??2f(x),后面丟掉一個(gè)因子f?(x).則根據復合函數的求導法則,故f(x)222

        例18(91303)若曲線(xiàn)y?x?ax?b和2y??1?xy在點(diǎn)(1,?1)處相切,其中

        23a,b是常數,則()(a)a?0,b??

        2(b)a?1,b??3

        (c)a??3,b?

        1(d)a??1,b??1

        答案 d

        解題思路

        兩曲線(xiàn)在某點(diǎn)相切就是指兩曲線(xiàn)在此公共點(diǎn)處共一條切線(xiàn),從而兩曲線(xiàn)的斜率也應相等.解

        曲線(xiàn)y?x?ax?b在點(diǎn)(1,?1)處的斜率是

        2k1?(x?ax?b)?2x?1?(2x?a)x?13?2?a

        另一條曲線(xiàn)是由隱函數2y??1?xy確定,該曲線(xiàn)在點(diǎn)(1,?1)處的斜率可以由隱函數求導數得到: 對于方程2y??1?xy兩邊求導得到2y??3xyy??y,解出y?得到此曲線(xiàn)在點(diǎn)(1,?1)處的斜率為

        k2?y?x?1y??1323?y322?3xy?1

        x?1y??12令k1?k2,立即得到a??1.再將a??1,x?1,y??1代入y?x?ax?b中得出b??1.例19設f(x),g(x)定義在(?1,1),且都在x?0處連續,若?g(x)?x?0f(x)??x,則()?x?0?2(a)limg(x)?0且g"(0)?0,(b)limg(x)?0且g"(0)?1

        x?0x?0(c)limg(x)?1且g"(0)?0

        (d)limg(x)?0且g"(0)?2

        x?0x?0 答案 d

        解題思路 分析函數f(x)的表達式,并運用f(x)在x?0處連續這一關(guān)鍵條件.解 既然f(x)在x?0處連續,于是必有limf(x)?limx?0g(x)xx?0?2,于是必有limg(x)?0.于是又有g(shù)?(0)?limx?0g(x)?g(0)xx?0?limg(x)xx?0?2.?1?cosx? 例 20(99103)設f(x)??x2?xg(x)?x?0x?0 其中g(shù)?(x)是有界函數,則f(x)在x?0處()(a)極限不存在(b)極限存在,但不連續

        (c)連續,但不可導(d)可導

        答案 d

        解題思路

        若能首先判定f(x)在x?0處可導,則(a)、(b)、(c)均可被排除.解

        x f??(0)?lim21f(x)?f(0)?x?0x?0x2?limx?01?cosx?3?limx?02?3?limx?0x2?x)

        2x22?0

        (x?0時(shí)1?cosx~ f??(0)?lim2f(x)?f(0)?x?0xx?0由于f(x)在x?0點(diǎn)的左導數等于右導數,因而 f(x)在x?0處可導.x?0x?0??limxg(x)2?limxg(x)?0(g(x)是有界函數)

        ? 例21 設f(x)?sinx,則(f(f(x)))??()(sinx)cosx (sinx)cosx (cosx)sinx (cosx)sinx

        答案 a

        例 22 設f(x)是可導函數,則()a.若f(x)為奇函數,則f?(x)為偶函數b.若f(x)為單調函數c.若f(x)為奇函數,則f?(x)為奇函數d.若f(x)為非負函數 答案 a

        解題思路 根據導數定義,利用函數的奇性.解 由于f(?u)??f(u),所以 ,則f?(x)為單調函數 ,則f?(x)為非負函數

        f?(x)?limlimf(x??x)?f(x)?xf[?x?(??x)]?f(?x)?x?0?lim?f(?x??x)?f(?x)?x

        ?x?0??x因此f?(x)為偶函數.?x?0?f?(?x)例23 設y?esinsin22x,則dy?()sin2 c.2e 答案 d

        解題思路 運用復合函數微分法

        例 24 設f?(0)存在,lim(1?x?0xxsin2xsincosx d.e2xsin2x

        1?cosf(x)sinx1)x?e,則f?(0)?()a.0 b.1 c.答案 c

        解 由 c.e

        lim(1?x?01?cosf(x)sinx1)x?e

        可以知道當x?0時(shí),有

        lim(參閱第一章1.5的例2)

        x?011?cosf(x)??1 xsinxf2當x?0時(shí),sinx與x是等價(jià)無(wú)窮小,1?cosf(x)與

        (x)2是等價(jià)無(wú)窮小.于是

        f(x)11?cosf(x)1lim??lim?1 2x?0xx?0sinx2x又因為f?(0)存在,所以此式又推出 f?(0)?limf(x)xx?02?2.1?,x?0?arctan 例 25 設f(x)?? 在點(diǎn)x?0可導,則()x?ax?b,x?0?a.a?1,b??2 b.a?1,b?0 c.a??1,b???2 d.a??1,b??2

        答案d

        解題思路 先考察函數在點(diǎn)x?0左右極限,確定連續性,再考察左右導數.由可微性最終確定a,b.解

        1???,所以b??.(1)limf(x)?lim(ax?b)?b,limf(x)?limarctan??x?0x?0x22x?0x?0??于是f(0)??2.(2)f??(0)?a,f??(0)?limx?0f(x)?f(0)?arctan?limx?0?1xx??2

        xarctan1xx??2: 以下需要用洛比塔法則求極限limx?0?

        arctanlimx?0?1x??2?lim?(arctan1xx???2)??limx?0??1x2xx?0于是由f??(0)?f??(0)推出a??1

        ?1??1

        例26.(93303)若f(x)??f(?x),且在(0,??)內f(wàn)?(x)?0,f??(x)?0,則f(x)在(??,0)內必有

        (a)f?(x)?0,f??(x)?0(b)f?(x)?0,f??(x)?0

        (c)f?(x)?0,f??(x)?0(d)f?(x)?0,f??(x)?0 答案 c

        解體思路 所給函數顯然是奇函數,因此f?(x)是偶函數,f??(x)是奇函數.解 由f?(x)?0,x?(0,??)知f?(x)?0,x?(??,0);由f??(x)?0,x?(0,??)知f??(x)?0,x?(??,0).

        高數極限概念篇二

        第二章 極限和連續 【字體:大 中 小】【打印】

        2.1 數列極限

        一、概念的引入(割圓術(shù))

        “割之彌細,所失彌少,割之又割,以至于不可割,則與圓周合體而無(wú)所失矣” ——劉徽

        正六邊形的面積a正十二邊形的面積a2

        n-1

        正6×2形的面積an

        a1,a2,a3,?,an,?→?s

        二、數列的定義

        定義:按自然數1,2,3?編號依次排列的一列數x1,x2,?,xn,?(1)

        稱(chēng)為無(wú)窮數列,簡(jiǎn)稱(chēng)數列。其中的每個(gè)數稱(chēng)為數列的項,xn稱(chēng)為通項(一般項)。數列(1)記為{ xn }。

        例如

        nn

        2,4,8,?,2,?;
        { 2}

        注意:

        (1)數列對應著(zhù)數軸上一個(gè)點(diǎn)列,可看作一動(dòng)點(diǎn)在數軸上依次取

        (2)數列是整標函數xn=f(n)

        三、數列的極限

        1.定義 設{xn}是一數列,如果存在常數a,當n無(wú)限增大時(shí),xn無(wú)限接近于常數a,則稱(chēng)數列{ xn }收斂,a是數列{ xn }的極限,或者稱(chēng)數列xn收斂于a,記為。

        如果數列沒(méi)有極限,就說(shuō)數列是發(fā)散的。

        例如

        nn

        2,4,8,?,2,?;
        { 2},發(fā)散,發(fā)散

        收斂于0

        2.數列極限的性質(zhì)(1)唯一性

        定理 每個(gè)收斂的數列只有一個(gè)極限。(2)有界性

        定義: 對數列xn,若存在正數m,使得一切自然數n, 恒有|xn|≤m成立, 則稱(chēng)數列xn有界,否則,稱(chēng)為無(wú)界。

        例如,數列有界,數列無(wú)界

        數軸上對應于有界數列的點(diǎn)xn都落在閉區間[-m,m]上。

        定理 收斂的數列必定有界。

        注意:有界性是數列收斂的必要條件。推論 無(wú)界數列必定發(fā)散。(3)保號性

        收斂數列的保號性:假設數列{αn}收斂,其極限為α,1)若有正整數n,n>n時(shí),αn>0(或<0),則α≥0(或α≤0)2)若α>0(或<0,則有正整數n,使得當n>n時(shí),αn>0(或<0)

        2.2 級數

        1.級數的定義:

        稱(chēng)為數項無(wú)窮級數(或簡(jiǎn)稱(chēng)數項級數),un為一般項。

        2.級數的部分和

        3.部分和數列

        4.級數的收斂與發(fā)散

        當n無(wú)限增大時(shí),如果級數的部分和數列sn有極限s,即則稱(chēng)無(wú)窮級數收斂,這時(shí)極限s叫做級數的和,并寫(xiě)成。

        如果sn沒(méi)有極限,則稱(chēng)無(wú)窮級數

        數項級數收斂

        存在

        發(fā)散。

        例1.討論等比級數(幾何級數)

        (a≠0)的收斂性。

        【答疑編號11020101:針對該題提問(wèn)】

        解:如果q≠1時(shí),當|q|<1時(shí),當|q|>1時(shí)

        如果|q|=1時(shí)

        當|q|=1時(shí),級數發(fā)散

        收斂 發(fā)散

        當q=-1時(shí),級數變?yōu)棣?α+α-α+?

        不存在,級數發(fā)散

        綜上

        例2.(56頁(yè)1(3))判斷下列級數的斂散性,并在收斂時(shí)求出其和:

        【答疑編號11020102:針對該題提問(wèn)】

        解:

        得級數收斂,其和為。

        例3.判斷級數的斂散性

        【答疑編號11020103:針對該題提問(wèn)】

        例4.判斷級數的斂散性,并在收斂時(shí)求出其和

        【答疑編號11020104:針對該題提問(wèn)】

        例5.判別無(wú)窮級數

        的收斂性。

        【答疑編號11020105:針對該題提問(wèn)】

        ∴級數收斂,和為。

        2.3 函數極限

        兩種情形:

        (1)x→∞情形:

        (2)x→x0情形:

        一、自變量趨于無(wú)窮大時(shí)函數的極限

        定義:設m是任意一個(gè)正數,函數f(x)在上有定義,如果存在常數a,當|x|無(wú)限增大(即|x|→∞)時(shí),f(x)無(wú)限接近于a,則稱(chēng)a為函數f(x)當x→∞時(shí)的極限,或簡(jiǎn)稱(chēng)為f(x)在無(wú)窮大處的極限,記為

        或f(x)→a,當x→∞時(shí)。

        定理:

        例1.(60頁(yè)例

        5、例6)求下列函數的極限

        (1)

        【答疑編號11020201:針對該題提問(wèn)】

        (2)

        【答疑編號11020202:針對該題提問(wèn)】

        解:對于函數

        對于函數f(x)=arctanx,由反正切曲線(xiàn)y=arctanx的圖形,易見(jiàn)

        所以,極限

        例2.不存在。

        【答疑編號11020203:針對該題提問(wèn)】

        例3.【答疑編號11020204:針對該題提問(wèn)】

        例4.【答疑編號11020205:針對該題提問(wèn)】

        二、函數在有限點(diǎn)處的極限(自變量趨于有限值時(shí)函數的極限)

        1.定義:給定函數y=f(x)在(x∈d)上有定義,假設點(diǎn)x0的某一去心鄰域,如果存在常數a,使得當x→x0時(shí),函數值f(x)無(wú)限接近于a,則稱(chēng)a為函數f(x)當x→x0時(shí)的極限,記為

        或 f(x)→a,當x→x0時(shí)。

        2.單側極限

        定義:設 f(x)在x0的一個(gè)左鄰域中有定義,如果存在常數a,使得當相應的函數值(fx)無(wú)限接近于a,則稱(chēng)a為函數f(x)當 時(shí)的左極限,記為

        定理:

        時(shí),或(fx0-0)。

        例5.62頁(yè)2:(5)(6)(7)

        求函數在指定點(diǎn)的左右極限,判定該點(diǎn)極限是否存在。

        (5)x=2

        【答疑編號11020206:針對該題提問(wèn)】

        (6)x=0

        【答疑編號11020207:針對該題提問(wèn)】

        (7),x=0

        【答疑編號11020208:針對該題提問(wèn)】

        問(wèn)題:函數y=f(x)在x→x0的過(guò)程中,對應函數值f(x)無(wú)限趨近于確定值a。

        例6.求

        【答疑編號11020209:針對該題提問(wèn)】

        注意:函數極限與f(x)在點(diǎn)x0是否有定義無(wú)關(guān)

        三、函數極限的性質(zhì) 1.唯一性

        定理 若limf(x)存在,則極限唯一。2.有界性

        定理(有極限函數的局部有界性)假設中有界,即有常數m>0,使得在x0的某個(gè)去心鄰域

        3.保號性

        推論

        存在,則f(x)在x0點(diǎn)的某個(gè)鄰域

        中,有,且a>0(或a<0)

        若時(shí)

        f(x)≥0(或f(x)≤0),則a≥0(或a≤0)

        四、小結

        函數極限的統一定義

        2.4 極限的運算法則

        一、極限運算法則

        定理

        (1)

        (2)

        ,則

        (3)

        例7.【答疑編號11020210:針對該題提問(wèn)】

        推論1

        如果lim f(x)存在,而c為常數,則

        常數因子可以提到極限記號外面。

        推論2

        如果lim f(x)存在,而n是正整數,則

        二、求極限方法舉例

        例8.求

        【答疑編號11020211:針對該題提問(wèn)】

        (直接代入法)

        例9.求。

        【答疑編號11020212:針對該題提問(wèn)】

        解:x→1時(shí),分子,分母的極限都是零。(型)

        (消去零因子法或因式分解法)

        例10.求

        【答疑編號11020213:針對該題提問(wèn)】

        解:先變形再求極限。

        例11.求

        【答疑編號11020214:針對該題提問(wèn)】

        三、小結

        1.極限的四則運算法則及其推論;

        2.極限求法

        a.多項式與分式函數代入法求極限;

        b.因式分解法消去零因子求極限;

        c.通分法

        d.利用左右極限求分段函數極限。

        2.5 無(wú)窮小和無(wú)窮大

        一、無(wú)窮小

        1.定義:極限為零的變量稱(chēng)為無(wú)窮小。

        函數f(x)當x→x0(或x→∞)時(shí)為無(wú)窮小,記作

        例如,∴函數sinx是當x→0時(shí)的無(wú)窮小。

        ,∴函數是當x→∞時(shí)的無(wú)窮小。

        ,∴數列是當n→∞時(shí)的無(wú)窮小。

        注意:

        (1)無(wú)窮小是變量,不能與很小的數混淆;
        (2)零是可以作為無(wú)窮小的唯一的數。2.無(wú)窮小與函數極限的關(guān)系:

        其中α(x)是當x→x0時(shí)的無(wú)窮小。

        定理

        3.無(wú)窮小的運算性質(zhì):

        (1)在同一過(guò)程中,有限個(gè)無(wú)窮小的代數和仍是無(wú)窮小。(2)有限個(gè)無(wú)窮小的乘積也是無(wú)窮小。(3)有界變量與無(wú)窮小的乘積是無(wú)窮小。

        例如,當x→0時(shí),二、無(wú)窮大

        1.定義:絕對值無(wú)限增大的變量稱(chēng)為無(wú)窮大。

        函數f(x)當x→x0(或x→∞)時(shí)為無(wú)窮大,記作。

        2.特殊情形:正無(wú)窮大,負無(wú)窮大。

        注意:

        (1)無(wú)窮大是變量,不能與很大的數混淆;
        (2)切勿將 認為極限存在。

        (3)無(wú)窮大是一種特殊的無(wú)界變量,但是無(wú)界變量未必是無(wú)窮大。

        例如,三、無(wú)窮小與無(wú)窮大的關(guān)系

        是無(wú)界變量不是無(wú)窮大。

        1.定理 在同一過(guò)程中,無(wú)窮大的倒數為無(wú)窮??;
        恒不為零的無(wú)窮小的倒數為無(wú)窮大。

        2.意義:關(guān)于無(wú)窮大的討論,都可歸結為關(guān)于無(wú)窮小的討論。

        例1.求。

        【答疑編號11020301:針對該題提問(wèn)】

        解:

        商的法則不能用

        由無(wú)窮小與無(wú)窮大的關(guān)系,得

        例2.求。

        【答疑編號11020302:針對該題提問(wèn)】

        解:x→∞時(shí),分子,分母的極限都是無(wú)窮大。(先用x3去除分子分母,分出無(wú)窮小,再求極限。

        型)

        (無(wú)窮小因子分出法)

        例3.求

        【答疑編號11020303:針對該題提問(wèn)】

        例4.求

        【答疑編號11020304:針對該題提問(wèn)】

        小結:當,m和n為非負整數時(shí)有

        無(wú)窮小分出法:以分子、分母中自變量的最高次冪除分子,分母,以分出無(wú)窮小,然后再求極限。

        例5.【答疑編號11020305:針對該題提問(wèn)】

        例6.求

        【答疑編號11020306:針對該題提問(wèn)】

        例7.求

        【答疑編號11020307:針對該題提問(wèn)】

        例8(2007年10月)

        【答疑編號11020308:針對該題提問(wèn)】

        例9(2007年10月)、下面a、b、c、d四個(gè)極限中,哪一個(gè)極限存在()

        a.b.c.d.【答疑編號11020309:針對該題提問(wèn)】

        答案:d

        例10(2007年4月)

        ()

        a.0

        b.1 c.-1

        d.不存在

        【答疑編號11020310:針對該題提問(wèn)】 答案:b

        例11(2007年7月)

        【答疑編號11020311:針對該題提問(wèn)】

        計算

        例12(2005年)計算

        【答疑編號11020312:針對該題提問(wèn)】

        2.6 兩個(gè)重要極限

        2.6.1 關(guān)于

        1、計算

        【答疑編號11020401:針對該題提問(wèn)】

        解:

        2、【答疑編號11020402:針對該題提問(wèn)】

        解:

        例3、80頁(yè)第1題(5)

        【答疑編號11020403:針對該題提問(wèn)】

        解:

        4、【答疑編號11020404:針對該題提問(wèn)】

        解:

        5、【答疑編號11020405:針對該題提問(wèn)】

        解:

        6、判斷四個(gè)極限分別屬于哪一種類(lèi)型:

        (1)

        【答疑編號11020406:針對該題提問(wèn)】

        (2)

        【答疑編號11020407:針對該題提問(wèn)】

        (3)

        【答疑編號11020408:針對該題提問(wèn)】

        (4)

        【答疑編號11020409:針對該題提問(wèn)】

        解:

        解:

        7、求

        【答疑編號11020410:針對該題提問(wèn)】

        2.6.2 關(guān)于

        1、求

        【答疑編號11020501:針對該題提問(wèn)】

        解:

        2、【答疑編號11020502:針對該題提問(wèn)】

        解:

        3、【答疑編號11020503:針對該題提問(wèn)】

        解:

        4、【答疑編號11020504:針對該題提問(wèn)】

        解:

        方法一:

        方法二:

        5、【答疑編號11020505:針對該題提問(wèn)】

        解:

        6、【答疑編號11020506:針對該題提問(wèn)】

        解:

        7、【答疑編號11020507:針對該題提問(wèn)】

        解:

        8、【答疑編號11020508:針對該題提問(wèn)】 解:
        方法一:

        方法二:

        例9、81頁(yè)4題(8)

        【答疑編號11020509:針對該題提問(wèn)】

        解:

        小結:

        第一類(lèi)重要極限:

        第二類(lèi)重要極限:

        2.5.4 無(wú)窮小的比較

        例如,當x→0時(shí),觀(guān)察各極限

        都是無(wú)窮小。

        ,x比3x要快得多;

        2,sinx與x大致相同;

        不存在,不可比。

        極限不同,反映了趨向于零的“快慢”程度不同。

        定義:

        設α,β是同一過(guò)程中的兩個(gè)無(wú)窮小,且α≠0.(1)如果,就說(shuō)β是比α高階的無(wú)窮小,記作β=o(α);

        (2)如果,就說(shuō)β與α是同階的無(wú)窮??;

        特殊地如果

        等價(jià)無(wú)窮?。?,則稱(chēng)β與α是等價(jià)的無(wú)窮??;
        記作α~β;

        例:

        【答疑編號11020601:針對該題提問(wèn)】

        例:

        【答疑編號11020602:針對該題提問(wèn)】

        得:當x→0時(shí),例:

        (1)73頁(yè)8題:

        當x→∝時(shí),a,b,c應滿(mǎn)足什么條件可使下式成立?

        (1)

        (2)

        等價(jià)無(wú)窮小代換

        等價(jià)代換原理:在同一極限過(guò)程中的三個(gè)變量u,v,w,如果u,v是無(wú)窮小量,且等價(jià),則有

        ,由

        得:當x→0時(shí),常用等價(jià)無(wú)窮?。?/p>

        當x→0時(shí),牢記常用的等價(jià)無(wú)窮?。?/p>

        當x→0時(shí),例:

        【答疑編號11020603:針對該題提問(wèn)】

        例:

        【答疑編號11020604:針對該題提問(wèn)】

        【答疑編號11020605:針對該題提問(wèn)】

        錯解

        當x→0時(shí),解

        當x→0時(shí),例

        (1)80頁(yè)1題(7)

        【答疑編號11020606:針對該題提問(wèn)】

        (2)80頁(yè)1題(9)

        【答疑編號11020607:針對該題提問(wèn)】

        (3)80頁(yè)1題(10)

        【答疑編號11020608:針對該題提問(wèn)】

        (4)80頁(yè)2題:設

        【答疑編號11020609:針對該題提問(wèn)】,求a,b

        例:94頁(yè)3題(4):

        【答疑編號11020610:針對該題提問(wèn)】

        例:94頁(yè)4題(1):證明當時(shí),sin(2cosx)與是同階無(wú)窮小。

        【答疑編號11020611:針對該題提問(wèn)】

        例:81頁(yè)8題:設

        【答疑編號11020612:針對該題提問(wèn)】,求k。

        小結

        1.兩個(gè)重要極限

        2.無(wú)窮小的比較:
        反映了同一過(guò)程中,兩無(wú)窮小趨于零的速度快慢,但并不是所有的無(wú)窮小都可進(jìn)行比較.高(低)階無(wú)窮??;
        等價(jià)無(wú)窮??;

        3.等價(jià)無(wú)窮小的替換:

        求極限的又一種方法,注意適用條件.2.7 函數的連續性和連續函數

        一、函數的連續性

        1.函數的增量

        設函數f(x)在

        內有定義,稱(chēng)為自變量在點(diǎn)的增量。

        2.連續的定義

        定義1 設函數f(x)在的函數的增量f(x)在點(diǎn)

        定義2 設函數f(x)在也趨向于零,即連續,稱(chēng)為

        內有定義,如果當自變量的增量

        或的連續點(diǎn).趨向于零時(shí),對應,那么就稱(chēng)函數

        內有定義,如果函數

        時(shí)的極限存在,且

        高數極限概念篇三

        求函

        摘要: 本文就關(guān)于求函數極限的方法和技巧作了一個(gè)比較全面的概括、綜合。

        關(guān)鍵詞:函數極限

        引言

        在數學(xué)分析與微積分學(xué)中,極限的概念占有主要的地位并以各種形式出現而貫穿全部?jì)热?因此掌握好極限的求解方法是學(xué)習數學(xué)分析和微積分的關(guān)鍵一環(huán)。本文就關(guān)于求函數極限的方法和技巧作一個(gè)比較全面的概括、綜合,力圖在方法的正確靈活運用方面,對讀者有所助益。

        主要內容

        一、求函數極限的方法

        1、運用極限的定義 例: 用極限定義證明: limx?3x?2x?22x?2?1

        證: 由 x2?3x?2x?2?1?x2?4x?4x?2

        ??x?2?2x?2?x?2

        ???0 取??? 則當0?x?2?? 時(shí),就有

        x2?3x?2x?2?1??

        由函數極限???定義有: 2limx?3x?2x?2x?2?1

        2、利用極限的四則運算性質(zhì)

        若 limf(x)?a limg(x)?b

        x?x0x?x0(i)lim?f(x)?g(x)?? limf(x)x?x?limg(x)?a?b

        0x?x0x?x0(ii)lim?f(x)?g(x)??limf(x)?limg(x)?a?b

        x?x0x?x0x?x0(iii)若 b≠0 則:

        limlimf(x)xf(x)0ax?xg(x)?x?0limx?xg(x)?b

        0iv)limc?f(x)?c?limf(x)?ca(c為常數)

        x?x0x?x0上述性質(zhì)對于x??,x???,x???時(shí)也同樣成立

        例:求 limx?3x?5x?422 2x?2解: limx?3x?52?3?2?55x?2x?4=

        2?4?2

        3、約去零因式(此法適用于x?x0時(shí),00型例: 求32limx?x?16x?20x3?7x2?16x?12

        x??2解:原式=lim?x3?3x2?10x??(2x2?6x?20)x??2?x3?5x2?6x??(2x2?10x?12)

        lim(x?2)(x2?3x?10)(x?2)(x? x??225x?6)=(x2lim?3x?10)?5)(x?2)x??2(x2?5x?6)=

        xlim(x??2(x?2)(x?3)=x?5x?3??7

        xlim??

        24、通分法(適用于???型)例: 求 lim(41x?24?x2?2?x)

        解: 原式=lim4?(2?x)(2?x)?(2?x)

        x?2=lim(2?x)(2?x)(2?x)

        x?23

        =

        =lim12?xx?2?14

        5、利用無(wú)窮小量性質(zhì)法(特別是利用無(wú)窮小量與有界量之乘積仍為無(wú)窮小量的性質(zhì))

        設函數f(x)、g(x)滿(mǎn)足:(i)limf(x)?0

        x?x0(ii)g(x)?m(m為正整數)則:limg(x)f(x)?0

        x?x0例: 求 limx?sin1x

        x?0 解: 由 lim0 而 sin1x?1

        x?0x?故 原式 =limx?sin1x?0x?0

        6、利用無(wú)窮小量與無(wú)窮大量的關(guān)系。

        (i)若:limf(x)?? 則 lim1f(x)?0

        (ii)若: limf(x)?0

        f(x)≠0 lim1f(x)??

        例: 求下列極限 ① lim1lim1x??x?5 ②x?1x?1

        則4

        解: 由 lim(x?5)?? 故 limx??1x?5x???0

        由 lim(x?1)?0

        x?1lim1x?1x?1=?

        7、等價(jià)無(wú)窮小代換法

        設?,?",?,?" 都是同一極限過(guò)程中的無(wú)窮小量,且有:

        "" ?則 lim??~?,?~?,lim??"" 存在,= lim??"" 也存在,且有lim1?cosxxsinx222??

        例:求極限lim 解: sinx22x?0

        2~x, 1?cosx~(x)222

        (x)? lim221?cosxxsinx222x?0=

        12?222xx

        注:
        在利用等價(jià)無(wú)窮小做代換時(shí),一般只在以乘積形式出現時(shí)可以互換,若以和、差出現時(shí),不要輕易代換,因為此時(shí)經(jīng)過(guò)代換后,往往改變了它的無(wú)窮小量之比的“階數”

        8、利用兩個(gè)重要的極限。

        (a)limsinx?1(b)lim(1?1x?0xx)x?ex??

        但我們經(jīng)常使用的是它們的變形:

        (a")limsin?(x)?(x)?1,(?(x)?0)

        (b")lim(1?1x))?(x)?(?e,(?(x)??)例:求下列函數極限

        x(1)、lima?1(2)、limlncosaxx?0xlncosbx

        x?0x?1?u,則 x?ln(1?u)ax 解:(1)令a?1alna 于是x?ulnln(1?u)又當x?0時(shí),u?0x故有:lima?1lnax?0x?limulnau?0ln(1?u)?limlnau?0ln(1?u)?limu?01?lnauln(1?u)u(2)、原式?limln[(1?(cosax?1)]ln[1?(cosbx?1)]

        x?0?limln[(1?(cosax?1)]cosbxx?0cosax?1??1cosax?1 ln[1?(cosbx?1)]cosbx?1?limcosbx?1x?0cosax?1

        2sin?2sin?limx?02a2x)2x(bx)22?2b2x?limxx?0(a22?2sin2sin(b2?2?2ba2ax(x)222b

        x)

        9、利用函數的連續性(適用于求函數在連續點(diǎn)處的極限)。

        (i)若f(x)在x?x0處連續,則(ii)若f[?(x)]是復合函數,又f(u)在u?a處連續,則x?x0x?x0limf(x)?f(x0)x?x0lim?(x)?a且x?x0

        limf(?(x))?f[lim?(x)]?f(a)例:求下列函數的極限

        (1)、limecosx?51?x?ln(1?x)2xx?0

        (2)

        f(x)?ecosx?5xln1(?x)limx?0x

        解:由于x?0屬于初等函數故由函數的連續性定義limecosx?51?x?ln(1?x)ln(1?x)x12x1?x?ln(1?x)2的定義域之內。有:?f(0)?61x?0

        (2)、由?ln(1?x)x令??x??(1?x)x故有:limln(1?x)x11x?0?limln(1?x)x?ln(lim(1?x)x)?lne?1x?0x?010、變量替換法(適用于分子、分母的根指數不相同 的極限類(lèi)型)特別地有:

        llimxkn?1x?1?mlnk m、n、k、l 為正整數。

        xm?1例:求下列函數極限 ① lim1?1?nmxxx?1(m、n ?n)②lim(2x?3)

        x?1x??2x?1 解: ①令 t=原式=limt?1mnx 則當x?1 時(shí) t?1,于是

        mn1?t1?t?lim(1?t)(1?t?t????t(1?t)(1?t?t????t22x?12)x?12m?1n?1))t?12?mn

        ②由于lim(2x?3)=lim(1?x?1x??2x?1x??

        令:2x?1?1 則 x?1?1?1

        2tt?lim(x??2x?32x?1)x?1=lim(1?x??22x?11t)x?1=lim(1?t)t?0111?t2

        =lim(1?t)t?0?lim(1?t)2?e?1?e

        t?0

        11、利用函數極限的存在性定理

        定理: 設在x的某空心鄰域內恒有 g(x)≤f(x)≤0h(x)且有: limx?x0g(x)?limh(x)?a

        x?x0 則極限 lim

        x?x0f(x)

        存在, 且有

        x?x0limf(x)?a

        xanx例: 求 limx???(a>1,n>0)解: 當 x≥1 時(shí),存在唯一的正整數k,使 k ≤x≤k+1 于是當 n>0 時(shí)有:

        xanx?(k?1)akakn

        kank及

        xanxn?k?1??1a

        又? 當x???時(shí),k??? 有 lim(k?1)akaknk????lim(k?1)akankk?1nk????a?0?a?0

        及 lim? nk???k?1? lim=0 k????1a?0?1a?0

        x???limxanx

        12、用左右極限與極限關(guān)系(適用于分段函數求分段點(diǎn)處的極限,以及用定義求極限等情形)。定理:函數極限lim左極限lim x?x0?x?x0f(x)存在且等于a的充分必要條件是

        a。即有:
        f(x)及右極限lim?f(x)都存在且都等于

        x?x0

        limf(x)?a?limx)=a x?xx?x?f(x)=lim?f(00x?x0?1?2e?x,x?0?例:設f(x)=??x?x,0?x?1 求limf(x)及l(fā)imf(x)?xx?0x?1??x2,x?1解:?lim?x?f(x)?lim?(1?2e)??1x?0x?0limx)?limx?x)?limx?1)??1x?0?f(x?0?(xx?0?(由limx)?limx)??1x?0?f(x?0?f(?limf(x)??1

        x?0又?limx?x?f(x)?lim?lim(x?1)?0x?1x?1?xx?1? lim(x)?lim2?1x?1?f?xx?1

        由f(1?0)?f(1?0)?lim?1f(x)不存在x13、羅比塔法則(適用于未定式極限)定理:若

        (i)limx?xf(x)?0,limg(x)?00x?x0(ii)f與g在xu0(x"0的某空心鄰域0)內可導,且g(x)?0(iii)limf"(x)x?xg"(x)?a(a可為實(shí)數,也可為??或?),則

        0limf(x)?limf"(x)x?x0g(x)x?xg"(x)?a0此定理是對00型而言,對于函數極限的其它類(lèi)型,均有類(lèi)似的法則。

        注:運用羅比塔法則求極限應注意以下幾點(diǎn):

        1、要注意條件,也就是說(shuō),在沒(méi)有化為0,?時(shí)不可

        0?求導。

        2、應用羅比塔法則,要分別的求分子、分母的導數,而不是求整個(gè)分式的導數。

        3、要及時(shí)化簡(jiǎn)極限符號后面的分式,在化簡(jiǎn)以后檢查是否仍是未定式,若遇到不是未定式,應立即停止使用羅比塔法則,否則會(huì )引起錯誤。

        4、當limf(x)g(x)""x?a 不存在時(shí),本法則失效,但并不是說(shuō)極限不存在,此時(shí)求極限須用另外方法。

        例:
        求下列函數的極限 ①lime?(1?2x)ln(1?x)2x12x?0 ②lime?(1?2x)?12x12lnxxax???(a?0,x?0)

        解:①令f(x)=

        f(x)?e?(1?2x)"x, g(x)= ln(1?x)

        2, g“"(x)?2x1?x2

        2f(x)?e?(1?2x)”x?32,g(x)?2(1?x)(1?x)"22

        由于但f “f(0)?f(0)?0,g(0)?g(0)?0”"

        (0)?2,g(0)?2

        從而運用羅比塔法則兩次后得到

        lime?(1?2x)ln(1?x)2x12x?0?lime?(1?2x)2x1?x2x?12x?0?lime?(1?2x)2(1?x)(1?x)?222x?32x?0?22?1

        ② 由lim法則有:
        x???lnx??,limxx???a?? 故此例屬于?型,由羅比塔1x???limlnxxa?limxaxa?1x????lim1axax????0(a?0,x?0)

        14、利用泰勒公式

        對于求某些不定式的極限來(lái)說(shuō),應用泰勒公式比使用羅比塔法則更為方便,下列為常用的展開(kāi)式:

        1、ex?1?x?x22!x3????xnn!?o(x)

        n2、sinx?x?3!x2?x55!x4????(?1)n?1x2n?1(2n?1)!n?o(x2n)

        3、cosx?1?2!?4!2????(?1)x2n(2n)!?o(x2n?1)

        4、ln(1?x)?x?

        5、(1?x)

        6、11?x?x2????(?1)n?1xnn?o(x)n

        n!x?o(x)nn?1??x?2?(??1)2!x???nn2?(??1)?(??n?1)

        ? 1?x?x????x?o(x)n

        上述展開(kāi)式中的符號o(x)都有:

        nlimo(x)x?0xn?0

        例:求lima?2x?a?xx(a?0)

        x?0解:利用泰勒公式,當x?0 有

        1?x?1?x2?o(x)

        于是 lima?2x?a?x?0x

        x=a(1?2xlima?1?xa)?0x

        xa??1(2x)?o(x)?1?1?x??=?1lim?2a2ao(x)???0x

        x(x)=a?x(x)1lim2a?ox?lim2ax?ox?0x?1

        x?02a

        15、利用拉格朗日中值定理 定理:若函數f滿(mǎn)足如下條件:(i)f 在閉區間上連續(ii)f 在(a ,b)內可導 則在(a ,b)內至少存在一點(diǎn)?,使得f"(?)?f(b)?f(a)b?a

        此式變形可為: f(b)?f(a)b?a?f(a??(b?a))(0???1)"

        例: 求 limxe?exsinxx?0x?sinx

        解:令f(x)?e 對它應用中值定理得

        e?exsinx?f(x)?f(sinx)?(x?sinx)f(sinx??(x?sinx))(0???1)""即: e?exsinxx?sinx"?f(sinx??(x?sinx))(0???1)

        ?f(x)?e"x連續

        "?limf(sinx??(x?sinx))?f(0)?1

        x?0從而有: lime?exsinxx?0x?sinx?1

        16、求代數函數的極限方法(1)有理式的情況,即若: r(x)?p(x)q(x)?a0xmn?a1xm?1n?1????am????bnb0x?b1x(a0?0,b0?0)

        (i)當x??時(shí),有

        mnm?1n?1limp(x)q(x)x???lima0x?a1x????am????bnx??b0x?b1x?a0? m?n?b?0??????0 m?n??? m?n???????

        (ii)當x?0 時(shí)有:

        ①若q(x②若q(x③若q(x0)?0 則 lim0p(x)q(x)x?0?p(x0)q(x0)

        p(x)q(x)??)?0 而 p(x0)?0 則lim0

        x?0)?0,p(x0)?0,則分別考慮若x0)p1(x)s為p(x)?0的s重根,即:p(x)?(x?x0 也為q(x)?0的r重根,即: q(x)?(x?x0)q1(x)r 可得結論如下:

        ?0 , s?r???s?r(x?x0)p1(x)?p1(x0)p(x)?lim?lim?? , s?r? x?x0q(x)x?x0q1(x)?q1(x0)??? ,s?r???例:求下列函數的極限

        ①lim(2x?3)20(3x?2)5030x??(2x?1)②limx?3x?2x?4x?343x?1

        解: ①分子,分母的最高次方相同,故

        lim(2x?3)20(3x?2)5030x??(2x?1)3=

        220?350302330?()2

        ②?p(x)?x4?3x?2,?p(1)?0

        ?q(x)?x?4x?3,?q(1)?0

        ?p(x),q(x)必含有(x-1)之因子,即有1的重根 故有: limx?3x?2x?4x?343x?1?lim(x?1)(x?2)(x?1)(x?2x?3)222x?1?limx?2x?2x?32x?1?12

        (2)無(wú)理式的情況。雖然無(wú)理式情況不同于有理式,但求極限方法完全類(lèi)同,這里就不再一一詳述.在這里我主要舉例說(shuō)明有理化的方法求極限。

        例:求lim解: limx???x???(x?x?x?x?x)

        (x?x?x?x?x)

        ?limx?x?x?x?xx?xx?1x1x3x???x?lim

        xx???x?x?1??limx?????1121?1x?

        二、多種方法的綜合運用

        上述介紹了求解極限的基本方法,然而,每一道題目并非只有一種方法。因此我們在解題中要注意各種方法的綜合運用的技巧,使得計算大為簡(jiǎn)化。例:求 lim1?cosxxsinx222x?0

        [解法一]: lim1?cosxxsinx222x?0

        ?lim2xsinx2222x?02x?xcosx?2xsinxsinx2

        ?limsinx2222x?0xcosx?sinx

        ?limx22x?0cosx?sinxx22=1

        2注:此法采用羅比塔法則配合使用兩個(gè)重要極限法。

        [解法二]: lim1?cosxxsinx222x?0=lim2sin2x2x?02?lim22x?0xsinxsinxx22?21sinxx22sin?2?x22?122x2

        2注:此解法利用“三角和差化積法”配合使用兩個(gè)重要

        極限法。

        [解法三]: lim1?cosxxsinx222x?0?lim1?cosxx?x222x?0?lim2xsinx4x32x?02xsinx?lim?2x?04xx2?12

        注:此解法利用了兩個(gè)重要極限法配合使用無(wú)窮小代換

        法以及羅比塔法則

        [解法四]:

        (x)lim1?cosxxsinx222x?022?lim1?cosxx42x?0?x22sinx?limx?024x?x22sinx?12

        注:此解法利用了無(wú)窮小代換法配合使用兩個(gè)重要極限的方法。

        [解法五]: 1?cosxxsinx2222sin?limx?02x2limx?02?lim2?lim242222x?0x(x)x?0xsinxx2(x2)21x4?12

        注:此解法利用“三角和差化積法”配合使用無(wú)窮小代換法。

        [解法六]:
        令u?x 2lim1?cosxxsinx222x?0?limcosu1?cosuusinu?u?0?lim12sinusinu?ucosuu?0

        ?limu?0cosu?cosu?usinu注:此解法利用變量代換法配合使用羅比塔法則。

        [解法七]: lim1?cosxxsinx222x?0?limsinx2222x?0xcosx?sinx?lim11?x22x?0?12

        tgx注:此解法利用了羅比塔法則配合使用兩個(gè)重要極限。

        (作者: 黃文羊)

        高數極限概念篇四

        極限分為 一般極限(發(fā)散的),還有個(gè)數列極限(前者的一種),解決極限的方法如下 1 等價(jià)無(wú)窮小的轉化,(只能在乘除時(shí)候使用,但是不是說(shuō)一定在加減時(shí)候不能用 但是前提是必須證明拆分后極限依然存在)e的x次方-1 或者(1+x)的a次方-1等價(jià)于ax 等等。全部熟記(x趨近無(wú)窮的時(shí)候還原成無(wú)窮?。?/p>

        2洛必達 法則(大題目有時(shí)候會(huì )有暗示 要你使用這個(gè)方法)

        首先他的使用有嚴格的使用前提!必須是 x趨近而不是n趨近?。ㄋ悦鎸盗袠O限時(shí)候先要轉化成求x趨近情況下的極限,當然n趨近是x趨近的一種情況而已,是必要條件(還有一點(diǎn) 數列極限的n當然是趨近于正無(wú)窮的 不可能是負無(wú)窮?。┍仨毷?函數的導數要存在?。偃绺嬖V你g(x), 沒(méi)告訴你是否可導,直接用無(wú)疑于找死?。┍仨毷?0比0 無(wú)窮大比無(wú)窮大??;
        當然還要注意分母不能為0

        洛必達 法則分為3種情況

        (1)0比0 無(wú)窮比無(wú)窮 時(shí)候 直接用 ;
        (2)0乘以無(wú)窮 無(wú)窮減去無(wú)窮(應為無(wú)窮大于無(wú)窮小成倒數的關(guān)系)所以 無(wú)窮大都寫(xiě)成了無(wú)窮小的倒數形式了。通項之后 這樣就能變成1中的形式了;
        (3)0的0次方 1的無(wú)窮次方 無(wú)窮的0次方

        對于(指數冪數)方程 方法主要是取指數還取對數的方法,這樣就能把冪上的函數移下來(lái)了,就是寫(xiě)成0與無(wú)窮的形式了,(這就是為什么只有3種形式的原因,lnx兩端都趨近于無(wú)窮時(shí)候他的冪移下來(lái)趨近于0 當他的冪移下來(lái)趨近于無(wú)窮的時(shí)候 lnx趨近于0)3泰勒公式(含有e的x次方的時(shí)候,尤其是含有正余旋 的加減的時(shí)候要 特變注意?。〆的x展開(kāi) sina 展開(kāi) cos 展開(kāi) ln1+x展開(kāi)(對題目簡(jiǎn)化有很好幫助)

        4面對無(wú)窮大比上無(wú)窮大形式的解決辦法取大頭原則 最大項除分子分母!5無(wú)窮小于有界函數的處理辦法

        面對復雜函數時(shí)候,尤其是正余旋的復雜函數與其他函數相乘的時(shí)候,一定要注意這個(gè)方法。(面對非常復雜的函數 可能只需要知道它的范圍結果就出來(lái)了!)

        6夾逼定理(主要對付的是數列極限?。?/p>

        這個(gè)主要是看見(jiàn)極限中的函數是方程相除的形式,放縮和擴大。

        7等比等差數列公式應用(對付數列極限)(q絕對值符號要小于1)

        8各項的拆分相加(來(lái)消掉中間的大多數)(對付的還是數列極限)

        可以使用待定系數法來(lái)拆分化簡(jiǎn)函數

        9求左右求極限的方式(對付數列極限)例如知道xn與xn+1的關(guān)系,已知xn的極限存在的情況下,xn的極限與xn+1的極限時(shí)一樣的,應為極限去掉有限項目極限值不變化 10 2 個(gè)重要極限的應用。這兩個(gè)很重要!對第一個(gè)而言是x趨近0時(shí)候的sinx與x比值。地2個(gè)就如果x趨近無(wú)窮大 無(wú)窮小都有對有對應的形式(地2個(gè)實(shí)際上是 用于 函數是1的無(wú)窮的形式)(當底數是1 的時(shí)候要特別注意可能是用地2 個(gè)重要極限)當趨近于無(wú)窮大時(shí)候,不同函數趨近于無(wú)窮的速度是不一樣的!

        x的x次方 快于 x!快于 指數函數 快于 冪數函數 快于 對數函數(畫(huà)圖也能看出速率的快慢)當x趨近無(wú)窮的時(shí)候 他們的比值的極限一眼就能看出來(lái)了換元法 是一種技巧,不會(huì )對模一道題目而言就只需要換元,但是換元會(huì )夾雜其中13假如要算的話(huà) 四則運算法則也算一種方法,當然也是夾雜其中的14當你面對題目實(shí)在是沒(méi)有辦法 走投無(wú)路的時(shí)候可以考慮 轉化為定積分。一般是從0到1的形式。

        15單調有界的性質(zhì)對付遞推數列時(shí)候使用 證明單調性!

        16直接使用求導數的定義來(lái)求極限,一般都是x趨近于0時(shí)候,在分子上f(x加減麼個(gè)值)加減f(x)的形式,看見(jiàn)了有特別注意

        (當題目中告訴你f(0)=0時(shí)候 f(0)導數=0的時(shí)候 就是暗示你一定要用導數定義?。。?/p>

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